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四、应用性融入素养特色鲜明数学的实际应用基本思想数学知识应用高考数学中应用性包含两层意思，一层是应用数学知识解决社会生活中的实际问题，另一层是应用数学知识解决相关的数学问题，数学试题从头到尾处处都体现数学知识的应用，解决问题时注意以下两点：(1)将实际问题建立数形模型进行求解，理清建模过程和数据处理，利用数据说话(2)应用数学知识解决相关数学问题时，注重分析问题，构建条件与结论的最短(最佳)解题链，坚持条件与结论的和谐相融应用性命题目标真题回顾素养清单数学的实际应用统计图的基本知识，统计在实际生活中的应用及运算求解能力1.2018全国卷某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：故选A.数据分析逻辑推理 数学运算用样本估计总体，逻辑思维能力在实际生活中的应用2.2019全国卷我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_解析：依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.98数据分析逻辑推理基本思想茎叶图、中位数与独立性检验思想，统计知识在实际生活中的应用，判断与运算求解能力3.2018全国卷某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析：(1)第二种生产方式的效率更高理由如下：()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分(2)由茎叶图知m80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.数据分析逻辑推理数学运算基本思想频率分布直方图，学生识图能力、阅读能力4.2019全国卷为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解析：(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00. 数据分析逻辑推理数学运算高考小题集训(四)12019湖南衡阳联考已知集合A0,1,2,3，Bx|log2(3x)0，则AB的子集个数为()A2B3C4 D8解析：由已知可得Bx|x2，所以AB0,1，所以AB的子集个数为224.故选C.答案：C22019天津模拟已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()Acba BabcCbca Dcab解析：本题考查指数函数与对数函数的图象和性质；通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养显然c0.30.2(0,1)因为log33log38log39，所以1blog242，所以a2.故cba.选A.答案：A32019江西第一次大联考已知命题p：“对任意的x1，ln x0”的否定是“存在x01，ln x00”，命题q：“0k0，解得1k0，qmn216，又a6a52a4，q2q20，q0，q2，mn6，(mn)()(5)，当且仅当2mn时取等号，的最小值为，故选D.答案：D102019四川成都一诊在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A. B1C. D.解析：通解取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C.优解以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则N(0,0,0)，A1(0，1,2)，B(，0,0)，M(，0,1)，所以(，0,0)，(，1，1)设直线A1M与BN所成的角为，则cos |cos，|，则sin ，tan ，故选C.答案：C112019福建厦门一模已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为()Ay24x By28xCy210x Dy216x解析：由抛物线y22px(p0)，可得F(，0)，由线段AF的中点坐标为(2,2)，可得A(4，4)，又点A在抛物线C上，代入抛物线C的方程可得162p(4)，得p4，所以抛物线C的方程为y28x，故选B.答案：B122019福建质量检查已知函数f(x)lnx，且f(a)f(a1)0，则a的取值范围为()A. B.C. D.解析：由0，可得1x0f(a)f(a1)f(a)f(a1)，则有解得a0，即a的取值范围为，故选B.答案：B132019重庆学业质量抽测已知复数z112i，z1z22i，则z1z2_.解析：由已知条件得z22iz12i(12i)1i，所以z1z2(12i)(1i)3i.答案：3i142019宁夏育才中学月考已知圆x2y28x0上存在两个不同的点关于直线2xym0对称，则实数m_.解析：x2y28x0化为标准形式是(x4)2y216，则圆心坐标为(4,0)，半径r4，由题意，知直线2xym0经过圆心(4,0)，所以240m0，解得m8.答案：8152019广东肇庆联考某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：价格/万元2523.52220.5月销售量/辆30333639已知A型汽车的月销售量y(辆)与价格x(万元)符合线性回归方程x80.若A型汽车价格降到19万元，则预测它的月销售量是_辆解析：由题意可得22.75，34.5，代入回归方程，计算并得到2，所以280，当19时，42.答案：42162019湖北武汉毕业生调研将一个表面积为100的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为_解析：如图，设球心为O，半径为R，则4R2100，解得R5.由题意知圆柱为球O的内接圆柱，设圆柱底面圆的圆心为O1，半径为r，高为h，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1(0r5)，则圆柱的高h2，所以圆柱的体积Vr2h2r22(0r5)令tr2，g(t)25t2t3(0t25)，则g(t)50t3t2t(503t)，易知g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t时，函数g(t)取得最大值，即圆柱的体积取得最大值，此时r2，h2.答案：
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