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第三章第三章 整式及其加减整式及其加减3.5 3.5 探索与表达规律探索与表达规律1课堂讲解课堂讲解数式的变化规律、图形的变化规律数式的变化规律、图形的变化规律2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升(1)日历图的套色方框中的日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间个数之和与该方框正中间 的数有什么关系？的数有什么关系？(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式 表示表示 这个关系吗？这个关系吗？(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？(4)你还能发现这样的方框中你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？个数之间的其他关系吗？ 用代数式表示用代数式表示.1知识点知识点数式的变化规律数式的变化规律想一想：想一想：(1)如果将方框改为十字如果将方框改为十字 形框，形框，你能发现哪些你能发现哪些 规律？规律？ 如果改如果改为为H形形 框呢？框呢？(2)你还能设计其他形状的你还能设计其他形状的 包含数字规律的数框吗？包含数字规律的数框吗？知知1 1导导知知1 1讲讲 对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给出的有限的几个入手观察数与数之间的规察，从给出的有限的几个入手观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分、数与进行比较，找出其中的不变部分与变化部分、数与式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律知知1 1讲讲【例例1】给出下列算式：给出下列算式： 3212881， 52321682， 72522483， 92723284， 观察上面一列等式，你能发现什么规律，用代观察上面一列等式，你能发现什么规律，用代 数式来表示这个规律数式来表示这个规律知知1 1讲讲导引：导引：观察等式，不难发现：两个相邻的奇数的平方观察等式，不难发现：两个相邻的奇数的平方 差差是是8的倍数，由此设的倍数，由此设n为正整数，则相邻的两为正整数，则相邻的两 个奇个奇数为数为2n1和和2n1，它们的平方差也必是，它们的平方差也必是 8的的n倍倍解：解：规律是规律是(2n1)2(2n1)28n(n为正整数为正整数)（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 等式类寻找规律一般要看每项上的数与项数之等式类寻找规律一般要看每项上的数与项数之间间的关系，或找前后两项之间的关系如例题中左的关系，或找前后两项之间的关系如例题中左边是边是连续奇数的平方差，右边是连续奇数的平方差，右边是8的倍数，把左边的倍数，把左边的两项的两项和右边的一项都用含同一个字母的代数式来和右边的一项都用含同一个字母的代数式来表示表示知知1 1讲讲【例例2】(2015张家界张家界)任意大于任意大于1的正整数的正整数m的三次幂的三次幂 均可均可“分裂分裂”成成m个连续奇数的和，如：个连续奇数的和，如：23 35，337911，4313151719， ，按此规律，若，按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数分裂后其中有一个奇数 是是2015，则，则m的值是的值是() A46 B45 C44 D43B（来自（来自典中点典中点）总总 结结知知1 1讲讲 因为底数是因为底数是2的分裂成的分裂成2个奇数，底数为个奇数，底数为3的分的分裂裂成成3个奇数，底数为个奇数，底数为4的分裂成的分裂成4个奇数，所以个奇数，所以m3可分可分裂成裂成m个奇数，所以，到个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：的奇数的个数为：234m n1 007,所以奇数所以奇数2 015是从是从3开始的第开始的第1 007个奇数，个奇数，()(,221)mm因为因为2n12 015，总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自典中点典中点）因为因为 9891 0071 034，所以第，所以第1 007个奇数是底个奇数是底数数为为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，的数的立方分裂的奇数的其中一个，即即m45.(44)(44)(45)(452121)989,1 034,22 1 (2015淄博淄博)从从1开始得到如下的一列数：开始得到如下的一列数：1，2，4， 8，16，22，24，28，其中每一个数加上自己，其中每一个数加上自己 的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100 的个数为的个数为() A21 B22 C23 D99知知1 1练练（来自典中点）（来自典中点）2 (2015包头包头)观察下列各数：观察下列各数： 按你按你 发现的规律计算这列数的第发现的规律计算这列数的第6个数为个数为() A. B. C. D.知知1 1练练（来自典中点）（来自典中点）49 1613715， ， ， ，253136354762633 (2015泰安泰安)如图，每个表格中的四个数都是按如图，每个表格中的四个数都是按 相同规律填写的：相同规律填写的： 根据此规律确定根据此规律确定x的值为的值为() A135 B170 C209 D252知知1 1练练（来自典中点）（来自典中点）2知识点知识点图形的变化规律图形的变化规律知知2 2导导 下面是用棋子摆成的下面是用棋子摆成的“小房子小房子”.摆第摆第10个这样个这样的的“小房子小房子”需要多少枚棋子？摆第需要多少枚棋子？摆第n个这样的个这样的“小房子小房子”呢？你是如何得到的？呢？你是如何得到的？知知2 2讲讲 图形中的规律探究方法通常为将图形转化为一图形中的规律探究方法通常为将图形转化为一列数，由这一列数寻找规律，或观察图形结构特点列数，由这一列数寻找规律，或观察图形结构特点，归纳相对于某个基础图形的递推规律，从而将图形归纳相对于某个基础图形的递推规律，从而将图形转化为一列数或等式，继而探究规律转化为一列数或等式，继而探究规律知知2 2讲讲【例例3】 如图是一组有规律的图案，第如图是一组有规律的图案，第1个图案由个图案由4个个 基础图形组成，第基础图形组成，第2个图案由个图案由7个基础图形组个基础图形组 成成则第则第n(n是正整数是正整数)个图案由个图案由_ 个基础图形组成个基础图形组成(3n1)知知2 2讲讲 导引：导引：方法一：第方法一：第1个图案由个图案由4个基础图形组成，第个基础图形组成，第 2个图案由个图案由7个基础图形组成，第个基础图形组成，第3个图案由个图案由 10个基础图形组成个基础图形组成故从第故从第2个图案开始个图案开始 每个图案比它前面一个图案增加每个图案比它前面一个图案增加3个基础图个基础图 形，因此结果为形，因此结果为(3n1)个个知知2 2讲讲 方法二方法二：方法三：将图案分解，第方法三：将图案分解，第n个图案，上面一排和下面个图案，上面一排和下面一排各有一排各有n个基础图形，中间一排共有个基础图形，中间一排共有(n1)个基础个基础图形，因此共有图形，因此共有2n(n1)个基础图形，即个基础图形，即(3n1)个基础图形个基础图形（来自（来自点拨点拨）图案序号图案序号123n基础基础图图形个数形个数443432 43(n1) 解决此类问题的关键是观察图形，然后运用解决此类问题的关键是观察图形，然后运用从特从特殊到一般的思想殊到一般的思想去分析数量关系，从而总结规律去分析数量关系，从而总结规律总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲【例例4】如图是某月的日历，现用一方框在日历中任如图是某月的日历，现用一方框在日历中任 意框出四个数意框出四个数 ,请用一个等式表示请用一个等式表示a， b，c，d之间的关系之间的关系_(只要填一只要填一 个即可个即可)a bc dadbc知知2 2讲讲 导引：导引：根据日历中的规律：根据日历中的规律：ba1，ca7， da8来解答来解答（来自（来自点拨点拨） 本题运用本题运用从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想通过表中具体通过表中具体的数分析归纳出一般规律本题的答案不唯一，认的数分析归纳出一般规律本题的答案不唯一，认真观察分析，还能得出一些其他的规律，如真观察分析，还能得出一些其他的规律，如ab14cd，cadb等等总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲【例例5】 观察图观察图1中的图案，判断照此规律从左向右中的图案，判断照此规律从左向右 第第2 015个图案是图个图案是图2中的中的()图图2图图1C知知2 2讲讲 导引：导引：通过观察可知图案变化以四次变化为一周期通过观察可知图案变化以四次变化为一周期， 2 01545033，故选，故选C.（来自（来自点拨点拨） 本题采用本题采用观察法观察法，认真观察分析各图案之间的，认真观察分析各图案之间的关系，再运用关系，再运用从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想从特殊例子中找从特殊例子中找到一般规律到一般规律总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1观察下列图形，则第观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数个图形中三角形的个数 是是() A2n2 B4n4 C4n4 D4n知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按 图图中的方式铺地板，则第中的方式铺地板，则第3个图形中有黑色瓷砖个图形中有黑色瓷砖 _块，第块，第n个图形中有黑色瓷砖个图形中有黑色瓷砖_块块知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3(2015桂林桂林)如图是一个点阵，从上往下有无数如图是一个点阵，从上往下有无数 多行，其中第一行有多行，其中第一行有2个点，第二行有个点，第二行有5个点，第个点，第 三行有三行有11个点，第四行有个点，第四行有23个点，个点，按此规律，按此规律， 第第n行有行有_个点个点知知2 2练练4先观察，再解答：先观察，再解答： 如图，是生活中常见的日历，你对它了解吗？如图，是生活中常见的日历，你对它了解吗？知知2 2练练(1)如图是另一个月的日历，如图是另一个月的日历，a表示该月中某一天，表示该月中某一天，b， c，d是该月中其他是该月中其他3天，天，b， c，d与与a有什么关系？有什么关系？ b_，c_， d_(用含用含a的的 式子填空式子填空)知知2 2练练(2)用一个长方形框圈出日历中的三个数用一个长方形框圈出日历中的三个数(如上页图中如上页图中 的阴影的阴影)，如果这三个数的和等于，如果这三个数的和等于51，那么这三个，那么这三个 数各是多少？数各是多少？(3)这样圈出的三个数的和可能是这样圈出的三个数的和可能是64吗？为什么？吗？为什么？（来自（来自典中点典中点）1. 探索规律的关键：探索规律的关键：注意观察已知的对应数值注意观察已知的对应数值(图图形形) 的的变化规律，从中发现数量关系或图形的变变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，化规律， 即得到规律即得到规律2. 探索规律的步骤：探索规律的步骤：(1)从具体的题目出发，用列从具体的题目出发，用列表或表或 列举的方式，把各数量或图形的变化特点列举的方式，把各数量或图形的变化特点展现在图展现在图 表当中；表当中；(2)认真观察图表或图形，通认真观察图表或图形，通过合理联想，过合理联想， 大胆猜想，总结归纳，得出数字大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规或图形间的变化规 律，形成结论；律，形成结论；(3)验证结论的正误验证结论的正误（来自（来自典中点典中点）必做：必做：1、完成教材、完成教材P99，习题，习题T1-T22、补充、补充: 请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
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