备战2018年高考数学 纠错笔记系列 专题08 立体几何 理

专题08 立体几何易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 . 【错解】P 【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案. 【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.【参考答案】O1对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.1如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是A B C D【答案】D读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面容易导致错解.易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.【参考答案】D1当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚2三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(2)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.2如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为【答案】C【误区警示】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出， 但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误 易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为A3 B C6 D【错解】B【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为.实际上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解.【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答关键是牢记原图形与直观图的面积比为【参考答案】C1斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.2原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.3如图，ABC是ABC的直观图，那么ABC中最长的边为_【答案】AC本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A21+ B18+ C21 D18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【参考答案】A1柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.2柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2） 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.4如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD2 cm，下底BC10 cm，底角ABC60，现绕腰AB旋转一周，则所得的旋转体的体积是A246 B248C249 D250【答案】B【解析】过D作DEAB于E，过C作CFAB于F，所得旋转体是以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点，以DE为底面半径的圆锥的组合体本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为1 cm的圆锥的体积而错选C.易错点5 问题考虑不全面致错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12和16，则这两个截面圆间的距离为 .【错解】2如图，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在RtCOE中，.在RtDOF中，.所以CD=OCOD=86=2，故这两个截面圆间的距离为2.【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【参考答案】2或141球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.（2）球与几种特殊几何体的关系：长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为31；直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.2求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.5长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4 m，BC3 m，BB15 m，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为_【答案】 m【解析】沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图所示有三种剪法：如图(1)所示，若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1在同一个平面内，可求得(m).将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键本题容易忽略长方体表面具有不同的展开方式，不同的展开方式具有不同的最短路程，将各值比较后，所得的最小值就是最短路程易错点6 应用公理或其推论时出错已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线.（2）若B，C，D三点共线于l，若Al，El，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.【参考答案】见试题解析.在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.1证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.2证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.3证明点或线共面问题，主要有两种方法：首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.6已知直线l与三条平行直线a、b、c都相交求证：四条直线l、a、b、c共面【答案】见解析.解法二：ab，a、b确定一个平面，设laA，lbB，则A，B，AB.Al，Bl，l，即a、b、l在同一个平面内，故b在a、l确定的平面内ac，a、c确定一个平面.设lcC，laA，A，C，AC.Al，Cl，l，即a、c、l在同一个平面内，故c在a、l确定的平面内又laA，a和l只能确定一个平面，a、b、c、l共面本题常出现错误的原因是：若l与a共面于，l与b共面于，但，却不是同一平面，则推不出l与a，b共面易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30，则BC与AD所成的角为 .【错解】120如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则ENBC，MEAD，故为BC与MN所成的角，MEN为BC与AD所成的角，ENM=30.又由AD=BC，知ME=EN，EMN=ENM=30，即BC与AD所成的角为120.【错因分析】在未判断出MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角的取值范围是，如果MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 【试题解析】以上同错解，求得MEN=120，即BC与AD所成的角为60. 【参考答案】60求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角的取值范围是.1求异面直线所成的角的常见策略：（1）求异面直线所成的角常用平移法平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移（2）求异面直线所成角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.（3）判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角（2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等3求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，且，则二面角的大小为 【答案】45在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断如果两条平行直线a，b中的a，那么b.这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确a，在平面内一定存在一条直线c，使ac.又ab，bc，b. 【错因分析】忽略了b这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面有两种位置关系：b和b.【参考答案】见试题解析.错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行1点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直2熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题.8已知两个平面垂直，下列命题： 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是A3 B2C1D0【答案】C对于，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内.易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错如图，点P在所确定的平面外，于点，于点. 求证：. 【错解】因为，所以. 所以，所以. 【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由 得，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即.【参考答案】见试题解析.应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点.1判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义(无公共点)；利用线面平行的判定定理()；利用面面平行的性质()；利用面面平行的性质().2判定面面平行的常见策略：利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)利用面面平行的判定定理(主要方法)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).3证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性()；面面平行的性质()；面面垂直的性质4判定面面垂直的常见策略：利用定义(直二面角)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直9如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，求证：平面MNG平面ACD.【答案】见解析.【解析】如图所示，连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于点P、F、H.面面平行的判定定理中的条件，缺一不可，若没有两“相交”直线这个条件，则不一定有面面平行，也可能相交易错点10 对空间向量理解不正确致误已知下列命题：若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上其中是真命题的有_（填序号）【错解】【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合【参考答案】平行直线与平行向量的区别与联系：平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线是指任何不重合的两条平行直线因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线1判断两非零向量平行，就是判断是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.2证明空间三点P、A、B共线的方法：(R)； 对空间任一点O，(tR)；对空间任一点O，3证明空间四点P、M、A、B共面的方法：； 对空间任一点O，； 对空间任一点O，(xyz1)； (或或). 10已知向量，若向量同向，则实数的值为ABC或D或【答案】A综上，由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件若两向量平行，则两向量可能同向、也可能反向易错点11 不能正确利用空间向量解决立体几何问题已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，AB2PA，E是线段BC中点（1）判断PE与AD的关系；（2）在线段PD上是否存在一点F，使得CF平面PAE，说明你的理由【错解】（1）取A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PA1，则P(0，0，1)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(2，1，0)，(2，1，1)，(0，2，0)，20，PE与AD不垂直（2）设(0，2，)，则(2，22，1)又(0，0，1)，(2，1，0)设mn，则，即，、共面，CF平面PAE，存在点F为PD中点，使CF平面PAE.【错因分析】因为AB与AC不垂直，故以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立的坐标系不是直角坐标系，另外我们建立坐标系应为右手系（1）(0，1)，(2，0，0)，0，PEAD.（2）假设线段PD上存在一点F，使直线CF平面PAE，是平面PAE的一个法向量，设(2，0，)(01)，则(21，1)，(21，1)(2，0，0)420，解得，所以当F为线段PD的中点时，直线CF平面PAE.【参考答案】见试题解析.1利用向量法证明平行问题（1）证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.（2）证明线面平行：该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.（3）证明面面平行：两个平面的法向量平行.2利用向量法证明垂直问题（1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零（2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示（3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示3利用向量法求空间角（1）用向量法求异面直线所成的角建立空间直角坐标系；求出两条直线的方向向量；代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角的余弦值为.（2）用向量法求直线与平面所成的角分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角（3）用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角4利用向量法求空间距离（1）空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为求向量的模.（2）求点P到平面的距离的三个步骤：在平面内取一点A，确定向量的坐标确定平面的法向量n.代入公式求解5利用向量法求立体几何中的探索性问题（1）通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在（2）探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量11如图1，已知四边形为矩形，平面，且，则二面角的余弦值为 图1 【答案】【解析】分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则，图2令，可得平面的一个法向量为，所以，观察图形易知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为二面角的取值范围是，线面角的取值范围是，本题忽略了二面角既可能是锐角也可能是钝角而导致错误，解题时应仔细观察图形，避免出错一、空间几何体的结构及其三视图与直观图1空间几何体的结构（1）多面体几何体结构特征备注棱柱底面互相平行.侧面都是平行四边形.每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥底面是多边形. 侧面都是三角形. 侧面有一个公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底. 三棱锥又称为四面体.棱台上、下底面互相平行，且是相似图形. 各侧棱的延长线交于一点. 各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥（2）旋转体几何体结构特征备注圆柱圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. 平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥底面是圆面.有无数条母线，长度相等且交于顶点. 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. 有无数条母线，等长且延长线交于一点. 平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球球心和截面圆心的连线垂直于截面.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.2空间几何体的三视图（1）三视图的概念光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯画法规则)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.线条的规则)能看见的轮廓线用实线表示；)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆3空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使xOy=45(或135)，它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使xOz=90，且yOz=90.画直观图时，把它们画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy=45(或135)，xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面.已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.直观图的面积与原图面积之间的关系原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.二、空间几何体的表面积与体积1旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r，r，母线长为l）侧面展开图底面面积 侧面面积 表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：2柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体(S为底面面积，h为高)(r为底面半径，h为高)锥体(S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高)台体(S、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r、r分别为上、下底面半径，h为高)（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.3球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是（2）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球半径是（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高三、空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点直线a，则A和a确定一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面有且只有一个平面，使，推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面有且只有一个平面，使，公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且P=l，Pl，且l是唯一的公理4l1l2l平行于同一直线的两条直线平行l1l，l2ll1l22等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在AOB与AOB中，则或.图（1） 图（2）3空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 4异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线aa，bb，相交直线a，b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.（3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab. 5直线与平面、平面与平面位置关系的分类（1）直线和平面位置关系的分类按公共点个数分类：按是否平行分类：按直线是否在平面内分类：（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行没有公共点；（2）两个平面相交有一条公共直线. （1）唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线四、直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行线面平行图形语言符号语言a，b，且aba作用证明直线与平面平行2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行线线平行图形语言符号语言作用作为证明线线平行的依据作为画一条直线与已知直线平行的依据.3平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行面面平行图形语言符号语言a，b，a，b作用证明两个平面平行4平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.简记为：面面平行线线平行图形语言符号语言作用证明线线平行1平行问题的转化关系2常用结论（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例（6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行（8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行五、直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作：l.图形表示如下：定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语2直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直线面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，l作用判断直线与平面垂直在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明两直线平行；构造平行线.4平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作.图形表示如下：5平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直面面垂直图形语言符号语言l，作用判断两平面垂直6平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直7直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角的范围是.8二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.1垂直问题的转化关系2常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直（5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内六、空间向量与立体几何1空间直角坐标系定义以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2空间一点M的坐标（1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系3空间两点间的距离公式、中点公式（1）距离公式设点，为空间两点，则两点间的距离.设点，则点与坐标原点O之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则.4共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.牢记两个推论：（1）对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使或（其中）.（2）如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式.5共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.6空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. （1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作为基向量.7空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设，则，.8直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.9利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）线线平行：若，则；线面平行：若，则；面面平行：若，则.（2）线线垂直：若，则；线面垂直：若，则；面面垂直：若，则.10利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）直线所成的角为，则，计算方法：；（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；（3）平面所成的二面角为，则，如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小如图，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)11利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，为空间两点，则两点间的距离. （2）点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为.12016新课标卷理如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A17B18C20D28 【答案】A 22017新课标卷理已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围3如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 A B C D【答案】A【解析】对于B，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于C，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于D，易知ABNQ，则直线AB平面MNQ故排除B，C，D，选A【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 4现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为A B C D【答案】C5某几何体的三视图如图所示，则该几何体中面积最大的侧面的面积为A BC D【答案】B 【解析】本题主要考查三视图.由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，高为1，直观图如下图所示，其中平面ADE平面BCDE，四个侧面面积分别为，最大面积是，故本题选B.6已知是两条不同直线，是平面，则下列命题为真命题的是A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【答案】B 7已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是A B1C D【答案】A 【解析】因为三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，