2018年北京丰台第十中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

北京市第十中学2017-2018第一学期高三期中考试文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，在集合（ ）ABCD【答案】B【解析】或，故选2设命题，则为（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】命题：，故选3在中，角，所对的边分别为，若为锐角，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选4等差数列的前项和为，如果，那么等于（ ）ABCD【答案】C【解析】，故选5执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】，继续，继续，继续，停止输出，故选6设函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不能推出是奇函数，但若是奇函数且定义域为，则，“”是“”为奇函数的必要不充分条件7设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题知，当且仅当时等号成立故选8如图，在空间四边形中，两条对角线，互相垂直，且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边，分别相交于点，记四边形的面积为，设，则（ ）A函数的值域为B函数的最大值为C函数在上单调递减D函数满足【答案】D【解析】平面，平面，且，是矩形，又，错，错，即，对第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9复数，则_【答案】【解析】，10已知函数的图象如图所示，则_【答案】，【解析】由图知，周期，解得，11一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_【答案】【解析】将该四棱锥放在正方体中，故该四棱锥中最长棱长为12若，与的夹角为，若，则的值为_【答案】【解析】由题意可知，13在等比数列中，若，则公比_，当_时，的前项积最大【答案】，【解析】在等比数列中，设前项积为，此等比数列各项均为负数，当为偶数时，为正，故当取最大值时为偶数设当时，取得最大值，整理后：，又，解出，故取时，取得最大值14设函数（）如果，那么实数_（）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是_【答案】（）或（）【解析】（），解出或（）由题意有个不同解，如图，图象是条以为顶点的射线组成，由图看出，当在，之间（包含不包含）符合要求三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分分）已知函数，（）求的值（）求函数在区间上的最大值和最小值，及相应的的值（）求函数在区间的单调区间【答案】（）（）时，时，（）在上，单调增区间，单调减区间【解析】（） （），当时，此时，当时，此时（），由正弦函数图象知，当时，即时，单调递减，当时，即时，单调递增故单调减区间为，单调增区间为16（本小题满分分）在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且，（）求与（）设数列满足，求的前项和【答案】（），（）【解析】（）设等差数列公差为，由题目列出各方程：即，即，得，解出，（）17（本小题满分分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取个教学班进行调查已知甲、乙、丙三所中学分别有，个教学班（）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数（）若从抽取的个教学班中随机抽取个进行调查结果的对比，求这个教学班中至少有一个来自甲学校的概率【答案】（），（）【解析】（）由已知可知在甲、乙、丙三所中学，共有教学楼之比为，甲、乙、丙三所中学教学班所占比例分别为，甲：个，乙：个，丙：个分别抽取甲、乙、丙教学班，个（）设从甲抽取个教学班为、，从乙抽取个教学班为，从丙抽取个教学班为，则从个班中抽取个班的基本事件为：，一共有个设“从个班抽个班，至少有一个来自甲校”为事件，则事件包含的基本事件如下，共个，故从个班中抽个班，至少有一个来自甲校的概率为18（本小题满分分）在中，角，所对的边分别为，且（）判断的形状（）若，求的最大值【答案】（）为直角三角形（）【解析】（），为直角三角形（），19（本小题满分分）如图，在四棱柱中，底面，且，点在棱上，平面与棱相交于点（）求证：平面（）求证：平面（）求三棱锥的体积的取值范围【答案】（）略（）略，见解析（）【解析】（）在棱柱中，平面平面，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面（）在底面中，平面，平面，在四棱柱中，平面，平面，平面（）为定值，即为长度为而，过点作，长度界于与之间，即，三棱锥体积在间20（本小题满分分）已知函数，（）求曲线在处的切线方程（）求的单调区间（）设，其中，证明：函数仅有一个零点【答案】（）（）单调增区间为单调减区间为（）见解析【解析】（），在处切线为，即为（）令，解出，令，解出的单调增区间为，单调减区间为（），令，解出或，令，解出在单调递增在单调递减，在单调递增极大值，极小值，在时，极大值小于零，在时，极小值小于零在，单调递增，说明在无零点，在有一个零点，有且仅有一个零点13页