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本章整合第一章 数列数列 专题一专题二专题一数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法.1.辅助数列法利用数列的递推公式,构造一个新的数列(等差或等比数列),由新数列的通项公式求得通项公式.专题一专题二提示:已知递推关系an+1=kan+b求通项,用辅助数列求解的步骤:设an+1+=k(an+),与已知式比较,求出,由辅助数列an+是等比数列即可得解.专题一专题二专题一专题二专题一专题二2.迭代法对于形如an=f(an-1)的递推公式,采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式,最终使an与初始值a1(或a2)建立联系的方法就是迭代法.专题一专题二应用3已知数列an,a1=2,an=2an-1-1(n2),求通项公式an.解:an=2an-1-1=2(2an-2-1)-1=22an-2-2-1=22(2an-3-1)-2-1=23an-3-22-2-1=2n-1a1-2n-2-2n-3-22-2-1=2n-(2n-2+2n-3+22+2+1)=2n-2n-1+1=2n-1+1.专题一专题二应用4已知数列an,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n3),求数列an的通项公式.提示:本数列的递推公式形如“an+1=pan+qan-1”,故可转化为“an+1+xan=y(an+xan-1)”.专题一专题二专题一专题二3.叠加法对于形如an+1-an=f(n)的递推公式求通项公式.(1)当f(n)=d为常数时,an为等差数列,则an=a1+(n-1)d;(2)当f(n)为关于n的函数时,用叠加法.方法如下:由an+1-an=f(n),得当n2时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),a3-a2=f(2),a2-a1=f(1).将以上n-1个等式叠加,得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1),所以an=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.为了书写方便,也可以用横式来写:因为当n2时,an-an-1=f(n-1),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二应用5已知数列an,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式.提示:因为本题给出了数列an中连续两项的差,所以可考虑用叠加法求解.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当n2时,将以上n-1个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,专题一专题二专题一专题二专题一专题二应用6已知数列an满足an+1=2nan,且a1=1,求an.专题一专题二提示:由Sn与an的关系消去Sn(或an),转化为an(或Sn)的递推关系求解.专题一专题二专题一专题二应用8已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2(nN+),求an的通项公式.解:当n2时,Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2,将两式相减,得an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1).可见数列an+1-2an是公比为2的等比数列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,则a2-2a1=3.因此an+1-2an=32n-1.专题一专题二专题二数列求和的常用方法数列求和是数列部分的重要内容,也是高考的重要考点之一.对于数列求和问题,一般是先观察数列的特点和规律,如果通项公式能够求出,可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法.下面介绍几种常用的求和方法.专题一专题二1.公式法公式法是数列求和的最常用方法之一,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式,也可利用常见的求前n项和的公式,如:专题一专题二提示:首先分析数列的项的结构,把这个数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差数列、等比数列,然后用公式法求和.专题一专题二专题一专题二应用2求数列n(n+1)的前n项和Sn.解:设an=n(n+1)=n2+n,则Sn=a1+a2+an=(12+1)+(22+2)+(n2+n)=(12+22+n2)+(1+2+n)专题一专题二2.裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,对于分式的求和多利用此法.解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去的项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.常见的裂项公式有:专题一专题二专题一专题二专题一专题二3.错位相减法若在数列anbn中,an是等差数列,bn是等比数列,则可采用错位相减法求和.应用5数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN+).(1)求数列an的通项公式an;(2)求数列nan的前n项和Tn.提示:本题考查了求数列的通项公式及错位相减法求和.(1)an+1=Sn+1-Sn,先求出Sn,再求an;(2)利用错位相减法求通项公式.专题一专题二专题一专题二专题一专题二4.倒序相加法如果求和的结构中“每两项”的和为同一常数,那么可以用倒序相加法求解.应用6已知lg(xy)=a,S=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lg yn,求S.提示:当数列an满足ak+an-k=常数时,可用倒序相加法求数列的前n项和.解:将和式中各项倒序排列,得S=lg yn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+lg xn.将此式与原式两边对应相加,得专题一专题二5.分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成,那么可考虑利用分段求和.应用7已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=1(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=3+log4an,设Tn=|b1|+|b2|+|bn|,求Tn.提示: (1)利用已知的递推公式证明数列an是等比数列;(2)讨论bn的符号后,分段求和.专题一专题二专题一专题二专题一专题二6.奇偶分析法对于正负项间隔的数列或含有(-1)n的运算结构的数列求和,通常要进行奇偶性分类讨论求解.应用8在等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=an+(-1)nln an,求数列bn的前n项和Sn.专题一专题二提示:本题考查了等比数列的通项公式、前n项和的求法以及分类讨论的数学思想.在(1)小题中,分别讨论a1为3,2,10时a2,a3的取值,来确定数列an的通项公式,在(2)小题中,根据an的通项公式来确定bn的通项公式,再求和,要注意对bn通项公式的化简,使之易于求和.解: (1)当a1=3时,不符合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;当a1=10时,不符合题意.故a1=2,a2=6,a3=18,公比q=3,故an=23n-1.专题一专题二(2)bn=an+(-1)nln an=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln 2+(n-1)ln 3=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3.Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3.123456789101112131(2015课标全国高考)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=().答案:B 123456789101112132(2015课标全国高考)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84123456789101112133(2015课标全国高考)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.答案:A12345678910111213解析:a3a5=4(a4-1), 答案:C 123456789101112135(2016北京高考)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.解析:an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0.a4-a1=3d=-6.d=-2.S6=6a1+15d=66+15(-2)=6.答案:6123456789101112136(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN+,则a1=,S5=.解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.答案:1121 123456789101112137(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+36=20.答案:20123456789101112138(2016上海高考)无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和.若对任意nN+,Sn2,3,则k的最大值为.解析:由于对任意nN+,Sn2,3,所以当n=1时,a1=S1=2或a1=S1=3.即数列an的首项是2或3.当n2时,由an=Sn-Sn-1及题意知有下列几种情况:an=2-2=0,an=3-3=0,an=3-2=1,an=2-3=-1.综上可知组成这个数列an的数为-1,1,0,2,3这5个数或只有这5个数中的一部分.12345678910111213下面说明2和3不能同时出现在an中.当a1=2时,假设an=3,n2,则Sn=an+Sn-1=3+Sn-1,由于Sn-12,3,所以Sn2,3,不符合题意,同理,a1=3时,an中也不会出现2.所以an中只可能出现-1,1,0,2或-1,1,0,3,故k的最大值为4.答案:4123456789101112139(2015课标全国高考)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.解析:an+1=2an,答案:6 1234567891011121310(2016全国甲高考)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.解:(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893.1234567891011121311(2016全国丙高考)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;1234567891011121312(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;解:(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.123456789101112131234567891011121312345678910111213
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