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辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则 ( )A. B C D 2.已知复数，则 ( )A B C D 3.已知 ，则 ( )A B C D 4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比列如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A12 B15 C. 20 D215.已知实数 满足 ，则 的最小值为( )A-13 B-11 C.-9 D106.已知等差数列中， ，则 ( )A1 B3 C.5 D77.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 的图象，则 ( )A B C. D 8.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为( )A B C. D 9.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著数书九章中的“中国剩余定理”.已知正整数 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求 的最小值.执行程序框图，则输出的 ( )A62 B59 C.53 D5010.设函数 ，则不等式 成立的 的取值范围是( )A B C. D 11.如图，在正方体 中， 分别为 的中点，点 是底面内一点，且 平面 ，则 的最大值是( )A B2 C. D 12.已知双曲线 的离心率 ，对称中心为 ，右焦点为 ，点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点， 的面积为，则双曲线 的方程为( )A B C. D 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若 ，则 14.已知函数，在区间上任取一个实数 ，则的概率为 15.已知等比数列的前项和为，且，则 16.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点 ，射线 分别交抛物线 于异于点 的点 ，若 三点共线，则 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，内角 的对边分别为，已知 .(1)证明： ；(2)若 ，求 边上的高.18. 2018年2月22日.在平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中.中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况.收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位:小时).又在100位女生中随机抽取20个人.已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.(1)将这20位女生的时间数据分成8组,分组区间分别为，在答题卡上完成频率分布直方图；(2)以(1)中的频率作为概率,求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以(1)中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数.已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人请完成答题卡中的列联表,并判断是否有99 %的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”. 0.100.050.0100.005 2.7063.8416.6357.879附：.19. 如图，在长方体 中，点在棱上，点为棱的中点，过 的平面 与棱 交于 ，与棱 交于 ，且四边形 为菱形.(1)证明：平面 平面；(2)确定点 的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥 的体积.20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，点也为抛物线的 焦点.(1)若 为椭圆上两点,且线段的中点为 ,求直线 的斜率；(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和 ,设线段 的长分别为，证明 是定值.21.已知函数.(1)讨论 在 上单调性；(2)若 ，求正数 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .(1)求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线 与曲线的交点分别为 ，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)解关于的不等式 ；(2)记函数的最大值为，若，求 的最小值.辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学参考答案（文科）一、选择题1-5:DCBAB 6-10:DAACB 11、12：CD二、填空题13. 14. 15. 16.2三、解答题17.（1）证明：因为，所以 ，所以 ，故.(2)解：因为，所以.又，所以，解得，所以，所以边上的高为.18.解：(1)由题意知样本容量为20，频率分布表如下：分组频数频率 1 0.01 10.01 4 0.04 2 0.02 4 0.04 3 0.03 3 0.03 2 0.02合计201频率分布直方图为：(2)因为(1)中的频率为，所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为.(3)因为(1)中的概率为，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时504090累计观看时间不小于20小时15060210总计200100300结合列联表可算得.所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.19.解：(1)在矩形 中,.又平面，.,平面.又平面,平面 平面.(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，所以的面积.于是四棱锥的体积.20.解：因为抛物线的焦点为，所以，故，所以椭圆(1)设，则 两式相减得，又的中点为，所以.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.(2)椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为0时，.当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为,设，联立方程得 消去 并化简得 ，因为，所以.所以.同理可得.所以为定值.21.解：(1)，当时，在上单调递减.当时，若；若. 在 上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递减.当时，若；若.在上单调递减，在 上单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时， 在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在 上单调递增.(2)当时，；当时，.，即.设，当时，；当时，.，.22.解：(1)因为，所以，即，所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线.(2)直线过抛物线的焦点，且参数方程为 （ 为参数），代入曲线的直角坐标方程，得，所以.所以.23.解：(1)当时，由，得，所以；当时，由 ，得，所以；当时，由 ，得，无解.综上可知，即不等式的解集为.(2)因为，所以函数 的最大值.因为，所以.又，所以，所以，即.所以有.又，所以，即的最小值为4.
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