高考数学理科总复习【第三章】三角函数与解三角形 第七节

精品资料第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理来源:一、三角形中的各种关系设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.1三内角的关系：_.2边与边关系： _.3边与角关系： 来源:(1)正弦定理：_2R.(R为ABC外接圆半径)(2)余弦定理： _.它们的变式有：cos A_，cos B_，cos C_，abc_，_.(3)常用三角形面积公式：S_.答案：1.ABC 2.a b c，b c a，c a b，ab c，bc a，ca b3(1)(2)c2 a2b22abcos C，b2 a2c22accos B，a2 b2c22bccos Asin Asin Bsin C(3)ahaabsin Cacsin Bbcsin A二、关于三角形内角的常用三角恒等式由ABC，知A(BC)可得出sin A_，cos A_.而，有sin_，cos_.答案：sin(BC)cos(BC)cossin三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A90A90abab来源:ab来源:absin Aabsin Aabsin A一解两解一解无解一解无解四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的关系1几个常用基本结论：ab或AB等腰三角形；a2b2c2或A90直角三角形；a2b2c2或A90钝角三角形；若a为最大边且a2b2c2或A为最大角且A90锐角三角形；若sin Asin B等腰三角形；若sin 2Asin 2B等腰三角形或直角三角形2基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等基础自测1(2012临沂一模)在ABC中，a4，b，5cos(BC)30，则角B的大小为()A.B.C.D.解析：由5cos(BC)30得cos A，则sin A，sin B.又ab，B必为锐角，B.故选A.答案：A2. (2013辽宁卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.解析：由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.答案：A3(2012江门调研)在ABC中，若A75，B45，AB6，则AC_.解析：由已知得C60，由正弦定理，得AC2.答案：24(2013汕头二模)在ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，c，A45，则角C_.解析：在ABC中，有正弦定理可得，即，解得 sin C，C60或120.答案：60或1201. (2013天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A. B. C. D.解析：在ABC中，由余弦定理AC2BA2BC22BABCcosABC()23223 cos 5.AC，由正弦定理得，sinBAC，故选C.答案：C2(2012福建卷)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_解析：设三角形的最小边长为a，则另两边为a,2a，在ABC中，由余弦定理知最大角余弦值为cos C.答案：1(2012浙江名校新高考联盟二联) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或D.或解析：(a2c2b2)tan Bac，cos B.整理得：sin B，即B或.故选C.答案：C2(2013韶关二模)ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csin Aacos C0.(1)求C的值；(2)若cos A，c5，求sin B和b的值解析：(1)将csin Aacos C0利用正弦定理化简得：2Rsin Csin A2Rsin Acos C0，即2sin Csin A2sin Acos C0，sin A0，sin Ccos C0，即tan C，C(0，)，C.(2)cos A，A，sin A，则sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin B，c5，sin Csin ，则由正弦定理，得：b34.