孔史数学通报直观几何实验几何与综合几何课程设计比较分析

几何课程设计方式的比较分析-直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较孔凡哲基金项目 全国教育科学“十五”规划重点课题基础教育新课程新教材研制开发机制与质量监控的研究与实践（BHA030025）。 作者简介 孔凡哲（1965-）男，山东济宁人，东北师范大学教育科学学院教授、硕士生导师、院长助理。主要从事课程与教学论、数学教育及命题评价研究。E-mail:fzkong,fzkong3 （0431）5099962（O） 史亮（东北师范大学基础教育课程研究中心 130024） （东北师范大学附中 130021）数学通报2006年第10期：711自几何原本1诞生的两千多年来，关于几何课程的研究一致持续不断，尤其是，近年来，国际教育界关于几何课程设计方式的研究有了突出进展，不同于几何原本的综合几何课程设计风格的新型设计方式（如，直观几何、实验几何）逐渐趋于完善。了解这些不同风格的几何课程设计，对于研究几何课程改革大有裨益。本文拟从课程设计的视角，试图诠释中外中小学几何课程改革的一些困惑，讨论义务教育阶段几何课程设计的特点和发展趋势。一、直观几何、实验几何课程设计特点分析课程设计是新课程的关键环节之一。一般地，课程设计有学术理性主义取向、认知发展取向、人本主义取向、社会重建主义取向、科技取向等多种价值取向。作为义务教育阶段的几何课程设计，自然有多种设计方式，直观几何、实验几何与综合几何就是差异较大的课程设计风格。简要地说，所谓直观几何，通常是指作为直观层面的几何学，而实验几何意指作为一种实验活动出现的几何学，而综合几何特指以往所指的几何学，它以论证几何为主体，综合利用几何方法，并借助一些代数公理和几何直观。直观几何、实验几何有时也称为经验几何，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。直观几何2一书就是直观几何课程设计的典型代表，而发现几何3作为美国核心课程出版社出版的一本中学几何教科书，它具有鲜明的归纳、探究、实验的特征，而几何原本1可以作为综合几何的典型代表和直接源头。1直观几何、实验几何的作用从人类发展史上看，几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构的学科。有学者4将几何发展史分为四个阶段并不无道理，这四个阶段是“实验几何的形成与发展；理论几何的形成与发展；解析几何的产生与发展；现代几何的产生和发展”，而“实验几何的形成与发展经历了漫长的历史阶段人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一些粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，大体上就是实验几何的内容”。当然，这里的“实验几何”究竟是叫直观几何还是实验几何，还是兼而有之，尚可以商榷、斟酌。对于实验几何的作用和功能，有学者认为5，“首先，通过对几何图形的旋转、翻折、平移、拼接或拆分等各种运动来发现一些几何事实或几何关系；其次，通过一些开放性的几何问题猜想结论或探求条件，培养学生对开放性问题的灵活、主动，富有创造性的思维能力；第三，对于问题从多角度进行综合思维、尝试，寻求多解的渠道或研究几个问题的共同本质，发现规律，获得统一的结论；最后，解决处理应用问题，主要包括一些实际问题引出的几何问题，或有应用背景的几何问题和一些可以用几何方法解决的实际问题”。这些观点的确反映了实验几何的一些作用和功能。 从课程设计的视角看，直观几何、实验几何具有论证几何（综合几何）无法取代的课程功能和教育作用，这些功能和作用集中体现为：（1）论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。正如丁尔升先生所指出的6，实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验，同时，可以变高速的论证技巧为不同水平的创造活动，还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象，变几何学习为一种趣味活动，并在这种活动中培养学生的观察能力、实验能力、创造力以及归纳、类比能力，这些一般能力的培养对提高人的素质具有十分重要的意义。发现几何:一种归纳的方法3一书从更加具体的方面提出了类似的观点。基于上述观点，国际数学教育界的许多人士主张重视实验几何的教学。与其同时，许多人反对把公理系统过早地引入中学几何，从而使几何的学习成为一种形式的学习，但绝不是取消推理几何、论证几何的中学学习。（2）直观几何、实验几何是学习推理论证几何的必要前提。一方面，图形与空间的学习可分为知觉性的学习、操作性的学习、构图性的学习和论述性的学习。要达到论述性的学习，首先要有充分的知觉性的学习、操作性的学习，才能得心应手。义务教育阶段推理能力的培养必须以学生已有的几何直觉和几何活动经验为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。因此，学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。正如俄罗斯教育家乌申斯基所说的，“儿童一般要依靠形象、色彩、声音和触觉来思考的”，无论几何的哪部分内容，都需要基于学生已有的几何活动经验和体验。在实验几何、直观几何的教科书设计时，对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索、发现几何的结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，以便为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫。（3）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。事实上，作为一种教育材料出现的实验几何课程内容，将其作为发现真理、培养思维能力和创造能力的一种有效途径，是课程设计的重要目标之一，也是几何学习的一种认知水平5。正所谓实验、归纳、猜测、类比等方法可以发现真理，而论证可以确认真理。总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用，同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、提高几何思维水平的重要方法。2直观几何课程设计的典型代表由俄罗斯L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著的直观几何2可以作为直观几何课程设计的典型代表。沙雷全（Igor Sharygin）教授，现任国际数学教育委员会执行委员。直观几何（56年级用）让孩子用直观的方法（429副插图）接触大量的、生动的几何世界，其中包括折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单向曲面、六面体的展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题。这种课程教材设计开阔了学生的数学视野，让学生体验了数学的魅力和情趣，理解了数学发现的生动历程，认识了数学的价值和意义，有利于学生形成良好的数学基础。同时，沙雷金编辑的几何（79年级用）以运动集合的观点为主线，用现代的几何学思想构建体系：七年级“刚体几何学”，八年级“相似几何学”，九年级“度量几何学”；几何（1011年级用）包括立体几何，解析几何，旋转体的体积，正多面体。7这种课程设计方式，其突出的特色表现在如下三个方面：（1）课程目标呈现出多维的特点 在直观几何、实验几何课程设计下，几何课程目标发生显著变化，课程目标已经不仅仅停留在掌握欧式几何公理体系、获得几何论证的能力，而是发展为掌握基本几何形体的特征，培养欣赏与设计几何形体的能力，逐步形成关于设定方位、描述空间关系等方面的空间观念和几何直觉；同时，培养几何论证的能力，以及提出图形与空间的问题、分析和解决相关问题的能力，其核心在于培养几何直觉、空间观念和推理（包括合情推理 有的学者(如，史宁中教授)也将合情推理称为直观推理。和逻辑推理）能力。（2）呈现方式的鲜活气息在直观几何、实验几何课程设计中，严格孤傲的公理体系、单调乏味的点线面，被生动有趣的生活哲理，以及变换多姿的可视图形所取代，这改变了综合几何严谨、抽象、枯燥的呈现方式，几何达到了它从未有过的丰富程度，表现出勃勃生机。正如N.杜勃林教授在评论直观几何2一书时所说的，直观几何从人类文化的视角展示了几何的古老美丽和生机，强调学习几何的价值，不仅在于训练思维和它的实际应用，更在于它所蕴涵的文化因素，揭示了几何的内在魅力，这也是几何吸引学生的实质。 （3）几何的现实性与理性思维的和谐统一 在直观几何中，学习内容是相当现实有趣和富挑战性的，并通过各种不同的自然方式呈现出几何与自然社会的联系，学生可以在自己生活的周围世界中亲身感受这种联系，有效地综合利用它获得必备知识。如，直观几何2从俄罗斯宏伟、典雅的建筑展示了圆弧的存在及对称的效应，从“雅典王泰西战胜弥洛陶罗”的古希腊神话引出了奥妙无穷的迷宫知识，教材每节前言中的数学史话传说、故事和生活事例，可以不经意地引发学生对生活几何的思考，从而引起学习它的欲望。同时，数学游戏、谜语等问题的加盟使得直观几何充满了无尽的乐趣与挑战。此外，直观几何内容的呈现，也注意了学生的差异性，根据学生知识背景和认知发展水平的不同，由浅入深、循序渐进地让他们主动从事观察、实验、猜测、验证、推理、交流等数学活动，以提升他们对数学的认识。直观几何并没有放弃几何教育的主体目标，在大量的实践操作中可充分锻炼学生的逻辑思维、空间想象、演绎推理等多种数学能力。 或许有人会对直观几何产生如下的疑问：充分展示几何的直观性，从文化角度考虑几何，必然会放弃几何自身的严谨性、系统性、条理性，学生理性思维的培养将被严重削弱，几何的教育功能也就会丧失。对待上述疑问可从直观几何的习题中找到答案。事实上，习题的非形式化呈现方式不同于传统几何教材中的数学式题目，对于学生理性思维的训练也更显灵活性、趣味性7，易于激发学生的学习兴趣，促使他们主动探索。（4）从课程设计的角度，对几何教的过程与学的过程重新定位。张奠宙先生在直观几何中文版2的前言中将几何学习概括成四个步骤直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。不言而喻，综合几何重视后两个步骤而严重忽视前两个步骤。事实上，对12岁以下的绝大多数儿童来说，过早地进行纯粹的思辨论证及枯燥的计算，不仅可能压抑了学生的发展，同时也可能扼杀了几何的生机。 在直观几何、实验几何课程设计观下，几何的学习应从学生生活经验中所熟悉的形体入手，藉由本身的知觉，经过操作与实测，以察觉、辨识几何形体的组成要素及其与几何形体之间的关系，进而能确定空间的基本概念，掌握基本性质，进行简单的推理。 几何的启蒙活动应该藉由探索、研究与讨论生活中的形体，充分使用学生的几何概念，熟练地描述与表征周围的环境。这些实验、观察、探索的活动需要不断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的发展。因而，在学生的几何学习历程中，几何课程设计应当给学生提供机会，让他们探索、观察、感觉、构建和分解身边的几何形体，进而就像用画图、模型或计算机一样去创造世界。二、直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的对比在人们的心目中，综合几何根深蒂固，而综合几何的源头和代表仍属欧几里得几何原本1。长期以来，人们仍将改编于几何原本的传统中学几何课程称为综合几何。直到现代，还有人这样认为：关于三角形和圆的初等综合几何，希腊人已经阐述得尽善尽美了。但实际情况并非如此，整个十九世纪，人们对此又进行了令人信服的深入研究，即使现在看来，这一研究领域仍然没有到头，有关三角形和相关的点、线、圆的大量综合探讨性论文已经并且正在继续发表。不少研究资料已经引伸到四面体及伴随的点、线、面、球。与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色： 1不同的课程目标和价值取向。从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。不难发现，两种课程设计模式，一种重视空间观念、几何直觉基础之上的逻辑论证，另一种则主要关注逻辑论证和几何公理体系；一种重视“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”的全过程，而另一种则重视对几何问题的思辨论证和计算；一种主张“通过几何的学习发展发现几何真理的能力和确认几何真理的能力”，而另一种则是仅仅关注确认几何真理的能力；一种是过程为本、兼顾结果的课程设计风格，而另一种则是学科中心的课程设计模式。2不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系。以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新型关系。 3不同的课程设计风格在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型和经验型的课程外，大多数课程介于两者之间。直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。学科型课程依托的是作为一门学科的科学体系。学科型课程的教材通常由从定义出发的逻辑链条构建而成，一般要分科，而且结构清晰、文字简练、叙述清楚、要点鲜明，教师用起来比较顺手。特别地，使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设定的课堂教学目标，短短一节数学课总能按计划完成一个、两个，甚至多个具体任务。另一方面，这种教材的面貌一般会比较抽象，题材离学生熟悉的生活比较远，留给学生思考与想象的空间不大，教师虽然好教，可能对学生有挑战性，但未必好学。长期以来我国中小学数学教材比较接近这种设计模式。这种模式也经常成为人们衡量新课程、教材的参照系。而经验型课程依托的是学生的经验。经验型课程的教材通常是从具体的情景出发，这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景，有的可能是学生喜欢的童话、传说、科幻故事中的现成题材，有的就是学生自己已有的数学知识积累。从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面，把原本在学科型课程中的条理清晰的不同学科方向同时“和盘”托出。这样的教材一般都题材丰富，读起来引人入胜。由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析，离不开学生自己的新发现，因而，灌输式的教学方法对此基本无效。美国教育百科全书出版社1998年出版的情景数学教材就是彻头彻尾的经验型课程教材，这是一套为美国1014岁（介于我国小学高年级和初中低年级之间）学生编写的教材，整套教材的标题系统没有一点数学的味道，都是诸如“上上下下”、“影子的故事”、“干和湿”等等，如果不深入进去，根本无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容，只有看完了、读懂了，才为其中设计的精巧而折服这套教材从头至尾，用一串串的问题组成，通过一个接一个提出问题，一步一步引导学生走入由代数、几何、统计构成的数学世界。当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。4不同的教学要求在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。按照俄罗斯教育家乌申斯基的说法，“直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据，而是以学生直接感知的具体形式为依据”。几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。三、义务教育阶段几何课程设计的特点简析笔者以为，新理念下义务教育几何课程的设计风格，既不是典型的直观几何、实验几何，也不是以往的综合几何，而应该广泛吸收直观几何、实验几何的特点，采取分段设计的课程风格，即，直观几何、实验几何与综合几何（以论证为主）分段处理，有所侧重：首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案89。即，首先在小学出现直观几何，先让学生对几何图形及其性质形成直观感受，然后向初中的实验几何过渡，也就是让学生自己动手操作，拼拼、画画、剪剪，结合小学讲的几何初步得到新的结论、性质，再用这些简单的图形性质进行简单的逻辑推理，做到言必有据。而后，在此基础上再进行论证几何。以直线形为例，先借助直观认识一个直线形，进而借助多种手段合乎情理地发现它的某些几何性质，接着通过演绎推理把这个性质搞定。101112看上去，强化了直观和实验，弱化了推理，事实上，这里的直观和推理二者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。显然，这是让直观几何和推理几何并重,把发现和证明绑在一起，与传统的综合几何课程体系确有不同。与以往的综合几何课程设计风格相比，标准13下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的9。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆（包括圆与直线之间的关系）的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。总之，新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索89，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何，而不是以往习惯的单纯几何计算。初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。值得一提的是，我国标准13下的几何，如果以世界各国的几何为参照系，仅就关于推理证明的要求这一点而言，在这个年龄段我们是“最高”的。从国际几何课程改革的发展趋势 1415 看，以直观几何、实验几何、论证几何分段设计中小学几何课程，已经成为国际发展的普遍趋势，只不过各国有所侧重而已，但都没有取消对几何推理的学习。参考文献1. 欧几里得著，兰纪正等译，几何原本M，西安：陕西科学技术出版社，1990年2. 吕乃刚译，沙雷金著，直观几何M，上海：华东师范大学出版社，2001年3. 迈克尔塞拉著，李翼忠等译，发现几何:一种归纳的方法M，北京：人民教育出版社，2000年 4. 罗智华，几何历史的启示J，琼州大学学报，第9卷第4期（2002年8月）5. 杨正家，实验几何的功能探究J，数学教学，1998（1）6. 张丹，中国数学会中小学数学教育改革研讨会记录J，数学通报，2000（11）7. 周莉莉，直观几何及对我国几何课程改革的启示J，数学教育学报，Vol.10, No.3（2001年）：54-578. 孔凡哲、孙晓天、刘晓玫，义务教育数学课程标准空间与图形的特点J，数学教育学报，Vol.10No.3（2001年8月9. 刘坚、孙晓天主编，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读M，北京：北京师范大学出版社，2002年10. 孔凡哲，数学课程标准实验教科书发展中的问题及其对策J，教育科学研究，2005（3）：53-5611. 任景业、孔凡哲，课程标准实验教科书几何内容的特点和问题J，数学教学，2005（6）：10-1312. 孔凡哲，义务教育课程标准实验教科书数学的主要特点J，人大复印报刊资料G35（中学数学教与学）2004（7）：38-43；中学数学教育（初中版），2004（3）：16-1913. 中华人民共和国教育部制订，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M，北京：北京师范大学出版社，2001年14. 倪明编译，俄罗斯几何学标准草案J，数学教学，2004（3）15. 朱丽丽、张景斌，中、美、俄三国几何课程的比较分析J，首都师范大学学报（社会科学版），2002年增刊6