人教B版高三数学 理科一轮复习不等式证明的基本方法专题练习含答案

不等式证明的基本方法一、选择题(每小题6分，共36分) 1.要证a2b21a2b20，只要证()(A)2ab1a2b20(B)a2b210(C)()21a2b20(D)(a21)(b21)02.设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为()(A)ab1(B)a2(C)ab1且a2 (D)ab1或a23.(20xx上海高考)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()(A)a2b22ab (B)ab2(C) (D)24.P(x0，y0，z0)与3的大小关系是()(A)P3 (B)P3 (C)P35.已知a，b，cR，abc0，abc0，T，则()(A)T0 (B)T2b2(B)a5b5a3b2a2b3(C)a2b22(ab1) (D)2二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知a，b是不相等的正数，x，y，则x，y的大小关系是y_x(填“”、“”、“”).8.已知a，b，c0，且abc，设M，N，则M与N的大小关系是.来源:9.(20xx锦州模拟)若|b|；ab2；2ab.其中正确的是.三、解答题(每小题15分，共30分)来源:10.(20xx福建高考)设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小.11.若0a2,0b2,0c0，hmina，求证：h；(2)若Hmax， ，求H的最小值.答案解析1.【解析】选D.a2b2a2b21(a21)(b21)0，a2b21a2b20.故选D.2.【解析】选D.由xy，得xy0，即a2b252aba24a(ab1)2(a2)20，只要ab10，a20两个中满足一个，即可使得xy，所以有ab1或a2.3.【解题指南】根据基本不等式，利用“一正、二定、三相等”的步骤确定结论.【解析】选D.选项具体分析结论A应该为a2b22ab，漏了等号B只有a0，b0时才成立，而原题条件是ab0，故不成立C来源:应为，a、b同为正时成立，当且仅当ab0时等号成立D来源:数理化网正确4.【解析】选C.x0，y0，z0，P3.故选C.5.【解析】选B.abc0，(abc)2a2b2c22ab2bc2ac0，即2ab2bc2ac(a2b2c2)0，上述不等式两边同除以2abc，得T0不恒成立，故A不正确；对于选项B，(a5b5)(a3b2a2b3)(a5a3b2)(b5a2b3)a3(a2b2)b3(a2b2)(a2b2)(a3b3)(ab)2(ab)(a2abb2).(ab)20，a2abb2(a)2b20，而ab的符号是不确定的，故差值符号不能确定，因此B不正确；对于选项C，(a2b2)2(ab1)a22ab22b2(a1)2(b1)20，故a2b22(ab1)，C正确；当a、b异号时，选项D不正确，故选C.7.【解析】x2()2(ab2)，y2ab(abab)(ab2)(ab2).又x0，y0，yx.答案：8.【解析】a，b，c0，MN.答案：MN9.【解析】0，baa0，|b|a|，故错误.ba0，0，且，正确.又(2ab)2ab0，2ab，正确.答案：10.【解题指南】(1)|2x1|112x11，解之即得x的取值范围；(2)用作差法比较ab1与ab的大小.【解析】(1)由|2x1|1得12x11，来源:解得0x1.所以Mx|0x1.(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.【变式备选】(1)设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3m，求证：.(2)已知a，b都是正数，x，yR，且ab1，求证：ax2by2(axby)2.【证明】(1)(a1a2a3)()3()()()(3222).当且仅当a1a2a3时，等号成立.(2)ax2by2(ax2by2)(ab)a2x2b2y2ab(x2y2)a2x2b2y22abxy(axby)2.来源:11.【解题指南】本题中的待证结论是“不都大于1”，也就是“至少有一个小于等于1”，由于涉及三个式子，直接证明需分类讨论，因此可用反证法，从“不都”的反面“都”出发证明.【证明】假设a(2b)、b(2c)、c(2a)都大于1，0a2,0b2,0c0,2c0,2a0，a(2b)1，b(2c)1，c(2a)1，三式相乘，得a(2b)b(2c)c(2a)1.又0a(2a)()21，0b(2b)()21，0c(2c)()21，a(2a)b(2b)c(2c)1.由于两式矛盾，故原命题成立.来源:【误区警示】用反证法证明不等式应注意以下三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(3)推导出的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推出的矛盾必须是明显的.【探究创新】【解析】(1)hmina，0ha,00，H0，H0，H32(当且仅当ab时等号成立)，H，所以H的最小值为.