高考理科数学专题复习练习1_14

第十四章选修模块14.1几何证明选讲专题2相似三角形的判定与性质(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,O的半径为6,线段AB与O相交于点C,D,AC=4,BOD=A,OB与O相交于点E.(1)求BD的长;(2)当CEOD时,求证:AO=AD.解:(1)OC=OD,OCD=ODC,OCA=ODB.BOD=A,OBDAOC,.OC=OD=6,AC=4,BD=9.(2)证明:OC=OE,CEOD,COD=BOD=A.AOD=180-A-ODC=180-COD-OCD=ADO.AD=AO.(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,AB是O的一条切线,切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是O的割线,已知AB=AC.(1)求证:FGAC;(2)若CG=1,CD=4,求的值.解:(1)证明:因为AB为切线,AE为割线,所以AB2=ADAE,又因为AC=AB,所以ADAE=AC2.所以,又因为EAC=DAC,所以ADCACE,所以ADC=ACE,又因为ADC=EGF,所以EGF=ACE,所以FGAC.(2)由题意可得G,E,D,F四点共圆.所以CGF=CDE,CFG=CED.所以CGFCDE,所以.又因为CG=1,CD=4,所以=4.专题4圆周角、弦切角及圆的切线(2015银川二中高三一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知AB为圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CEAB于点E,BD交AC于点G,交CE于点F,CF=FG,求证:(1)C是劣弧BD的中点;(2)BF=FG.证明:(1)CF=FG,CGF=FCG.AB为圆O的直径,ACB=ADB=.CEAB,CEA=.CBA=-CAB,ACE=-CAB,CBA=ACE.CGF=DGA,DGA=ABC,-DGA=-ABC,CAB=DAC,C为劣弧BD的中点.(2)GBC=-CGB,FCB=-GCF,GBC=FCB,CF=FB,BF=FG.专题5圆内接四边形的判定及性质(2015辽宁大连高三双基测试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知O1与O2相交于A,B两点,P是O1上一点,PB的延长线交O2于点C,PA交O1于点D,CD的延长线交O1于点N.(1)点E是上异于A,N的任意一点,PE交CN于点M,求证:A,D,M,E四点共圆;(2)求证:PN2=PBPC.证明:(1)连接AB,A,B,P,E四点共圆,ABC=E.又ABC=ADC,ADC=E,A,D,M,E四点共圆.(2)连接BN,PNB=PAB=C,BPN=NPC,PNBPCN,PN2=PBPC.(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AB是O的直径,CEAB于点H,与O交于点C,D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与O切于点F,BF与HD交于点G.(1)证明:EF=EG;(2)求GH的长.解:(1)证明:连接AF,OE,OF,则A,F,G,H四点共圆.EF是切线,OFEF,FGE=BAF=EFG,EF=EG.(2)OE2=OH2+HE2=OF2+EF2,EF2=OH2+HE2-OF2=32+82-52=48,EF=EG=4,GH=EH-EG=8-4.专题6圆的切线的性质与判定(2015江西八所重点中学高三联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,直线PQ与O相切于点A,AB是O的弦,PAB的平分线AC交O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.(1)求证:QCBC=QC2-QA2;(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.解:(1)证明:PQ与O相切于点A,PAC=CBA.PAC=BAC,BAC=CBA,AC=BC=5.由切割线定理得QA2=QBQC=(QC-BC)QC,QCBC=QC2-QA2.(2)由AC=BC=5,AQ=6及(1),知QC=9.由QAB=ACQ,知QABQCA,AB=.(2015银川一中高三二模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过A点作ADCD于点D,交半圆于点E,DE=1.(1)证明:AC平分BAD;(2)求BC的长.解:(1)证明:连接OC,OA=OC,OAC=OCA.CD为半圆的切线,OCCD,OCAD.OCA=CAD,OAC=CAD,AC平分BAD.(2)连接CE,由OAC=CAD知BC=CE,又A,B,C,E四点共圆,cosB=cosCED,.又DE=1,AB=4,BC=2.(2015东北三省三校高三第一次联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,在ABC中,ABC=90,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M.求证:(1)DE是圆O的切线;(2)DEBC=DMAC+DMAB.证明:(1)连接OE.点D是BC的中点,点O是AB的中点,OD􀱀AC,A=BOD,AEO=EOD.OA=OE,A=AEO,BOD=EOD.在EOD和BOD中,OE=OB,EOD=BOD,OD=OD,EODBOD,OED=OBD=90,即OEED.E是圆O上一点,DE是圆O的切线.(2)延长DO交圆O于点F.EODBOD,DE=DB.点D是BC的中点,BC=2DB.DE,DB是圆O的切线,DE=DB.DEBC=DE2DB=2DE2.AC=2OD,AB=2OF,DMAC+DMAB=DM(AC+AB)=DM(2OD+2OF)=2DMDF.DE是圆O的切线,DF是圆O的割线,DE2=DMDF,DEBC=DMAC+DMAB.专题7与圆有关的比例线段(2015东北三省三校高三二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,已知点C在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于点A,CD是ACB的平分线,交AE于点F,交AB于点D.(1)求证:CEAB=AEAC;(2)若ADDB=12,求证:CF=DF.证明:(1)CA为圆O的切线,CAE=CBA.又ACE=BCA,ACEBCA,得,CEAB=AEAC.(2)CD平分ACB,ACF=BCD.AC为圆的切线,CAE=CBD,ACFBCD.ACF+CAE=BCD+CBD,即AFD=ADF,AF=AD.ACFBCD,CF=DF.14.2坐标系与参数方程专题2直角坐标方程与极坐标方程的互化(2015东北三省三校高三二模,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知点P的直角坐标是(x,y),以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P的极坐标是(,),点Q的极坐标是(,+0),其中0是常数.设点Q的平面直角坐标是(m,n).(1)用x,y,0表示m,n;(2)若m,n满足mn=1,且0=,求点P的直角坐标(x,y)满足的方程.解:(1)由题意知即所以(2)由题意知所以=1.整理得=1.专题5参数方程与普通方程的互化(2015银川二中高三一模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值及此时P点的坐标.解:(1)曲线C的参数方程为直线l的普通方程为x+2y-6=0.(2)设曲线上任意一点P的坐标为(4cos,2sin),则|PA|的距离是P到直线距离的两倍,即|PA|=2d=2=2,当sin=-1时,|PA|有最大值.此时P的坐标为(-2,-3).专题6极坐标方程与参数方程的应用(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),已知曲线C2的极坐标方程为=1.(1)写出曲线C1,C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和C2有且只有一个公共点,求实数m的值.解:(1)曲线C1:y=mx-2m-1,曲线C2:x2+y2-4y=0(y0),即x2+(y-2)2=4(y0).(2)当直线与圆相切时,d=2,m=-.当直线过点(0,0)时,-2m=1,m=-.综上所述,m=-或m=-.(2015东北三省三校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是=2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|PB|=1,求实数m的值.解:(1)由=2cos得2=2cos,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.由得x=y+m,即x-y-m=0,直线l的普通方程为x-y-m=0.(2)将代入(x-1)2+y2=1得=1,整理得t2+(m-1)t+m2-2m=0,令0,即3(m-1)2-4(m2-2m)0,解得-1m3.设t1,t2是上述方程的两实根,则t1+t2=-(m-1),t1t2=m2-2m.又直线l过点P(m,0),由上式及t的几何意义得|PA|PB|=|t1t2|=|m2-2m|=1,解得m=1或m=1,均符合-1m0).(1)求圆心的一个极坐标;(2)当r为何值时,圆O上的点到直线l的最大距离为3?解:(1)由圆O的参数方程得圆心O的坐标为.设圆心坐标为(,)(0,00,故可设t1,t2是上述方程的两实数根,所以又直线l过点P(3,).A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程=,曲线C的参数方程为(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|-|MB|=,求点M轨迹的直角坐标方程.解:(1)直线l:y=x,曲线C:+y2=1.(2)设点M(x0,y0)及过点M的直线为l1:(t为参数).由直线l1与曲线C相交可得tx0+2ty0+2-2=0.|MA|+|MB|=,即+2=6,x2+2y2=6表示一椭圆.取y=x+m代入+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0,由0得-m,故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x之间的两段弧.(2015辽宁大连高三双基测试,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C:+y2=1,直线l:(t为参数).(1)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解:(1)直线l的极坐标方程为sin=1,曲线C的参数方程为(为参数).(2)曲线C的点P(2cos,sin)到直线l:x+y-2=0的距离d=,则|PA|=|sin(+)-2|,tan=2.当sin(+)=-1时,|PA|max=+2;当sin(+)=时,|PA|min=0.14.3不等式选讲专题1含绝对值不等式的解法(2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x+2|+|2x-4|,g(x)=a+x.(1)当a=3时,解不等式f(x)g(x);(2)画出函数y=f(x)的图象,根据图象求使f(x)g(x)恒成立的实数a的取值范围.解:f(x)=(1)a=3,f(x)g(x)x0;(2)若f(x)+3|x-4|m对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.解:(1)当x4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+50,解得x-5,所以x4成立;当-x0,解得x1,所以1x4成立;当x0,解得x-5,所以x1或x-5.(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|2x+1-(2x-8)|=9,当x4或x-时,等号成立,所以m9.(2015银川一中高三二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲函数f(x)=.(1)若a=5,求函数f(x)的定义域A;(2)设B=x|-1x2,当实数a,b(BRA)时,证明:.解:(1)由|x+1|+|x+2|-50得A=x|x-4或x1.(2)证明:BRA=(-1,1),又2|a+b|4+ab|,而4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=4a2+4b2-a2b2-16=a2(4-b2)+4(b2-4)=(b2-4)(4-a2).a,b(-1,1),(b2-4)(4-a2)0.4(a+b)2(4+ab)2,.(2015江西八所重点中学高三联考,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲(1)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,求x的取值范围,使f(x)为常函数;(2)若x,y,zR,x2+y2+z2=1,求m=x+y+z的最大值.解:(1)f(x)=|x-1|+|x+3|=则当x-3,1时,f(x)为常函数.(2)由柯西不等式得(x2+y2+z2)(2+2+5)(x+y+z)2,所以x+y+z3,因此m的最大值为3.(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x时,f(x)g(x)恒成立,求a的取值范围.解:(1)设F(x)=f(x)-g(x)=由图象可知F(x)0的解集为(0,2).(2)当x时,f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)可化为1+ax+3,xa-2对x恒成立,-a-2,故-10;(2)若x0R,使得f(x0)+2m24m,求实数m的取值范围.解:(1)当x0,即-x+30,解得x3,又x-2,x0,即-3x-10,解得x-,又-2x,-2x时,f(x)=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3,f(x)0,即x-30,解得x3,又x,x3.综上所述,不等式f(x)0的解集为(3,+).(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=f(x)min=f=-.x0R,使得f(x0)+2m2f(x)min=-.整理得4m2-8m-50,解得-m.因此m的取值范围是.(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x-a|,a0.(1)证明:f(x)+f2;(2)若不等式f(x)+f(2x)-1.a的取值范围是-1a0,a+b+c=1.求证:(1);(2).证明:(1)()2=(a+b+c)+2+2+2(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3,.(2)+(3a+1)2=4,3-3a.同理得3-3b,3-3c,以上三式相加得49-3(a+b+c)=6,.(2015辽宁大连高三双基测试,不等式的证明,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲已知x,y是两个不相等的正实数,求证:(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.证明:因为x,y是正实数,所以(x2y+x+y2)3=3xy,当且仅当x2y=x=y2,即x=y=1时,等号成立;同理,xy2+y+x23=3xy,当且仅当xy2=y=x2,即x=y=1时,等号成立.所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2,当且仅当x=y=1时,等号成立.因为xy,所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.