2016-2017年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=2，1，0，1，2，B=x|x2+2x0，则A（RB）=（）A1，2B0，1，2C2，1，2D2，0，1，22等差数列an中，若a3+a6+a9=12，则数列an的前11项和等于（）A22B33C44D553若，其中a、b为实数，则a+b的值等于（）A1B2CD4己知，则=（）ABC3D35已知非零向量，满足，且与的夹角为60，则“m=1”是“”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A或B或2C或2D或7已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点若，其中m，nR则m+n的取值范围是（）A（0，1）B（1，0）C（1，+）D（，1）8某几何体的三视图如图所示，其体积为（）ABCD9运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）AB0C1D10设Sn是等比数列an的前n项和，公比q0，则Sn+1an与Snan+1的大小关系是（）ASn+1anSnan+1BSn+1anSnan+1CSn+1anSnan+1DSn+1anSnan+111已知=（x，y）|x1，|y|1，A是曲线围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD12设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0x1时，f（x）=log3x记f（x）在10，10上零点的个数为m，方程f（x）=1在10，10上的实数根和为n，则有（）Am=20，n=10Bm=10，n=20Cm=21，n=10Dm=11，n=21二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13设a0，若展开式中的常数项为80，则a=14已知sin+cos=，0，则tan（）=15若变量x，y满足约束条件则的最大值为16在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，记S为最大的截面面积，T为最小的截面面积，则=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，（）当，求角C的大小；（）求ABC面积最大值18（12分）在如图所示的几何体中，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60，E是C1D的中点（）求证：AE平面BB1D；（）当A1A为何值时，平面B1C1D与平面ABDC所成二面角的大小等于45？19（12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从1565岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图（）写出其中的a、b及x和y的值；（）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，用X表示其中是第3组的人数，求X的分布列和期望组号分组喜爱人数喜爱人数占本组的频率第1组15，25）a0.10第2组25，35）b0.20第3组35，45）60.40第4组45，55）120.60第5组55，65c0.8020（12分）已知定点F（1，0），定直线l：x=4，动点P到点F的距离与到直线l的距离之比等于（）求动点P的轨迹E的方程；（）设轨迹E与x轴负半轴交于点A，过点F作不与x轴重合的直线交轨迹E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l于点M、N试问：在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）m若函数g（x）有两个零点x1，x2（x1x2），证明：x1+x21请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在极坐标系中，曲线的方程为=6cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数，R）（）求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）设直线l交曲线于A、C两点，过点（4，1）且与直线l垂直的直线l0交曲线于B、D两点求四边形ABCD面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b满足a+b=1（）求证：；（）若至少存在一个实数x，使得|xa|+|xb|5成立，求实数2a+3b的取值范围2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=2，1，0，1，2，B=x|x2+2x0，则A（RB）=（）A1，2B0，1，2C2，1，2D2，0，1，2【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：B=x|x2+2x0=x|2x0，则RB=x|x0或x2，则A（RB）=2，0，1，2故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键比较基础2等差数列an中，若a3+a6+a9=12，则数列an的前11项和等于（）A22B33C44D55【分析】由等差数列an的性质可得：a3+a6+a9=12=3a6，可得a6再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得：a3+a6+a9=12=3a6，可得a6=4则数列an的前11项和=11a6=44故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若，其中a、b为实数，则a+b的值等于（）A1B2CD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【解答】解：=，解得a+b=故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题4己知，则=（）ABC3D3【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可【解答】解：由，a=（）=（）3，=，故选：B【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题5已知非零向量，满足，且与的夹角为60，则“m=1”是“”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据向量的数量积和向量的垂直求出m的值，再根据充要条件的条件判断即可【解答】解：非零向量，满足，且与的夹角为60，由，（m）=m=m22cos60=0，解得m=1，“m=1”是“”的充要条件，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积和充要条件的定义，属于基础题6（2013沈北新区校级一模）设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A或B或2C或2D或【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，|PF1|+|PF2|=6m|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|PF1|PF2|=2m|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：A【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决7已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点若，其中m，nR则m+n的取值范围是（）A（0，1）B（1，0）C（1，+）D（，1）【分析】先利用向量数量积运算性质，将，两边平方，消去半径得m、n的数量关系，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，从而可得正确结果【解答】解：|OC|=|OB|=|OA|，1=m2+n2+2mncosAOB当AOB=60时，m2+n2+mn=1，m0，n0，即（m+n）2mn=1，即（m+n）2=1+mn1，所以（m+n）21，1m+n1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m0，n0，且|m|n|，m+n0，所以m+n的取值范围（1，0）故选B【点评】本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，属于中档题8某几何体的三视图如图所示，其体积为（）ABCD【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为2的等腰直角三角形为底面的三棱柱，切去了一个以边长为2的等腰直角三角形为底面的三棱锥其体积为V=V三棱柱V三棱锥【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为2的等腰直角三角形为底面的三棱柱，其高为2，切去了一个以边长为2的等腰直角三角形为底面的三棱锥，其高为1，V三棱柱=22=4，故得该几何体的体积为V=V三棱柱V三棱锥=4，故选A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）AB0C1D【分析】模拟程序运行数据，结合三角函数的周期为6，由于一个周期的和为0，2017=3716+1，即可得到输出值【解答】解：当n=1，S=0，即有S=cos=；n=2，即有S=+cos=0；n=3，即有S=0+cos=1；n=4，即有S=1+cos=1+（）=；n=5，即有S=+cos=+=1；n=6，即有S=1+cos2=1+1=0n=7，即有S=0+cos=；由于2017=3716+1n=2017，即有S=0371+=，故选：A【点评】本题考查程序框图输出值，注意运用三角函数的周期，考查运算能力，属于基础题10设Sn是等比数列an的前n项和，公比q0，则Sn+1an与Snan+1的大小关系是（）ASn+1anSnan+1BSn+1anSnan+1CSn+1anSnan+1DSn+1anSnan+1【分析】对q分类讨论，利用求和公式作差即可得出【解答】解：当q=1时，Sn+1an=（n+1），Snan+1=Sn+1anSnan+1=0当q0且q1时，Sn+1anSnan+1=0Sn+1anSnan+1综上可得：Sn+1anSnan+1故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、作差法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（2012泰安一模）已知=（x，y）|x1，|y|1，A是曲线围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD【分析】本题利用几何概型求解欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可【解答】解：联立得，解得 或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=01（x2）dx=而=（x，y）|x|1，|y|1，表示的区域是一个边长为2的正方形，上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P=，故选D【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键12设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0x1时，f（x）=log3x记f（x）在10，10上零点的个数为m，方程f（x）=1在10，10上的实数根和为n，则有（）Am=20，n=10Bm=10，n=20Cm=21，n=10Dm=11，n=21【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数【解答】解：函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（2x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，f（x+2）=f（x）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0x1时，f（x）=log3x可得x=1，f（1）=0，f（x）在10，10上图象如图：可得m=21，方程f（x）=1在10，10上的实数根分别关于x=7；3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=146+2+10+18=10故选：C【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13设a0，若展开式中的常数项为80，则a=2【分析】求出展开式的通项公式，利用常数项为80，建立方程关系即可得到结论【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为Tk+1=C5kakx102.5k，二项式的展开式中的常数项为80，当102.5k=0时，得k=4，此时常数项为C54a4=80，即5a4=80，解得a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键14已知sin+cos=，0，则tan（）=【分析】由平方关系化简已知的式子求出2sincos的值，由三角函数值的符号和的范围进一步缩小的范围，由正切函数的性质求出tan的范围，由条件和同角三角函数的基本关系列出方程，化简后求出tan的值，由两角差的正切公式化简、求值【解答】解：由题意知，sin+cos=，两边平方得，2sincos=，0，且sin+cos=0，则tan1，又，则，解得tan=或tan=（舍去），tan（）=，故答案为：【点评】本题考查两角差的正切函数，同角三角函数的基本关系，三角函数值的符号，以及角的范围缩小的方法，考查化简、变形、计算能力15若变量x，y满足约束条件则的最大值为【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率的一半求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）由=，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率且，的最大值为故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题16在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，记S为最大的截面面积，T为最小的截面面积，则=【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值、最大值，可得结论【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为2，可得外接球半径R满足2R=2，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=2，得到截面圆的面积最小值为T=r2=4S=R2=6，=，故答案为：【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值、最大值着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，（）当，求角C的大小；（）求ABC面积最大值【分析】（）由已知及正弦定理可得sinB=，结合范围B（0，），可求B的值，进而可求C的值（）由已知及余弦定理，基本不等式可求1bc，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（）a=1，A=，b=，由正弦定理可得：sinB=，又B（0，），B=，或C=AB=，或（）a=1，A=由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA即1=b2+c2bc2bcbc=（2）bc，所以bc（当且仅当b=c=1时等号成立）SABC=bcsinA=，（当且仅当b=c=1时等号成立），即ABC面积最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）在如图所示的几何体中，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60，E是C1D的中点（）求证：AE平面BB1D；（）当A1A为何值时，平面B1C1D与平面ABDC所成二面角的大小等于45？【分析】（）法一（几何法）：取CD中点E，连结EF，推导出四边形ABDF是平行四边形，从而AFBD，进而平面AEF平面BB1D，由此能证明AE平面BB1D法二（向量法）：取CD中点E，连结EF，取CF中点G，连结AG，则AGAB，以A为原点，AG为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设A1A=t（t0），则A（0，0，0），C1（，1，t），D（，3，0），E（，1，），B（0，2，0），B1（0，2，t），利用向量法能证明AE平面BB1D（）求出平面DB1C1的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量法能求出当A1A为2时，平面B1C1D与平面ABDC所成二面角的大小等于45【解答】证明：（）证法一（几何法）：取CD中点E，连结EF，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60，E是C1D的中点，EFCC1BB1，ABFD，四边形ABDF是平行四边形，AFBD，AFEF=F，BDBB1=B，AF，EF平面AEF，BD、BB1平面BDB1，平面AEF平面BB1D，AE平面AEF，AE平面BB1D证法二（向量法）：取CD中点E，连结EF，A1B1C1ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，ABCD，且，BDC=60，E是C1D的中点，EFCC1BB1，ABFD，四边形ABDF是平行四边形，AF=BD=2，AB=DF=2，AF=CF=2，AFC=BDC=60，AC=2，取CF中点G，连结AG，则AGAB，以A为原点，AG为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设A1A=t（t0），则A（0，0，0），C1（，1，t），D（，3，0），E（，1，），B（0，2，0），B1（0，2，t），=（），=（，0），=（0，0，t），设平面BB1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得y=，则=（1，0），=，且AE平面BB1D，AE平面BB1D解：（）设A1A=t（t0），则C1（，1，t），D（，3，0），B1（0，2，t），=（0，4，t），=（，1，t），设平面DB1C1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（，），平面ABCD的法向量=（0，0，1），平面B1C1D与平面ABDC所成二面角的大小等于45，cos45=，由t0，解得t=2当A1A为2时，平面B1C1D与平面ABDC所成二面角的大小等于45【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的大小等于45的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从1565岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图（）写出其中的a、b及x和y的值；（）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，用X表示其中是第3组的人数，求X的分布列和期望组号分组喜爱人数喜爱人数占本组的频率第1组15，25）a0.10第2组25，35）b0.20第3组35，45）60.40第4组45，55）120.60第5组55，65c0.80【分析】（I）由第3组与第4组的人数分别为：=15，=20，再根据直方图可知：第1组与第2组的人数都为20人，且抽样总人数n=，可得第5组的人数为10020101520进而定点a，b，c，x，y（II）第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人数比为2：4：6=1：2：3，则分层抽样的方法抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人（III）X可能取的值分别为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=【解答】解：（I）由第3组与第4组的人数分别为：=15，=20，再根据直方图可知：第1组与第2组的人数都为20人，且抽样总人数n=100，第5组的人数为10020101520=25且a=0.120=2，b=0.220=4，c=0.825=20x=0.015，y=0.025（II）第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人数比为2：4：6=1：2：3，则分层抽样的方法抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人（III）X可能取的值分别为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，其分布列为：X012PE（X）=+1+2=1【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知定点F（1，0），定直线l：x=4，动点P到点F的距离与到直线l的距离之比等于（）求动点P的轨迹E的方程；（）设轨迹E与x轴负半轴交于点A，过点F作不与x轴重合的直线交轨迹E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l于点M、N试问：在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）设点P（x，y），由条件列出方程，两边平方，并化简方程，即可得到；（）设BC的方程为x=my+1，代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2+6my9=0，求出M，N的坐标，利用条件，即可得出结论【解答】解：（）设点P（x，y），依题意，有=两边平方，整理得=1所以动点P的轨迹E的方程为=1（）设BC的方程为x=my+1，代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2+6my9=0，设B（my1+1，y1），C（my2+1，y2），Q（x0，0），则y1+y2=，y1y2=，A（2，0），直线AB的方程为y=（x+2），直线AC的方程为y=（x+2），从而M（4，），N（4，），=+=9，=9即x0，=1或7时，=0，综上所述，在x轴上存在定点Q（1，0）或（7，0），使得=0【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题21（12分）已知函数（）讨论函数f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）m若函数g（x）有两个零点x1，x2（x1x2），证明：x1+x21【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出x1，x2，令t=，得到0t1，构造函数h（t）=t2lnt（0t1），根据函数的单调性求出h（t）h（1），从而证出结论【解答】解：（）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（）因为x1，x2是函数g（x）=lnx+m的两个零点，所以lnx1+m=0，lnx2+m=0两式相减，可得ln =，即ln =，故x1x2=，那么x1=，x2=令t=，其中0t1，则x1+x2=+=构造函数h（t）=t2lnt（0t1），则h（t）=因为0t1，所以h（t）0恒成立，故h（t）h（1），即t2lnt0，可知 1，故x1+x21【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，函数的构造、换元思想，是一道中档题请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在极坐标系中，曲线的方程为=6cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数，R）（）求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）设直线l交曲线于A、C两点，过点（4，1）且与直线l垂直的直线l0交曲线于B、D两点求四边形ABCD面积的最大值【分析】（）曲线C的极坐标方程即 2=6cos，根据 x=cos，y=sin，把它化为直角坐标方程；消去参数，可得直线l的普通方程；（）先确定AC2+BD2为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值【解答】解：（）曲线C的极坐标方程为=6cos，即 2=6cos，化为直角坐标方程为 x2+y2=6x；直线l的参数方程是（t为参数，R），直线l的普通方程y+1=tan（x4）；（）设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE2+OF2=2，AC2+BD2=4（18OE2OF2）=64，S2=AC2BD2=AC2（64AC2）256，S16，当且仅当AC2=64AC2，即AC=4时，取等号，故四边形ABCD面积S的最大值为16【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数方程化为普通方程的方法，考查直线过定点，考查面积的计算，基本不等式的应用，正确运用代入法是解题的关键，属于中档题选修4-5：不等式选讲23已知实数a，b满足a+b=1（）求证：；（）若至少存在一个实数x，使得|xa|+|xb|5成立，求实数2a+3b的取值范围【分析】（）利用立方和公式、结合配方法，即可证明；（）若至少存在一个实数x，使得|xa|+|xb|5成立，则|ab|5，由此求实数2a+3b的取值范围【解答】（）证明：a3+b3=（a+b）（a2ab+b2）=a2a（1a）+（1a）2=；（）解：|xa|+|xb|xax+b|=|ab|，至少存在一个实数x，使得|xa|+|xb|5成立，则|ab|5，a+b=1，b=1a，|a（1a）|5，2a3，2a+3b=3a0，5【点评】本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题