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专题10 圆锥曲线 易错点1 忽略椭圆定义中的限制条件若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为_【错解】由，可得，所以实数k的取值范围为(6，8)【错因分析】忽略了椭圆标准方程中ab0这一限制条件，当ab0时表示的是圆的方程【试题解析】由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)(7，8)【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性【参考答案】(6，7)(7，8)平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.1已知F1，F2为两定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是A椭圆B直线C圆D线段 【答案】D平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F1F2|2a这一隐含条件，就会错误地得出点M的轨迹是椭圆.易错点2 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为_【错解1】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故【错解2】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误【试题解析】因为2c8，所以c4，当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故；当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故综上，或【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解【参考答案】或1解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.对于方程，表示焦点在x轴上的椭圆且；表示焦点在y轴上的椭圆且；表示椭圆且对于形如：Ax2By21(其中A0，B0，AB)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当BA时，表示焦点在y轴上的椭圆2求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(其中A0，B0，AB).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.2已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程. 【答案】1或1.故所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上，从而求出椭圆的标准方程为1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且，与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在x轴上或，焦点在y轴上易错点3 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离为，求椭圆的标准方程【错解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【错因分析】错解中“当时，取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点在椭圆上，所以，因此在求的最大值时，应分类讨论【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错【参考答案】.1椭圆的范围就是方程中变量x,y的范围，由得，则；，则.故椭圆落在直线x=a，y=b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处3（1）解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系有：axa，byb；离心率0e0时,k,且k,即当k-或-k或k时,方程(*)有两个不相等的实根,即l与C有两个交点.当时,方程(*)无解,即l与C没有交点.综上,当k=或k=时,l与C只有一个交点;当k或-k或k时,l与C没有交点.易错点8 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程【错解】由抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线因为焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，所以抛物线的方程为【错因分析】点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，满足抛物线的定义，但，故此抛物线的方程不是标准方程【试题解析】设点P(x，y)，则由题意，得，化简整理得，此即所求的轨迹方程【参考答案】.1抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解2抛物线定义中要求直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线因此当动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义8动点P到定点F(1，1)的距离与它到直线的距离相等，则动点P的轨迹是A椭圆B双曲线C抛物线D直线【答案】D易错点9 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x，因为准线与直线x1的距离为3，所以准线方程为x2，所以2，解得m8，故抛物线方程为y28x.【错因分析】题目条件中未给出m的符号，当m0或m0时，准线方程为x，由条件知1()3，所以m8.此时抛物线方程为y28x；当m0)，9=4p,解得p=,.(2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是y轴,并且经过点(2,3),设它的标准方程为x2=2py(p0)，4=6p,解得p=.抛物线方程是或.故选D5已知点及抛物线上一动点,则的最小值为ABCD【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设到准线的距离为,则=，当三点共线时，取得最小值，为.6已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线方程为ABCD【答案】B7已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为为抛物线上的一点,且满足,则点到的距离为AB1CD2【答案】B【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化8椭圆=和双曲线=的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是_.【答案】【解析】不妨设点P是第一象限的点,由题意可得=,所以,则=.9已知抛物线C:y2=2px(p0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线l与抛物线C有公共点,且点A到直线l的距离等于,则直线l的方程是_.【答案】2x+y-1=0【解析】根据题意,得4=2p,得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.设直线l的方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.由点A到直线l的距离d=,可得,解得t=1.因为t-,所以t=1,所以直线l的方程为2x+y-1=0.10已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值.【答案】111已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题,求实数的取值范围;（2）若“或”是真命题,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】(1)命题:“方程表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得.(2)命题“方程表示双曲线”,则,解得或.若“或”是真命题,则至少一个是真命题,即一真一假或全为真.则或或,所以或或或.所以或.12焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【答案】见解析13已知抛物线=,直线=与交于两点,且=,其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程;（2）点的坐标为,记直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】（1）=；（2）见解析.【解析】（1）将代入,得,其中,设,则=,所以=,由已知=,所以抛物线的方程为=.14已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程;（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）由题意知.又双曲线的焦点坐标为,椭圆的方程为.（2）若直线的倾斜角为,则=,当直线的倾斜角不为时,直线的方程可设为,由=,由,设,则=,=,，,故的取值范围为.15已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且.（1）求椭圆的方程;（2）设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:.【答案】（1）；（2）见解析.（2）由（1）及题意可画图,如图,不妨令.设,则._37
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