271直线与双曲线的位置关系(理)

2.71直线与双曲线的位置关系【学习目标】1能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据形”设双曲线方程的具体形式；定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（a大于0且2a|F1F2）的动点P的轨迹叫作双曲线这两个定点Fi、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距双曲线的标准方程:焦点在x轴上的双曲线的标准方程1(a0,b0)标准方程22471(a0,b0)22Ap1(a0,b0)图形%y1fiyMJfI0X性质焦占八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距IF1F2I2c(cJa2b2)|F1F2|2c(cVa2b2)范围xxa或xa,yRyya或ya,xR对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)(0,a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率ce(e1)a渐近线方程byxaayxb说明：焦点是F1（-c,0）、F2（c,0），其中c2=a2_b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程b21(a0,b0)说明：焦点是F，-c）、F2（0，c）,其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从定形”定式”和定值”三个方面去思考定形”是指对称中心在原点,要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系X2y2将直线的方程ykxm与双曲线的方程21（a0,b0）联立成方程组，消元转化为关于x或yab的一元二次方程，其判别式为.（b2a2k2）x22a2mkxa2m2a2b20若b2a2k20,即k-，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a若b2a2k20,即kb,a 厶0直线和双曲线相交 厶二0直线和双曲线相切 0,b0)的一条渐近线平行于直线I:y=2x+10,双曲【解析】联立方程组y2k(X1)消去y,并依X项整理得:x2y24(1k2)x2+2k2xk24=05(1) 当1k2=0即k=1时，方程可化为2x=5,x=-，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共2点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2) 当1k20时，即k,l此时有=43k2)若43k20(k21,)2A.x2y1B.2x2y520205C.3x23y21D.3x23y22510010025【答案】A【解析】令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(5,0),线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为()c=5,2则k1(1,1)1,23，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点332双曲线4ay1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,2i3若43k2=0(k2工1)则k=方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).若43k20,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,abAB,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|,贝UE的离心率是【解析】依题意，不妨设AB6,AD4作出图像如下图所示则2c4,c2;2a【巩固练习】、选择题i.双曲线3x22椭圆i3.3x2y2mDF2DFi532,ai,故离心率-a3的渐近线方程是i与双曲线ix32x2m2y_2i有相同的焦点，则m的值是(20i5新课标n文改编)已知双曲线过点，且渐近线方程为y).2x2A.yi42xB.2y2i2xC.42xD.2不存在1 、一、x，则该双曲线的标准方程为22y44.(20i5湖北)将离心率为e2的双曲线G,则()b,eie2B.当ab时,长度，得到离心率为A对任意的a,C.对任意的a,b,eive2已知双曲线的两个焦点为5.=2,则该双曲线的方程是22xyA.i23B.ei的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长b(a丰b)eie2；当avb时，eive2D.当ab时，eive2；当avb时，eie2Fi(.5,0)、)F2(5,0),P是此双曲线上的一点,同时增加m(m0)个单位PFi丄PF2,|PFi|PF2|6.已知双曲线的左、右焦点分别为长是(A.)B.i82iD.262xC.y2iFi、F2,在左支上过Fi的弦AB的长为5,若2a=8,那么ABF2的周二、填空题7.已知双曲线x21221的右焦点为F,4若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是2x&(2016葫芦岛二模)已知双曲线a2与1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,6),则该渐近线b与圆(X2)2+y2=16相交所得的弦长为_2y21(a0,be的最大值为2y_9X29.已知双曲线a4|PF2|,则此双曲线离心率10设一个圆的圆心在双曲线圆圆心的距离是三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为准方程及其渐近线.12设双曲线2x2ay21(a率e的取值范围:13.(2016肇庆三模)点到直线I的距离为c,4b0)的左、右焦点分别是F1,F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|=F11的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点,F2(0,O到该),且离心率e42，求双曲线的标0)与直线I:Xy1相交于两个不同的点A、B;求双曲线C的离心2y2=1(0a0,b0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双b求双曲线的渐近线方程.22xy15.已知双曲线E:二21(a0,b0)的两条渐近线分别为丨1：y=2x,I2：y=2x.ab求双曲线E的离心率；(1) 如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限)，且厶OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.JA1/7/J/r/h【答案与解析】【答案】：C22【解析】：将双曲线化为x21,以0代替1，得x20,即y23x2；33即y.3x，故选C【答案】：A【解析】：验证法：当m=时，m2=1,对椭圆来说，a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说，a2=1,b2=2,c2=3,故当m=时，它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2=m2+2./m2=1，即m=1.1. 【答案】：A【解析】：根据双曲线渐近方程为y-x，可设双曲线的方程为22m，把(4,一3)代入42得m=1.所以双曲线的方程为y21，故选A。44.【答案】：D【解析】依题意，e1a2b2a1占)2g.(am)2(bm)2am因为bbmabbmabam因为aama(am)bbm所以当ab时，01,0aam当avb时，b1,bm,由b1，而aama-，由于m0,a0,b0,a(am)1,bbmb2bm、2，所以e1ve2；,()()aamiaambm，所以b2(-)2bm、2所以e1e2.()，amaam所以当ab时，eive2；当avb时，eie2.故选D.5.【答案】：C【解析】：c=,|PFi|2+|PF2|2=|FiF2|2=4c2,(|PFi|PF2|)2+2|PFi|PF2|=4c2,4a2=4c24=16,.a2=4,b2=1.【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(X0,y0),贝y入双曲线方程得兰92X。4X所以x027162甘，故|PO|=.云=27161616y0=916E11.【解析】：由条件知焦点在轴上，c2.2,2；可求a2,b.c2a2ay0=_5=4.代22;所以双曲线6.【答案】：D【解析】：|AF2|AFi|=2a=8,|BF2|BFi|=2a=8,.|AF2|+|BF2|(|AFi|+|BFi|)=16,|AF2|+|BF2|=i6+5=2i,ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=2i+5=26.的方程为12.2x2a7.【答案】：【解析】：由题意知F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=X，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是&【答案】：522【解析】：双曲线笃每1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,6),ab可得渐近线方程为：y=2x，圆(X2)2+y2=i6的圆心与半径分别为(2,0),4,该渐近线与圆(x2)2+y2=i6相交所得的弦长为：故答案为:16559.【答案】：16.55【解析】：由53|PFi|PF2|=2a及|PFi|=4|PF2|得:|PF2|=，又|pF2丸一a,32a5a所以淘一a,cw33c5e=-w5,即e的最大值为a31,渐近线方程为yx.【解析】：由C与I相交于两个不同的点，故知方程组y2i,yi.有两个不同的实数解.消去y并整理得(1a2)x2+2a2x2a2=0.所以4af8；(1a2)0.双曲线的离心率1a2e-ae6且e22解得0a.2且a1.1,F.2)UC2,213.【解析】：由已知，I的方程为ay+bx-ab=0,原点到I的距离为一3c,则有ab470又c2=a2+b2,4ab3c2,两边平方，；即离心率e勺取值范围为两边同除以a4并整理得/0a2或kv2;则C(0)，记A(X1,y1),B(x2,y2),kx2xm得y1沁，同理得2k2my2汀，SAOAB=2|OC|?|y1y2得:22m2k2m2k8，即m2=4|4k2|=4(k24).ykxm由x2y2，得(4k2)x22kmxm216=0.1416因为4k2v0,所以=4k2m2+4(4k2)(m2+16)=16(4k2m216),又因为m2=4(k24),所以厶二。，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为216