第5章结构位计算

结结 构构 力力 学学Structural Mechanics主讲：姚金阶主讲：姚金阶三峡大学水环学院工程力学系三峡大学水环学院工程力学系第第5 5章章 结构位移的计算结构位移的计算5.1 5.1 概述概述一、结构的位移一、结构的位移1 1、线位移、线位移 结构在结构在外部因素外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为种改变称为变形变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生于是产生位移位移。（1 1）水平线位移：）水平线位移： H H（2 2）铅直线位移：）铅直线位移： V V2 2、角位移、角位移： cCCH CV C 3 3、“相对位移相对位移”与与“绝对位移绝对位移” BAAB BAAB AppAB A B BA BppcC第第5章章 2 2、计算超静定结构必须考虑位移条件。、计算超静定结构必须考虑位移条件。 4 4、上述各种位移统称为、上述各种位移统称为“广义位移广义位移”。与广义。与广义位移相对应的力称为位移相对应的力称为“广义力广义力”。1 1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 f fmaxmaxl/600l/600。二、计算结构位移的目的二、计算结构位移的目的3 3、施工技术的需要。、施工技术的需要。 CV cc P/2PPPPPP/2第第5章章 4 4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。构的位移。 4 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 满足以上要求的体系为满足以上要求的体系为“线变形体系线变形体系”。因位移与荷。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用载为线形关系，故求位移时可用叠加原理叠加原理。P PP PB BA A三、计算位移的有关假定三、计算位移的有关假定3 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 2 2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。1 1、结构材料服从、结构材料服从“虎克定律虎克定律”，即应力、应变成线形关系。，即应力、应变成线形关系。第第5章章5.2 虚功原理与位移计算一般公式一、基本概念一、基本概念 1 1、功：、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积，一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积，大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。 2 2、实功：、实功：力由于自身所引起的位移而作功。力由于自身所引起的位移而作功。实功的计算式：实功的计算式：第第5章章 PT21 P P当静力加载时，即：当静力加载时，即： P P由由0 0增加至增加至P P 由由0 0增加至增加至实功计算公式实功计算公式位移位移荷荷载载oABpypdydpy 21 00pdypydWW第第5章章 3 3、虚功：、虚功：当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，力的大小保持不变，这样的功称为虚功。力的大小保持不变，这样的功称为虚功。 COSD 式中式中为总位移为总位移D D在力在力P P方向的投影。方向的投影。虚功的计算式为：虚功的计算式为： 4 4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：、虚功对应的两种状态及应满足的条件：P PA AA A D D （2 2）虚位移状态：）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，它应满为求真实力而虚设的位移状态，它应满足变形协调条件。足变形协调条件。 （1 1）虚力状态：）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它应满足为求真实位移而虚设的力状态，它应满足静力平衡条件。静力平衡条件。第第5章章实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP212112112221/2FP1111/2FP222FP112FP221 设设变形体变形体在在力系力系作用下作用下处于平衡状态处于平衡状态，又设该变形体，又设该变形体由于由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移，则外力在位移上做的上做的外虚功外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚内虚功功Wi ，即，即W=Wi 。W=Wi二、变形杆件体系的虚功方程二、变形杆件体系的虚功方程 虚功方程也可以简述为：虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变外力的虚功等于内力的虚变形功形功”。其具体表达式为：其具体表达式为：当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为： W=0W=0第第5章章变形体系虚功方程具体形式：变形体系虚功方程具体形式：ds1C2C( )w s123第二状态（给定位移和变形）1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）外力虚功：1122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFFC MMQFQFNFNFsddsddsds0dds0ddsdds微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsFdsMFFds整根杆件的内虚功：0()iiQNWdWMFFds根据虚功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 说明：1）只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。2）上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。3）考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法 1 1虚功方程的意义及应用虚功方程的意义及应用 1 1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。乘积。 2 2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。 3 3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。第第5章章0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 1 1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。对上述两种状态应用虚功原理：对上述两种状态应用虚功原理：即即：dsFFdsMCFNQkRKcv)(102 2、单位荷载法、单位荷载法 第第5章章2 2、计算结构位移的一般公式（欲求、计算结构位移的一般公式（欲求CVCV）ABCPFcvcucABC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RF给定位移、变形虚设平衡力系kRKNQcvCFdsFFM)(05.3 5.3 荷载作用下静定结构的位移计算荷载作用下静定结构的位移计算 一、位移计算公式的建立一、位移计算公式的建立根据材力公式：根据材力公式：dsEAFFdsGAFFkdsEIMMNPNPQQPcv于是：于是：0kC因无支座移动：因无支座移动：第第5章章kRKNQcvCFdsFFdsM)(0 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移）二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移）第第5章章(g) 求求AB1/lB1/lABACP=1（a）求）求BHACP=1B（b）求）求CVBACM=1（c）求）求CAP=1B（d）求）求ABP=1AP=1B（e）求）求ABP=1(f) 求求CM=1CPP=1例1：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载 cosFQ sinFN sinRMcosPFQPsin PFNPsin PRMP虚拟荷载下内力3）位移公式为QNMPPPGAdsFQFQEAdsFNFNEIdsMMGAPREAPREIPR4443p ppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2MNARI2412MQRhGAREI可见细长杆剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载下内力dGAPRdEAPREIPRcossin20203 pp22h101R如2121Rh三、位移计算公式的简化三、位移计算公式的简化1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2、桁架（只考虑轴力影响）：、桁架（只考虑轴力影响）：dsEIMMPdsEAFFPNN第第5章章EAlFFPNN3、拱：一般只考虑弯曲变形、拱：一般只考虑弯曲变形4、组合结构：、组合结构：dsEIMMPdsEAFFdsEIMMPNNP第第5章章对扁拱（压力线与拱轴接近）：对扁拱（压力线与拱轴接近）：dsEAFFdsEIMMPNNP 例例2 2 试求图示刚架试求图示刚架A A点的竖向位移点的竖向位移AVAV。各杆材料。各杆材料相同，截面抗弯模量为相同，截面抗弯模量为EIEI。第第5章章解：解： （1 1）在）在A A点加一单位力，建立坐标系如（图点加一单位力，建立坐标系如（图2 2）示，写出）示，写出弯矩表达式弯矩表达式 （2 2）荷载作用下（图）荷载作用下（图1 1）的弯矩表达式）的弯矩表达式ABAB段：段：1xMBCBC段：段：lMABAB段：段：221qxMP BCBC段：段：22qlMP （3 3）将以上弯矩表达式代入求位移公式）将以上弯矩表达式代入求位移公式)(85)2)(1)2)(1402210211EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPAV第第5章章(KN)FPN 例题例题3 试求图示桁架试求图示桁架C点的竖向位移点的竖向位移CV。各杆材。各杆材料相同。料相同。236m103AKN,102E第第5章章NF （3 3）将）将F FN N、F FNPNP代入求位移公式代入求位移公式解：解： （1 1）在）在C C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图）（右图） （2 2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）(2)20)(1)()5(22.36)(1.12)5(22.36)(1.49)(3)10)(0.67)(EA1)0.03m(EA190.59第第5章章EAlFFPNN 练习题：试求图示连续梁练习题：试求图示连续梁C C点的竖向位移点的竖向位移CVCV和和A A截面截面的转角的转角A A , ,截面抗弯模量为截面抗弯模量为EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483EIplcv)(162EIplACBAl/2l/2M答案：答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)第第5章章本节重点：本节重点：dsEIMMP1EAlFFPNN 1kRKcvCF 1本节习题：本节习题：5-2 5-8 5-105-2 5-8 5-105.5 5.5 图图 乘乘 法法 一、图乘法应满足的条件一、图乘法应满足的条件 1 1、杆件为等截面直杆。、杆件为等截面直杆。3 3、MK、MP图形图形中至少有一个为直线图形。中至少有一个为直线图形。2 2、EIEI为常数。为常数。第第5章章dsEIMMP kidsEIMM kiCEIdxMMEI1 PEIydxEIMM0w w yEI01w w xtgEI01w w BAkdxxMtgEI1 BAkMdxxtgMEIi1 是直线是直线 kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0y0=x0tg二、图乘公式推导二、图乘公式推导 BAkdxxMMK对对 y 轴的静矩。轴的静矩。28说明：说明：1）条件：条件：AB杆为棱柱形直杆，即杆为棱柱形直杆，即EI等于常数等于常数；Mi与与Mk图形中图形中有一个是直线图形有一个是直线图形。2）y0与与的取值：的取值： y0一定取自直线图形，一定取自直线图形， 则取则取自另一个图形自另一个图形，且取，且取的图形的形心位置是已知的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。的，不必另行求解。3）若若y0与与在在杆轴或基线的杆轴或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积y0取正号取正号；若；若y0与与不在不在杆轴或基线的杆轴或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积y0取负号取负号。 EIy0w w29三、 常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线二次抛物线h23lhwl二次抛物线二次抛物线h二次抛物线二次抛物线3l/4l/4hlh31w5l/83l/8二次抛物线二次抛物线hlh32w qllEIEIA例例1求求A点水平及垂直位移点水平及垂直位移22qlMPP=1lMEIqlqllEIHA4221422P=1lMEIqlllqlllqlEIVA8524323114228 .214 . 0arctanarctan673. 0422VAHAVAHAAEIqlA 解解1（1）绘出荷载作用下的弯矩图（）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）图）（2）为求）为求C点的竖向位移，在点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（处加一单位力，绘出（Mk1图）图）（Mp图）图）（Mk1图）图）)(0924. 013860 mEI lPKCVEIdsEIMM)300()66()26()45632()33002()266(1 例题例题2 试求左图所示刚架试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移CV和转和转角角 C。各杆材料相同，截面抗弯模量为。各杆材料相同，截面抗弯模量为:25105 . 1mKNEI 第第5章章 （2）为求）为求C点的转角，在点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（处加一单位力偶，绘出（Mk2图）图）（Mp图）图）（Mk2图）图）).(0168. 02520)1()6300()1()45632()1()26300(1 radEIEIC 第第5章章四、使用乘法时应注意的问题四、使用乘法时应注意的问题 1、yo必须取自直线图形必须取自直线图形MK图图MP图图yo01yEI第第5章章MK图图MP图图1y1)(12211yyEI 2、当、当MK为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算；2y2第第5章章MK图图MP图图1y122211111yEIyEI 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；、当杆件为变截面时亦应分段计算；2y21EI1EI2EI2EI第第5章章4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。异侧时，取负号。MK图图MP图图Pyo01yEIP Pyo01yEIP 第第5章章MK图图MP图图1y1221111yEIyEI 2y25、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；取自两图形；第第5章章MK图图MP图图 )()(1432211yyyyEI 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。图乘。y1y21y3y42abcdl)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEI 第第5章章MK图图MP图图6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。图乘。acdl )2()832()332()2(1dcqlldcalEI82qla82qll第第5章章622qlllM 例例3：求图示梁中：求图示梁中 B结点的竖结点的竖向位移及向位移及 B两侧截面的相对转两侧截面的相对转角位移。角位移。ABCl2lqMEIEI解：（解：（1）求）求B点竖向位移点竖向位移 先画弯矩先画弯矩 和和MPM622qlllM 32225464112lMlllqlEIBlEIqlM223102P 1lMAB2M/l2M62ql5432ll6kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB例例4 求求AB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M) )( () ) EI-756 3322318 EI643636311 2639632( ( EI61833631826362661EIEI常数常数9 9 9999 99使用乘法时应注意的问题小结：使用乘法时应注意的问题小结： 1 1、y yo o必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2 2、当、当M MK K为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算； 3 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；、当杆件为变截面时亦应分段计算； 4 4、图乘有正负之分；、图乘有正负之分； 5 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；分别取自两图形； 6 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；别图乘； 7 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。记。第第5章章本节重点：本节重点： EIy0w w本节习题：本节习题：5-18 5-19 5-22(I,2I) 5-23 5-24(I= )5-18 5-19 5-22(I,2I) 5-23 5-24(I= )445-6 温度变化时的位移计算温度变化时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。所以结构不产生内力。1. 是温度改变值，而非某时刻的温度。是温度改变值，而非某时刻的温度。12tt、某时刻温度某时刻温度另一时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值是温度改变值C10C10C25C35Ct1510251Ct251035245 2. 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：截面上、下边缘温差：21()tt令21-ttt 101121(- )httdtttth11 21 11 211-(-)=hth th th tthhhh1 22 1=h th th对于矩形截面杆件，对于矩形截面杆件， ， 。12/2hhh012()/2ttthb杆轴线处温度改变值杆轴线处温度改变值 ：0th1h2ht1t2dsdst1dst2h1h2ht1t2t2 - t1dtdst0463. 微段微段ds的应变的应变拉应变拉应变弯曲应变弯曲应变剪应变剪应变00t dstds21-1t dst dsdtdsdshh021ttt 4. 位移计算公式位移计算公式1NMdsFd 0=NtMdsFt dsh0( )NtMdstF dsh47小结：小结：1） 正负号规则：正负号规则： 及温度变化使杆件同一侧纤及温度变化使杆件同一侧纤M维伸长（弯曲方向相同），则乘积维伸长（弯曲方向相同），则乘积tM dsh为正，反之为负。为正，反之为负。0t以温度升高为正，降低为负，以温度升高为正，降低为负， 以拉力为正，以拉力为正，NF压力为负。压力为负。2）21|- |ttt 例题例题1 图示简支刚架内侧温度升高图示简支刚架内侧温度升高25C，外侧温度升高，外侧温度升高5C，各截面为，各截面为 矩形，矩形，h=0.5m,线膨胀系数线膨胀系数 =1.010-5 ,试求梁中点的竖向位移试求梁中点的竖向位移 DV。+25C+5C解：解：作出作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：图后，依求位移公式计算位移： KKMNthttw w w w )()(0)0.001275m(236210.520101.072115101.055第第5章章MK图图3/2NK图图1/2例题例题2 2 三铰刚架，支座三铰刚架，支座B B发生如图所示的位移：发生如图所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角求由此而引起的左支座处杆端截面的转角 A。解：解：在要求位移方向上加单位力（图在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移），求出支座反力后依求位移公式计算位移：公式计算位移：（图（图1）（图（图2） aKACR )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad第第5章章505-7 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、一、 虚功互等定理虚功互等定理考察同一结构的状态考察同一结构的状态I和状态和状态II。PbFPaFQFMNF状态状态IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF状态状态I51120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 令状态令状态I的平衡力系在状态的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到： 令状态令状态II的平衡力系在状态的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 52二、二、 位移互等定理位移互等定理定理定理 在任一线性变形体系中，由荷载在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷引起的与荷载载FP2相应的相应的位移影响系数位移影响系数21等于等于由荷载由荷载FP2引起引起的与荷载的与荷载FP1相应的相应的位移影响系数位移影响系数12。即即 12= 21定理定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的二状态的位移上所做的虚功虚功W12等于等于第二状态的外第二状态的外力在第一状态的位移上所做的力在第一状态的位移上所做的虚功虚功W21。1221WW53212121PPFF由功的互等定理可得：由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移在线性变形体系中，位移ij与力与力FPj的比值是的比值是一个常数，记作一个常数，记作ij，即：，即：i ji jP jF或或2112112212PPijPjijFFF于是于是21121221PPPPFFFF所以所以2112状态状态II2PF122212状态状态I1PF1221115411PF12211121PF122212说明：说明：1） ij也称为也称为柔度系数，即单位力产生的位移柔度系数，即单位力产生的位移。 i 产生位移的方位；产生位移的方位； j 产生位移的原因。产生位移的原因。2） FP1和和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的相应的12和和21就是线位移影响系数或角位移影响就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是系数。即荷载可以是广义荷载广义荷载，而位移则是，而位移则是广义广义位移位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等上仍然保持相等。12()PPW F F55例例1 验证位移互等定理。验证位移互等定理。EIMaMaaEIEIFaFaaEI162141211162141211212221解：解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/41/2M/256EIaMEIaF16/16/2121222121所以所以2112例例6-6-2 验证位移互等定理。验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kNm.m2124m1m1EIFP2=3kN21257解：解：2121211212121111025 41/52333111223 41/3233EIEIEIEIEIEI 所以所以211215311158三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。座反力均等于零。12C1FR21FR11状态状态I12C2FR22FR12状态状态II根据功的互等定理有：根据功的互等定理有：002211222111RRRRFCFCFF212121RRFCFC59 在线性变形体系中，反力在线性变形体系中，反力FRij与与Cj的比值为一的比值为一常数，记作常数，记作rij，即，即R ijijjFrC或或2121112122RijijjRRFr CFr CFr C所以所以21121221r C Cr C C得得1221rr说明：说明： rij 也称为也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的刚度系数，即产生单位位移所需施加的力力。其量纲为。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位；产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。产生支座移动的支座。1 2()W c c60例例6-6-3 验证反力互等定理。验证反力互等定理。可见：可见：r12=r21定理定理 在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与引起的与位移位移C2相应的相应的反力影响系数反力影响系数r21等于由位移等于由位移C2引起引起的与位移的与位移C1相应的相应的反力影响系数反力影响系数r12。12EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l261四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：根据功的互等定理有：1122121122120PRPRFFCFFC 令令1221122121RPFrCF状态状态I1FP12FR21状态状态II1122C262位移反力互等定理在混合法中得到应用。位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以所以11221 212PPFCFr C 由此得到由此得到1221r 即即1212221211RPCFr F 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。移方向相反。 系数系数 、 的量纲都是的量纲都是 。1221r1 2()PW F c定理定理 在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷引起的与荷载载FP1相应的相应的位移影响系数位移影响系数 在绝对值上等于由荷在绝对值上等于由荷载载FP1引起的与位移引起的与位移C2相应的相应的反力影响系数反力影响系数 ，但，但二者符号相反。二者符号相反。1221r63例例 验证位移反力互等定理。验证位移反力互等定理。1221516r FP1C2a/2a/2112165PRFF212165C1221补例补例1 1、 试绘制图示结构内力图。试绘制图示结构内力图。P/2P/2Paaa30kN30kN3kN/m5m5m10m10m10maa/2a/2Ppamma2a2aa二、试绘制图示结构弯矩图。二、试绘制图示结构弯矩图。2KN16kN/m2kN/m8kN2m2m2m2m第第5章章P/2P/2PaaaPa/2Pa/2Pa/2Pa/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2M图图Q图图N图图aa/2a/2PpaP2P2P2pa1.5pa0.5pa2PP2PM图图Q图图N图图2pa第第5章章a/2a/2a/22KN16kN/m2kN/m8kNa/220361212613kN5kN6kN26513135M(kN.m)Q(kN)N(kN)30kN30kN3kN/m5m5m10m10m10m4507515037.5M(kN.m)7.5kN37.5kNmma2a2aa1.5m3mmM图图0.5m/a1.5m/a2m/a3m第第5章章补例补例2 2、 试求图示桁架指定截面之内力。试求图示桁架指定截面之内力。1234PPaa2aaPaaaaa2a123PP1234aaaaaa第第5章章ABCDPP0E11 0CM（1）作）作1-1截面，研究其左半部：截面，研究其左半部：压压）(221PN 0KM拉拉）(44PN （2）研究结点）研究结点D： 0Y拉拉）(233PN （3）研究结点）研究结点E： 0EDF)(42压压PN K第第5章章PP1234aaaaaaABCPP033 0Y（1）作）作1-1截面，研究其右半部：截面，研究其右半部：拉拉）(2PN 0BM拉拉）(54PN （3）研究结点）研究结点C： 0Y压压）(5PNDC 1122Dn00000 0nF（2）作）作2-2截面，研究其右半部：截面，研究其右半部：03 N作作3-3截面，研究其左半部：截面，研究其左半部： 0Y拉拉）(221PN 第第5章章1234PPaa2aa（2）作）作1-1截面，研究其右半部：截面，研究其右半部：拉拉）(423PN 0FM（1）研究结点）研究结点A： 0Y拉拉）(423PNAC 0X拉拉）(41PNAE （3）研究结点）研究结点C： 0X拉拉）(222PN （4）研究结点）研究结点G： 0X拉拉）(211PN 第第5章章Paaaaa2a12311P3P/43P/4ACDGFEB补例补例3 3、 试求图示结构试求图示结构A A点的竖向位移。点的竖向位移。qaBAEI补例补例4 4、 试求图示结构试求图示结构B B点的水平位移。点的水平位移。qaaaa)(2454 EIqaAV22qa82qaa图图PM图图KMP=1） (3284EIqaBH24qaa2a22qa图图KM图图PMP=1EIEIEIAB第第5章章 （1）图乘法的适用条件是什么？）图乘法的适用条件是什么？ （2）图乘法的公式是怎样的？说明各符号的物理意）图乘法的公式是怎样的？说明各符号的物理意义。如何图乘？义。如何图乘？ （3）使用图乘法时应注意什么问题）使用图乘法时应注意什么问题 ？复习思考复习思考图乘法应满足的条件图乘法应满足的条件 1 1、杆件为等截面直杆。、杆件为等截面直杆。3 3、M MK K、M MP P图形中至少有一个为直线图形。图形中至少有一个为直线图形。2 2、EIEI为常数。为常数。第第5章章返回返回图乘法公式及其物理意义图乘法公式及其物理意义EIydsEIMM0PlPK结论：结论： 之值等于某一曲线图形的面积之值等于某一曲线图形的面积乘以乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵标该面积形心所对应的另一直线图形的纵标y y0 0, ,再除以再除以EIEI。 lPKdsEIMM第第5章章yxoyyodxdMP(x)MK(X)xxoBA返回返回 使用乘法时应注意的问题使用乘法时应注意的问题 1 1、y yo o必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2 2、当、当M MK K为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算； 3 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；、当杆件为变截面时亦应分段计算； 4 4、图乘有正负之分；、图乘有正负之分； 5 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；分别取自两图形； 6 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；别图乘； 7 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记记。第第5章章返回返回