A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

同学当堂检测我的个性化教案八年级上册手拉手模型顶点为公共顶点变形EDCACBE(3) 0A平分/ BOCDFBCFBAHC(3) AE与DC之间的夹角为60要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的初二初学学生版ABD与 BCE，连结AE与CD，证明AGBEGBBH平分(7) GF / ACpage 1 of 23结论：(ABD AEC2015 2016 学年(2)Za +/ BOC=180例1如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形(1) ABE DBC AE DC同学当堂检测我的个性化教案八年级上册(3)DC(2)(3)(4)AE与DC之间的夹角为60AE与DC之间的夹角为60初二初学学生版变式精练 证明(1)AE变式精练1 证明(2)学年第2:如图两个等边三角形 ABD与BCE，连结AE与CDABE DBCpage 2 of 23 J2015-2016AE与DC的交点设为H , BH平分 AHCAE与DC的交点设为H , BH平分 AHCi-7如图两个等边三角形ABD与 BCE，连结AE与CD1) ABE DBCAE DC八年级上册同学当堂检测我的个性化教案例2：如图，两个正方形 ABCD与DEFG，连结AG,CE，二者相交于点 H问：（1） ADGCDE是否成立?（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG，连结AG,CE ,二者相交于点H问：（1） ADGCDE是否成立？（2） AG是否与CE相等？,（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例4：两个等腰三角形 ABD与 BCE ,其中AB BD ,CB EB, ABD CBE，连结AE与CD ,问：（1） ABEDBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？心（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分 AHC ？E H例5:如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形 ABD、 BCE. 连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于 F,连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你 的结论。D【练1】如图，三角形 ABC和三角形CDE都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62 求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类AAADBCDEAAEMCBDCBEN中ABCACBM在ABC 中AB在page 5 of 23【练1【例1】已知初二初学学生版作 CF丄AD于 F,作BE丄AD的延长线于连接BE5, AC 9，贝U BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?延长MD到N, 使 DN=MD 连接CD方式2 :间接倍长ABC的AB边上取两点E、F ,使AE BF ,连接CE、CF ,求证AM 是 中线.求证2015-2016 学年?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度 的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、 平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 ABC 中是BC边中线AM - (AB AC)2方式1:延长AD到E 使 DE=AD , 连接BE【练2】如图所示AC BC EC FC【练3】如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC , D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且 连结DF交BC于E.求证：DE=EF（倍长中线、截长补短BD=CF,【例2】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线, 求证：ACE是AD上一点,延长BE交AC于F ,AF EF，BE 【练1】如图，已知在F，求证：ABC中，AD是BC边上的中线,AF EFE是AD上一点,且BE AC，延长BE交AC于【练2】如图，在 ABC中，ABAC , E为BC边的中点，AD为/ BAC 交AB于F,交CA的延长线于 G.求证：BF=CG.2015-2016学年第初二初学学生版 l 的平分线，过E作AD的平行线，Gpage 6 of 2323【练3】如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F，交AB 于点G，若BG CF，求证：AD为 ABC的角平分线.【练4】如图所示，已知ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD 上. DE CD , EF AC .求证：EF II AB【例3】已知AM为 ABC的中线， AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证: BE CF EF .【练1】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足【练2】如图， ABC中，AB=2AC , AD平分BC且AD丄AC，则/ BAC=【练3】在 ABC中，点D为BC的中点，点 M、N分别为 AB、AC上的点，且 MD ND .(1)若 A 90，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角 形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2，求证 AD2 - AB2 AC2 .4【例4】如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE , P为CE中点，连接PA、PD . 探究PA、PD的关系(证角相等方法)【练1】如图，两个正方形 ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接 PA交EF于点Q . 探究AP与EF的数量关系和位置关系(证角相等方法)【练2】如图，在 ABC中，CD AB , BAD BDA , AE是BD边的中线.求证：AC 2AE【例5】如图所示，在 ABC中，AB AC,延长AB到D，使BD AB , E为AB的中点，连接CE、CD , 求证CD 2 EC .C【练1】已知 ABC中，AB AC , BD为AB的延长线，且 BD AB , CE为 ABC的AB边上的中线. 求证：CD 2CE【练2】如图,CB、CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC中线 且AC=AB, / ACB= / ABC.求证CE=2CD.2015 -2016学年第一学期初二初学学生版Zpage 9of 23pJi八年级上册同学当堂检测我的个性化教案【例16】如图，两个正方形 ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接 PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系（倍长中线与手拉手模型综合应用）FB2390 ），其他条件不变，上述结【练1】已知：如图，正方形 ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点试说明线段 ME与MC数量关系和关系.如图，若将上题中正方形 EBGF绕点B顺时针旋转 度数（2015-2016学年第一学期初二初学学生版二一page 10 ofI 1/同学当堂检测我的个性化教案八年级上册Dhipage71!论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由初二初学学生版11 of 23全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在2015 2016 学年KS|V八年级上册同学当堂检测我的个性化教案许多问题里都有着广泛的应用 或把两个短边放到一起； 全等）而“截长补短法” 出现角平分线进行翻折又是解决这一类问题的一种特殊方法（把长边截成两个短边;有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，【例10】如图所示,ABC 中，C 90,B 45 , AD 平分 BAC 交 BC 于 D。求证：AB=AC+CD。【练1】如图所示，在ABC 中，B 60,ABC的角平分线AD、CE相交于点0。求证:AE+CD=AC。【练2】已知BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【练2】如图，在四边形 ABCD中,AD / BC, AE平分/ BAD交DC于点E，连接BE,且AE丄BE,求证:AB=AD+BC.SB】已知：如图，在厶ABC中，/A=90 , AB=AC , BD是/ ABC的平分线。初二初学学生版厂* r 一2015-2016学年第一学期ABC中， A 60 , BD、CE分别平分 ABC和 ACB , BD、CE交于点O，试判断【例11】已知如图所示, 适用）C求证：BC=AB+AD.【练4】点M , N在等边三角形 ABC的AB边上运动，BD=DC，/ BDC=120 ，/ MDN=60 ，求证 MN=MB+NC .在厶ABC中,AD是角平分线，且AC=AB+BD,试说明/ B=2 / C （不只是边，倍角也A【练1】如图，在 ABC中，AB = AC , BD丄AC交AC于点D .求证:1/ DBC = - Z BAC .2初二初学学生版ofpage【例12】如图所示，已知 12 , P为BN上一点，且PDBAP BCP1800。BC于D ,AB+BC=2BD，求证:【练1】如图，在四边形ABCD中, BO BA, AD = CD, BD平分ABC ,【例线于求证： A13】如图所示，在E。求证:RtBD=2CE。1】已知：如图示，在0180ABC 中，AB=AC , BAC 90ABD【练是/ ABC的平分线求证:CBD，CE垂直于BD的延长BRt ABC 中，/ A=90。，/ ABC=2 / C, BDCD=2AD D2015 -2016学年第一学期初二初学学生版rnpage 14 of 23“ .【练2】如图所示，在 ABC中， ABC 90，AD为 BAC的平分线，C=30，BE AD于E点,求证：AC-AB=2BE。C【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE EF交/ DCH的平分线于点 F，求证AE=EF【练4】已知在 ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF，求证:BD=CE2015-2016学年第一学期初二初学学生版 | page 15 of 23【例14】如图所示，已知 AB/CD , ABC, BCD的平分线恰好交于 AD上一点E,求证：BC=AB+CD 。【练1】如图，已知AD / BC, / PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线交AP于D .求证:AD+BC=AB .【练2】如图，在正方形 ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分/ DAE，求证：AE=EC+CD .【练3】在厶ABC中，AD是BC边上的高，/ B=2 / C.求证:page 16 of 23 八1 inr 【练4】如图所示,在三角形 ABC中，/ ACB=90 ,AC=BC,D为三角形 ABC外一点，且AD = BD,DE丄AC交AC的延长线于点 E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系初”学生版靠八年级上册同学当堂检测我的个性化教案【练5】在四边形ABCD中，AB / DC E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线相交于点 试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在 ABC中，ABAC,/ 1 = 7 2, P为 AD上任意一点，求证： AB-AO PB-PC12【练1】已知AM为 ABC的中线, 求证：BE CF EF .AMB ,AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .如图，E是 AOB的平分线上一点,为 C、D。求证：（1） OC=OD ;ECOA , ED OB，垂足(2) DF=CF。2015-2016学年第一学期ACEOD初二初学学生版page 17 of 23八年级上册同学当堂检测我的个性化教案构造等边三角形1、如图,已知 ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,/ ADB=60 , E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰 ABC中，AB AC，顶角 A 20，在边 AB上取点D，使AD BC，求 BDC .ABC练习1、如图，在 ABC中,/ ACB=90 ,BE平分/ ABC,DE丄AB于D,如果 AC=3cm,那么AE+DE等于A、2 cmB、3cmC、4cmD、5cm练习2、在厶ABC 和厶 ABC中,AB=AB,AC=AC,点 D,D分别是 BC,BC 的中点，且 AD=AD,证明:ABCabc.（倍长中线）练习3、如图，在 ABC中，BE是/ ABC的角平分线， AD丄BE,垂足为 D，求证：/ 2= / 1 + / C练习4、如图(1)，已知 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC , AE是过 A的一条直线，且 B、C在A、E 的异侧，BD丄AE于D, CE丄AE于E(1 )试说明：BD=DE+CE .(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD V CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？ 请直接写出结果；(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？ 请直接写出结果，不需说明理由.如图所示，在 Rt ABC 中，AB = AC，/ BAC = 90 ,(思路：截长补短法)有过A的任一条直线 AN , BD丄AN于D, CE丄AN是三角形外一点，且/ ABD=60 ,BD+DC=AB.求证：/ ACD=60 .(截长补短)1、如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE , P为CE中点，连接PA、PD . 探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）90 ），其他条件不变，上述结2、已知：如图，正方形 ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点试说明线段ME与MC数量关系和关系（辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形 EBGF绕点B顺时针旋转 度数（ 论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由3、已知AM为 ABC的中线， AMB，AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证：BE CF EF .（辅助线的连法都一样）A【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形 ABC中，ZB=90 ,D是角平分线，交BC边于点D .求证：AC=AB+BD 证明：如图1，在AC上截取 AE=AB，连接DE,则由已知条件易知： RtZADB吕RtKDE (AAS ) /AED= ZB=90 ,DE=DB又vJC=45 ,.DEC是等腰直角三角形.DE=EC .AC=AE+EC=AB+BD .【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形 ABC中，/B=90 ,AD 是ZBAC的平分线，交 BC边于点D , DE丄 AC,垂足为E,若AB=2，则三角形DEC的周长为.【数学思考】：现将原题中的“ AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“ AD是外角平分线，交BC 边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你 的猜想.【类比猜想】任意三角形 ABC ,ZABC=2 ZC, AD 是ZBAC的外角平分线，交 CB边的延长线于点 D，如图4，请 你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系.如图，已知/ B=Z C=90, M是BC的中点，DM平分/ ADC.(1) 求证：AM平分/ DAB(2) 试说明线段 DM与AM有怎样的位置关系?(3) 线段CD AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。