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专题八系列4选讲第一讲(选修44)坐标系与参数方程必记公式直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则重要结论1圆的极坐标方程(1)若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos(0)r20.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程当圆心位于极点，半径为r：r；当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos；当圆心位于M，半径为a：2asin.2直线的极坐标方程(1)若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程直线过极点：0和0；直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cosa；直线过M且平行于极轴：sinb.3几种常见曲线的参数方程(1)圆以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数当圆心在(0,0)时，方程为其中是参数(2)椭圆椭圆1(ab0)的参数方程是其中是参数椭圆1(ab0)的参数方程是其中是参数(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数4直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).通常称为直线l的参数方程的“标准式”其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.当00，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上此时，若t0，则的方向向上；若t0，则的方向向下；若t0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t|；当点M在M0下方时，有t|.失分警示1极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位2在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性考点极坐标方程及其应用典例示法典例1已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,00)，l：cos，C与l有且仅有一个公共点(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且AOB，求|OA|OB|的最大值解(1)曲线C：2acos(a0)，变形22acos，化为x2y22ax，即(xa)2y2a2.曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；由l：cos，展开为cossin，l的直角坐标方程为xy30.由题可知直线l与圆C相切，即a，解得a1.(2)不妨设A的极角为，B的极角为，则|OA|OB|2cos2cos3cossin2cos，当时，|OA|OB|取得最大值2.考点参数方程及其应用典例示法典例22014全国卷已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.1参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：t1；224；221.2参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路(1)可以统一成普通方程处理(2)利用参数方程中参数解决问题，如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题，利用圆锥曲线参数方程中的参数角解决与最值相关的问题针对训练2016唐山统考将曲线C1：x2y21上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|BD|.解(1)由题意可得C2：y21，l：(t为参数)(2)将代入y21，整理得5t24t40.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos30，故|AC|BD|AC|(|AD|AB|)|AC|AD|AB|t1t2.考点极坐标方程与参数方程的综合应用典例示法典例32015全国卷在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(2cos，)所以|AB|2sin2cos|4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理针对训练2016西安质检在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标解(1)对于曲线C1有则2y2cos2sin21，即C1的普通方程为y21.对于曲线C2有sin(cossin)4cossin8xy80，所以C2的直角坐标方程为xy80.(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(cos，sin)到直线xy80的距离为d，当sin1时，d取最小值为3，此时点P的坐标为.全国卷高考真题调研12016全国卷在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan.所以l的斜率为或.22015全国卷在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.32014全国卷在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cost，sint)由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant，t.故D的直角坐标为，即.其它省市高考题借鉴42016北京高考在极坐标系中，直线cossin10与圆2cos交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析将cossin10化为直角坐标方程为xy10，将2cos化为直角坐标方程为(x1)2y21，圆心坐标为(1,0)，半径r1，又(1,0)在直线xy10上，所以|AB|2r2.52015湖北高考在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析因为(sin3cos)0，所以sin3cos，所以y3x0，即y3x.由消去t得y2x24.由解得或不妨令A，B，由两点间的距离公式得|AB|2.62015湖南高考已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos等价于22cos.将2x2y2，cosx代入，即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.12016合肥质检在直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：sincosm.(1)若m0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围解(1)曲线C的普通方程为：(x1)2(y1)22，是一个圆；当m0时，直线l的直角坐标方程为：xy0，圆心C到直线l的距离为dr，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相切(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d，解得1m5.22016湖南四校联考已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面4sin的公共点，求xy的取值范围解(1)因为圆C的极坐标方程为4sin，所以24sin4又2x2y2，xcos，ysin，所以x2y22y2x，所以圆C的普通方程为x2y22x2y0.(2)设zxy，由圆C的方程x2y22x2y0(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2，将代入zxy得zt.又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范围是2,232016山西质检已知曲线C1：xy和C2：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离解(1)C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的极坐标方程为，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.42016长春质量监测在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值解(1)对于曲线C2有8cos，即24cos4sin，因此曲线C2的直角坐标方程为x2y24x4y0，其表示一个圆(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t22sint130，|AB|t1t2|，因此|AB|的最小值为2，最大值为8.52016河南六市一联在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AOB的面积解(1)由曲线C的极坐标方程，得2sin22cos，所以曲线C的直角坐标方程是y22x.由直线l的参数方程得t3y，代入x1t中，消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y22x，得t28t70，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t28，t1t27，所以|AB|t1t2|6，因为原点到直线xy40的距离d2，所以AOB的面积是|AB|d6212.62016贵阳监测极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为4cos(0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，00)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.
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