8附录1向量的概念

附录附录1 向量的概念向量的概念一一. 向量的定义向量的定义注意注意：标量与向量的区别标量与向量的区别1、标量只有大小标量只有大小，是一个代数量是一个代数量，可以进行可以进行代数运算代数运算、比较大小比较大小；2、向量不仅有大小还有方向向量不仅有大小还有方向 ，具有双重性具有双重性，不能比较大小不能比较大小。 1.标量：标量：只有大小没有方向的量只有大小没有方向的量（即用一个实数可以表示）（即用一个实数可以表示）2.向量向量：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量例例1、下列各量中下列各量中，哪些是向量？哪些是向量？电流强度电流强度密度密度体积体积 位移位移 重力重力 功功温度温度风速风速1. 几何法几何法: 用用有向线段有向线段表示表示2. 代数法代数法: 用字母表示用字母表示ABaABa读作：向量读作：向量AB，或向量，或向量a有向线段的长度表示向量的大小；有向线段的长度表示向量的大小；箭头所指的方向表示向量的方向。箭头所指的方向表示向量的方向。三三. 向量的有关概念向量的有关概念0|0| , 0 起点与终点重合的向量起点与终点重合的向量. 向量向量 的大小的大小,即有向线段的长度即有向线段的长度.)(aAB或或|).|( |aAB或或1.向量的向量的模模:记作：记作：零向量零向量:记作：记作：注：零向量的方向是不确定的。注：零向量的方向是不确定的。注：向量的模是非负实数。注：向量的模是非负实数。 单位向量单位向量:模模为为1的向量的向量)1| ( a说明：说明：单位向量可以有无数个单位向量可以有无数个1思考:平面直角坐标系平面直角坐标系内，起点在原点的单内，起点在原点的单位向量，它们的终点位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？的轨迹是什么图形？O Oy yx xba 相等向量相等向量: 模相等且方向相同的向量。模相等且方向相同的向量。记作：记作：3,规定：零向量都是相等的规定：零向量都是相等的ab1,2,注注：向向量量只只能能研研究究相相等等, ,不不能能研研究究大大小小, , 向向量量的的模模能能研研究究大大小小； 平平移移不不会会改改变变向向量量的的大大小小和和方方向向， 所所以以平平移移后后的的向向量量与与原原向向量量相相等等。ba/规定规定: 零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行.平行向量平行向量: 方向相同或相反的向量。方向相同或相反的向量。记作：记作：abef负向量：负向量：a.ABABBA 的的负负向向量量：或或.aaa 与与 模模相相等等, ,方方向向相相反反的的向向量量，叫叫做做 的的负负向向量量. .记记作作- -| |aa 两两个个向向量量平平行行时时，它它们们所所平平行行在在的的直直线线或或重重合合。a 任意一组平行向量都可以任意一组平行向量都可以平移平移到同一直线上到同一直线上平行向量又称平行向量又称共线向量共线向量abcabca/ b/ c例例2. 判断下列命题真假判断下列命题真假(1)平行向量的方向一定相同平行向量的方向一定相同(2)不相等的向量一定不平行不相等的向量一定不平行 (3)不存在与任何向量都平行的向量不存在与任何向量都平行的向量 (7)两个向量相等，它们的起点和终点必分别重合两个向量相等，它们的起点和终点必分别重合(5)模相等的两个平行向量是相等的向量模相等的两个平行向量是相等的向量(6)互为负向量的两个向量一定平行互为负向量的两个向量一定平行(4)两个相等向量的模一定相等两个相等向量的模一定相等 90abab若若 与与 互互为为负负向向量量，则则。 . 0, 08 aa则则若若 10,.ababab 若若则则或或 .,11cacbba 则则若若 ./,/,/12cacbba则则若若 为平行四边形。为平行四边形。则则，且，且若若ABCD,CDABCD/AB 13 唯一。唯一。非零向量的单位向量不非零向量的单位向量不14例例3. 已知向量已知向量 a、b, 则在下列命题中则在下列命题中,正确的是正确的是（） (A) 若若| a|b|, 则则 ab; (B)若若| a|=|b|, 则则 a=b; (C)若若 a=b, 则则 ab; (D)若若 ab, 则则 a 与与 b 一定不共线一定不共线; C40,0;ABABCDaaABBACD 例例 ：下下列列命命题题中中正正确确的的有有_._.任任一一向向量量与与它它的的负负向向量量不不相相等等。若若则则若若是是单单位位向向量量，则则也也是是单单位位向向量量；向向量量相相等等是是向向量量平平行行的的充充分分非非必必要要条条件件；模模相相等等是是向向量量相相等等的的充充分分非非必必要要条条件件；与与为为共共线线向向量量是是共共线线的的充充要要条条件件。5123 4.ABCDOAD BOBA AOADAO 例例 ，已已知知平平行行四四边边形形， 是是对对角角线线的的交交点点， ）分分别别写写出出与与， 相相等等的的向向量量； ）分分别别写写出出， 的的负负向向量量； ）写写出出与与的的模模相相等等的的向向量量；）写写出出与与平平行行的的向向量量ACBDO6(5,3),(-2,1),(6,-3), ,ABCABCAB BC ACD E FAE DF BC 例例 ：已已知知的的顶顶点点为为边边长长的的中中点点分分别别为为，求求： , ,的的模模。1.1.什么是向量什么是向量? ?2.2.怎么怎么表示向量表示向量? ?3.3.什么是向量的模什么是向量的模? ?4.4.有哪些有哪些特殊向量特殊向量? ?5.5.向量间有什么向量间有什么特殊关系特殊关系? ?既有既有大小大小又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量. .1 1）几何表示；）几何表示；2 2）字母表示；）字母表示；指向量的指向量的长度长度AB 记记作作: :| | |零向量零向量单位向量单位向量平行向量平行向量（共线向量）（共线向量）相等向量相等向量互为负向量互为负向量小结小结: