平面几何考试试题

全国高中数学联赛试题平面几何（高二数学514）2012年全国高中数学联赛 加试1如图，在锐角ABC中，ABAC，M、N是BC边上不同的两点，使得BAM=CAN，设ABC和AMN的外心分别为、，求证：、A三点共线2011年全国高中数学联赛 加试1. （40分）分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证明： 2011全国高中数学联赛模拟题 加试2. （本题满分40分）在直角三角形ABC中，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF已知，求证：2010年全国高中数学联赛 加试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆2009年全国高中数学联合竞赛 加试一、如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作/交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于（I）求证：当；（II）在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆2008年全国高中数学联合竞赛 加试A卷一、（本题满分50分）图1如题一图，给定凸四边形，是平面上的动点，令（）求证：当达到最小值时，四点共圆；（）设是外接圆的上一点，满足：，又是的切线，求的最小值2008年全国高中数学联合竞赛 加试B卷题一图一、（本题满分50分）如题一图，是圆内接四边形与的交点为，是弧上一点，连接并延长交于点，点分别在，的延长线上，满足，求证：四点共圆 2007年全国高中数学联合竞赛 加试一、（本题满分50分）如图，在锐角ABC中，ABAC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求的值。2001年全国高中数学联合竞赛试题 加试一（本题满分50分）如图，ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N求证：(1) OBDF，OCDE；(2) OHMN2000年全国高中数学联合竞赛试卷 加试一、(满分50分)如图，在锐角ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB, FNAC(M,N是垂足)，延长AE交ABC的外接圆于点D。证明：四边形AMDN与ABC的面积相等。1999年全国高中数学联合竞赛 加试一(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GACEAC1998年全国高中数学联合竞赛 二试一、（满分50分）如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。注：ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。1997年全国高中数学联合竞赛试卷 二试一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。1996年全国高中数学联合竞赛 二试三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。EFABCGHPO1。O21995年全国高中数学联赛 第二试三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQNP1994年全国高中数学联赛试题 第二试三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I， ，的外角平分线交圆O于E，证明: (1) IO=AE；(2) 1993年全国高中数学联合竞赛 第二试一、（35分）设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n4三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆 O的三条切线，P,Q,R为切点试证：(1)l与圆O相切时，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l与圆O相交时，ABCR+BCAPACBQ；(3)l与圆O相离时，ABCR+BCAPACBQ.1992年全国高中数学联合竞赛 第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 1991年全国高中数学联合竞赛 第二试二设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 OOABCDP1OOO234F1990年全国高中数学联合竞赛 第二试一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 1989年全国高中数学联合竞赛 第二试ABCEF一(本题满分35分)已知 在ABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F求证 2AF=AB-AC 1988年全国高中数学联合竞赛 第二试二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：1987年全国高中数学联合竞赛 第二试一如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形1986年全国高中数学联合竞赛 第二试2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面积 1985年全国高中数学联合竞赛 第二试4平面上任给5个点，以表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：2sin54 1984年全国高中数学联合竞赛 第二试3(本题满分15分)在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PFCA，若SABC=1，证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于(SXYZ表示多边形XYZ的面积)1983年全国高中数学联合竞赛 第二试3(本题满分16分) 在四边形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面积比是341，点M、N分别在AC、CD上满足AMAC=CNCD，并且B、M、N三点共线求证：M与N分别是AC与CD的中点1982年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛 3(本题16分)已知： 半圆的直径AB长为2r； 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a)； 半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件=1求证：|AM|+|AN|=|AB|4(本题20分)已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成RQS点P在RQS内及边上移动，点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z 求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值； 求上述乘积xyz的极小值1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛3(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PCQE+PDQF2 5(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点设BPQ=，求的范围提示：利用入射角等于反射角的原理1979年全国高中数学联合竞赛 第二试2命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形并证明你的作法4在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于16如图，假设两圆O1和O2交于A、B，O1的弦BC交O2于E，O2的弦BD交O1于F，证明 若DBA=CBA，则DF=CE； 若DF=CE，则DBA=CBA1978年全国高中数学联合竞赛 第一试6设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC1978年全国高中数学联合竞赛 第二试1四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段4设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积EGHF(AB+CD) (AD+BC)6设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断) （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）