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专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点，直线，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，求动点P的轨迹【错解】设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得y24x【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别【试题解析】设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得y24x故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线【参考答案】动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线1求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程（4）参数法：若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等1在直角坐标系中,以O为圆心的圆与直线相切.（1）求圆O的方程;（2）圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P使成等比数列,求P点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.【答案】（1）（2）P点的轨迹方程为或), P点的轨迹为双曲线在圆内的一部分.（2）由（1）设由成等比数列得,化简得.由于点P在圆O内,故，由此得或.所以P点的轨迹方程为或), P点的轨迹为双曲线在圆内的一部分.易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C：y和直线l：ykx(k0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.【错解】依题意，由分别消去x、y得，(k21)x22x20，(k21)y22ky2k20.设AB的中点为P(x，y)，则在中分别有，故线段AB中点的轨迹方程为.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许值范围，故应对x，y加以限制【试题解析】依题意，由，分别消去x、y得，(k21)x22x20，(k21)y22ky2k20.设AB的中点为P(x，y)，则在中分别有又对应满足，解得k2，y.所以所求轨迹方程是x2y2x0(x2，y)【参考答案】轨迹方程是x2y2x0(x2，y).1一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围.2已知的三边a、b、c(abc)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程.【答案】1(2xbc，使变量x的范围扩大，从而导致错误另外，注意当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形 易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为_【错解】由，可得，所以实数k的取值范围为(6，8)【错因分析】忽略了椭圆标准方程中ab0这一限制条件，当ab0时表示的是圆的方程【试题解析】由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)(7，8)【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性【参考答案】(6，7)(7，8)平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3已知F1，F2为两定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是A椭圆B直线C圆D线段【答案】D平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F1F2|2a这一隐含条件，就会错误地得出点M的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为_【错解1】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故【错解2】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误【试题解析】因为2c8，所以c4，当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故；当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故综上，或【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解【参考答案】或1解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.对于方程，表示焦点在x轴上的椭圆且；表示焦点在y轴上的椭圆且；表示椭圆且对于形如：Ax2By21(其中A0，B0，AB)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当BA时，表示焦点在y轴上的椭圆2求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(其中A0，B0，AB).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程. 【答案】1或1.本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上，从而求出椭圆的标准方程为1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且，与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在x轴上或，焦点在y轴上易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离为，求椭圆的标准方程【错解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【错因分析】错解中“当时，取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点在椭圆上，所以，因此在求的最大值时，应分类讨论【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，若，则当时，取得最大值，从而d取得最大值，于是，解得，与矛盾，故，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错【参考答案】.1椭圆的范围就是方程中变量x,y的范围，由得，则；，则.故椭圆落在直线x=a，y=b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处3（1）解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系有：axa，byb；离心率0e0时,k,且k,即当k-或-k或k时,方程(*)有两个不相等的实根,即l与C有两个交点.当时,方程(*)无解,即l与C没有交点.综上,当k=或k=时,l与C只有一个交点;当k或-k或k时,l与C没有交点.易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程【错解】由抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线因为焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，所以抛物线的方程为【错因分析】点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，满足抛物线的定义，但，故此抛物线的方程不是标准方程【试题解析】设点P(x，y)，则由题意，得，化简整理得，此即所求的轨迹方程【参考答案】.1抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解2抛物线定义中要求直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线因此当动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义10动点P到定点F(1，1)的距离与它到直线的距离相等，则动点P的轨迹是A椭圆B双曲线C抛物线D直线【答案】D易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x，因为准线与直线x1的距离为3，所以准线方程为x2，所以2，解得m8，故抛物线方程为y28x.【错因分析】题目条件中未给出m的符号，当m0或m0)，9=4p,解得p=,.(2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是y轴,并且经过点(2,3),设它的标准方程为x2=2py(p0)，4=6p,解得p=.抛物线方程是或.故选D5已知点及抛物线上一动点,则的最小值为ABCD【答案】C6已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线方程为ABCD【答案】B【解析】双曲线的左、右焦点分别为,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),c=,a2+b2=5,又点(1,2)在y=x上,由解得a=1,b=2,双曲线的方程为故选B7（2017新课标全国I理科）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以8椭圆=和双曲线=的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是_.【答案】9（2017新课标全国II理科）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_.【答案】【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化10已知A,B是直线y=-2上的两动点,AOB=(O为坐标原点),则外心M的轨迹方程为_.【答案】(y+4)2-x2=8(y2-4)【解析】设M(x,y),过M作MNAB,交AB于点N,由外心的性质得AMN=,cos,整理得(y+4)2-x2=8(y2-4).故外心M的轨迹方程为(y+4)2-x2=8(y2-4).11已知抛物线C:y2=2px(p0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线l与抛物线C有公共点,且点A到直线l的距离等于,则直线l的方程是_.【答案】2x+y-1=0【解析】根据题意,得4=2p,得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.设直线l的方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.由点A到直线l的距离d=,可得,解得t=1.因为t-,所以t=1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. 12若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值m(0m2)，求动点P的轨迹方程.【答案】见解析13已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值.【答案】1【解析】将双曲线方程化为kx2y21，即1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c3，a2，b2，所以a2b2c29，得k1. 14已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题,求实数的取值范围;（2）若“或”是真命题,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.15焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【答案】见解析【解析】设焦点在轴上的双曲线方程为=,则渐近线方程为.，代入方程得方程为离心率；，代入方程=得方程为离心率16已知抛物线=,直线=与交于两点,且=,其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程;（2）点的坐标为,记直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】（1）=；（2）见解析.（2）由（1）知,=,=,同理,所以=.17已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程;（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）.（2）若直线的倾斜角为,则=,当直线的倾斜角不为时,直线的方程可设为,由=,由,设,则=,=,，,故的取值范围为.18已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且.（1）求椭圆的方程;（2）设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:.【答案】（1）；（2）见解析.（2）由（1）及题意可画图,如图,不妨令.设,则.直线的方程为，令,得,从而.直线的方程为,令,得,从而.所以=.当时,所以,综上可知._45
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