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第七节抛物线A组基础题组1.抛物线y=4ax2(a0)的焦点坐标是()A.(0,a)B.(a,0)C.D.2.(20xx课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.B.1C.D.23.(20xx山西高三考前质检)已知抛物线C1:x2=2py(p0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若FAB的面积等于1,则C1的方程是()A.x2=2yB.x2=yC.x2=yD.x2=y4.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-25.已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为点M,点A的坐标为,则|PM|+|PA|的最小值是()A.8B.C.10D.6.(20xx陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.7.已知点P在抛物线y2=4x上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为,则点P到x轴的距离为.8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.9.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.10.(20xx陕西商洛月考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.(1)求抛物线的标准方程;(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.B组提升题组11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.212.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且ABCD,则+的最大值等于()A.-4B.-16C.4D.-813.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)14.(20xx天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为.15.(20xx广东深圳一模)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于.16.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)得k=12=2,故选D.3.A由题意得F,不妨设A,B,SFAB=2pp=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.4.C由题可知焦点为,直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y,得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.线段AB的中点的横坐标为3,=3,p=2,抛物线的准线方程为x=-1.5.B依题意可知焦点为F,准线方程为y=-,延长PM交准线于点H(图略).则|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-.因为|PF|+|PA|FA|,又|FA|=10.所以|PM|+|PA|10-=,故选B.6.答案2解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,解得p=2.7.答案2解析设点P的坐标为(xP,yP).抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,根据已知条件及抛物线的定义,可知=xP=1,=4,|yP|=2.则点P到x轴的距离为2.8.答案2解析建立坐标系如图所示.则可设抛物线方程为x2=-2py(p0).点(2,-2)在抛物线上,p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=.水位下降1米后,水面宽2米.9.解析(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)0.|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).所以4(m2+1)=20,解得m=2,所以直线l的方程是x=2y+1,即x2y-1=0.10.解析(1)点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5,4+=5,p=2,抛物线的标准方程为y2=4x.(2)存在.理由:由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k0),代入抛物线方程,整理得y2-4ky+4k=0,则=16k2-16k0k1,设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=4k,由=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,则有(k2+1)4k-k24k+k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),直线l存在,其方程为x+4y-4=0.B组提升题组11.B=4,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知PQMPFN,则=,即=.|QM|=3,即|QF|=3.故选B.12.B依题意可得,=-(|).因为|=yA+1,|=yB+1,所以=-(yAyB+yA+yB+1).设直线AB的方程为y=kx+1(k0),联立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,所以xA+xB=4k,xAxB=-4.所以yAyB=1,yA+yB=4k2+2.所以=-(4k2+4).同理,=-.所以+=-16.当且仅当k=1时等号成立.13.C由题意知直线l不垂直于x轴.当直线l的倾斜角时,由对称性可知=.直线l的倾斜角=或.又F(1,0),直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.14.答案解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,|AF|=|AB|=p,A(p,p)(不妨设A在第一象限).易证EFCEAB,所以=2,所以=,所以SACE=SAFC=pp=p2=3,所以p=.15.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则=2px1,=2px2,两式相减,整理得(y1+y2)=2p,即2y01=2p,所以y0=p,又AB的方程为y=x-,所以x0=p,即M,代入AB的中垂线y=-x+2,可得p=.16.解析(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,整理得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线的方程是y2=8x.(2)将p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3),则(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2),又=8x3,所以2(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.
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