现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流Y0101 R1R2R1*R2u和电容C上的电压X2为状态变Y2X22 RR2R1R22R1R2量，电容C上的电压X2为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）+UI F LX解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：iLx1,ucx2,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：R2cx2x2Lx10Rl(xlCx2)Lx1u0从上述两式可解出xi ,x2 ,即可得到状态空间表达式如下:xiR1R2(Ri R2)Lx2Ri(Ri R2)CRi(R, R2)Lx,ix2(Ri R2)CR2(Ri R2)L ui(Ri R2)Cyi = y20iRi R2Rixi +x20R2uRiR2、考虑下列系统:(a)给出这个系统状态变量的实现；(b)可以选出参数K(或a)的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：(a)模拟结构图如下：x3-x1x2ax33321y二Xx2则可得系统的状态空间表达式：?xx30kx11x200kx21u?2313ax30&Xy23130x2x3(b)因为3A 02.30013Ab302.3所以：当a1时,又因为:CACA2CCACA2所以：当k32A2b0232Ab A2b0013该系统不能控；当13 023130302. 32 326 2k.31时,该系统能控。综上可知：当a302. 3001300132k 3k. 3 2k ak130k. 30k2k ak00(a 1) k1时，该系统不能观；当k1时,该系统能观。1时或k 0且a 1时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统xAx的状态转移矩阵为:et00At e_2t2t0(12t)e4te2t_0te(12t)e(1)试确定矩阵A,并验证eAt确为上式。(2)已知A求eAt,以下采用三种方法计算eAt,并对计算结果进行讨解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有（t）A（t）（t）A即deAtAeAteAtAdt当t=0时（0）I1（0）It e?A (0)(t)t o 00002t2te 2t(4 4t) e 2t (4 8t)2t _2te (2t 1) 4te验证eAt：（利用P59的公式（2-24）来验证）00_244(1)(2)1解得：122,31,有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理,非重根部分的ai仍按公式（2-23）计算a00a11a2112 1211233，t1t3t1 2t4te 2t234te2t4e 2t344e1 e t 11 1 eAt2ea01a1Aa2A所以：（t）eAt100(2te 2t3e 2t 4e t) 0100011002t2tt(te 2t e 2t e t) 0 12160 4410(3te2t4e2t 4et)0401et002t2t0(1 2t)e 2t 4te2t2t0 te 2t (1 2t)e 2t01 u1y12 1 x1S2 ： X22x2 U2y2X2四、有两个能控能观的单输入一单输出系统:?01Si：X134（1）按图把Si、S2串联，针对xX1X2推导状态方程。Ci xiAi、BiUiyiX2A2X2B2U2A2X2B2YA2X2B2Ci Xi所以X2B2CiXiA2x2因而y2C2X2XiX2AiB2 cl0A2XiX2Biu 0(2)判断以上系统的能控性和能观性。(3)把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。(3)讨论。(4)求Si、S2及串联系统的传递函数矩阵，并对(2)和解：(i)Xi得状态方程:(2)A=b=AbA2b4i94所以AbA2brank(M)4i944i90所以该系统不能控。002 122104014 41201124401CA00134210一2一一一CA21232C0所以NCA2CA21rank(N)3所以该系统是能观的(3)y2C2 x2X1A1x1B1u1A1X1B1C2 x2y1C1x11)=叼1IK4%G4g1X2A2x2B2uA1B1C2B2x0A20100Ab341000210100A2b34110022所以MbAbA2brank(M)3所以此时该系统能控。CA 22CA23114C而N CACA21211rank (N)所以此时该系统不能观。(4) w.s)Y1(s)C(sIUi(s)A)1B4ss2当6、S2按照（2）的连接方式串联时,w(s)w1(s)w2 (s)当&、S2按照（2）的连接方式串联时,w(s)w2 (s)w1 (s)1s2 4s 31由上边的传递函数结果可知,当子系统串联时,颠倒其先后次序,4s 3虽然传递sw2(s)迫-U 2(s) s4s3函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解:100x0uAxbuy111xcx解：（a）能控性分解：A010,b0143112Ab011412112Ab01001433014所以MbAbA2b000138rank(M)2,故I构造非奇异矩阵010RC001130RC1ARCRC1bu30111000010104214200101y1110013(b)能观性分解：;系统不能控。30,所以Rc11001CA1CA2121010_10001x4313010u0011110C1111211101014308411010414830101000u0101C111所以NCA232CA2474rank(N)23所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：111731311RC474,所以RC4/3130001001RC1ARCRC1bu1111217313147401043130001143001231301437304u312173131y1114；31/30100六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。(1)x(2)系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解:x1x2X2X1x2原点Xe=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即v( x) x：2 x2v(x) 2x1 xi 2x2 X22x1x2c ,、-22x2( x1 x2)2x2当 x10 , x2 0时，v(x) 0 ;当x10 , x2 0 时，v(x) 0 ,因此 v(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：/ 、 1 /v(x) 2 (x12x122x2=x1x2121Xix2为正定，而v(x)(x1x2)(x1x2)c,22、2x1 x1 x2 x2(x1 x2)为负定的，且当x，有V(x)即该系统在原点处是大范围渐进稳定。(2)闭(3)环系统的状态方程为其齐次方程为xiX2x2xi显然，原点为系统的唯一的平衡状态,选李雅普夫函数v(x) x12x220v(x)2x1x12x2x22(x1x2x1x2)0可见，v(x)在任意x0的值均保持为0,而v(x)保持为常数22v(x)x1x2c这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，vc为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量5%和峰值时间tp5s。解：传递函数W(s)Y(s)U111(s 6)(s 2) s又因为二阶系统单位阶跃响应中:MP expd)1001 2t p根据题意要求通过上式解答：n5%和 tp p5s0.6840.861因此设计后的极点分别为：s10s2(j12)n0.6j0.63s3(j.12)n0.6j0.63可直接写出因为传递函数w(s)没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观它的能控标准I型实现。0100.x001x0u08121y100x其闭环系统结构图如下：y加入状态反馈阵Kkokik2,其系统结构如下图:而闭环系统特征多项式为f()detI(AbK)3(12k2)2(8ki)(ko)根据极点值，得期望特征多项式：f()(0.6j0.63)(0.6j0.63)31.220.757比较f()和f*()各对应项系数，可得：ko0ki7.243k210.8即K07.24310.8八、系统的状态方程 如下：x x u, x10，性能指标泛函1J(u)1o(x2u2)dt分两种情况求最优控制：u(1)对u没有约束u(t)0.3解：(1)原问题为自由终端状态，因而(1)0o1 CC由哈密尔顿函数HLf1(x2u2)(2又因为-g-=0uu*所以u(t)(t)又沿最优轨迹线满足正则方程：HxxuxHgHxxxx边界条件x(0)10,(1)0通过上式联合解答：*_2t_2tx(t)0.1e9.9e(t)0.1(21)e2t9.9(21)e(2)由极小值原理，u(t)与(t)符号有关，取u(t)x u)2t0.3sgn (t)sgn(t)表示(t)的符号，t1,0,取u(t)0在0,1区间，(t)0,取u(t)0.3。下图表示求解结果。九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。1 .内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式，现代控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。2 .方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。3 .分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量，使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和线性伺服器。Xo假定状态方程：x(t)A(t)x(t)B(t)u(t),x(to)寻求最优控制u(t),使性能指标达到极小值J1xT(tf)Sx(tf)；XTQ(t)x(t)uTR(t)u(t)dt(9-1)这是二次型指标泛函，要求S,Q(t),R(t)是对称阵，且S和Q(t)是非负定或正定的,R(t)应是正定的。式(9-1)右端第一项是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻tf到来时，系统的状态x(tf)接近预定终态的程度。积分项的第一项表示对于一切的tt0,tf对状态x(t)的要求，积分第二项是对控制总能量的限制，二者相互制约，求两者之和极小值，实质上是求取在某种最有意义下的折衷，偏重哪一面，取决于加权矩阵Q(t)和R(t)地选取。