不等关系与不等式

精选优质文档-倾情为你奉上不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题知识点一不等关系与不等式1不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当xa时，销售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元2不等式(1)不等式的定义用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式(2)关于ab和ab的含义不等式ab应读作：“a大于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不小于b”，即若ab或ab中有一个正确，则ab正确不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不大于b”，即若ab或ab中有一个正确，则ab正确知识点二比较大小的依据(1)比较实数a，b大小的文字叙述如果ab是正数，那么ab；如果ab等于0，那么ab；如果ab是负数，那么ab；ab0ab；ab0abbb，bcac(传递性)；(3)abacbc(可加性)；(4)ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；(6)ab0，cd0acbd；(7)ab0anbn)(nN，n1；(8)ab0)(nN，n2.题型一用不等式(组)表示不等关系例1铁路旅行常识规定：一、随同成人旅行，身高在1.11.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系文字表述身高在1.11.4米身高超过1.4米身高不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示身高在1.11.4米可表示为1.1h1.4，身高超过1.4米可表示为h1.4，身高不足1.1米可表示为h1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P160.如下表所示：文字表述身高在1.11.4米身高超过1.4米身高不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示1.1h1.4h1.4h1.1P160跟踪训练1如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地仓库的长L大于宽W的4倍写出L与W的关系解由题意，得题型二比较实数(式)的大小例2(1)比较x61与x4x2的大小，其中xR；(2)设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解(1)x61(x4x2)x6x4x21x4(x21)(x21)(x21)(x41)(x21)2(x21)0.当x1时，x61x4x2；当x1时，x61x4x2.综上所述，x61x4x2，当且仅当x1时取等号(2)(5x2y2z2)(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号跟踪训练2设a0，b0，且ab，比较aabb与abba的大小解aabbbaab，当ab0时，1，ab0，ab1，当ba0时，01，ab0，ab1，ab1，即1，又aabb0，abba0，aabbabba.题型三不等式性质的应用例3已知ab0，cd0，e0，求证：.证明cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.跟踪训练3已知ab，mn，p0，求证：napmbp.证明ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.忽视性质成立的条件导致错误例4已知1ab2且2ab4，求4a2b的取值范围错解1ab2，2ab4，由，得32a6，a3，由(1)，得02b3，0b，由4(2)，得34a2b12.错因分析由上述解题过程可知，当a且b时，34a2b才取等号，而此时ab0，不满足式，因此4a2b是不能等于3的同理可验证4a2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的正解令abu，abv，则2u4,1v2.由解得4a2b422u2vuvu3v.2u4,33v6，5u3v10.54a2b10.误区警示把条件中的ab和ab分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解，可以得到正确的结论1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A5x4y200 B5x4y200C5x4y200 D5x4y2002设xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2ax3设Mx2，Nx1，则M与N的大小关系是()AMN BMNCMN D与x有关4若xR，则与的大小关系为_一、选择题1已知ab0，b0，那么a，b，a，b的大小关系是()Aabba BababCabba Dabab2设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Blogbloga0C2b2a2 Da2ab13已知a，b(0,1)，记Mab，Nab1，则M与N的大小关系是()AMN BMNCMN D不确定4已知四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出成立的有()A1个 B2个 C3个 D4个5已知a，b，c满足cba，且ac0，则下列选项中不恒成立的是()A. B.0C. D.06下列命题中，一定正确的是()A若ab，且，则a0，b0B若ab，b0，则1C若ab，且acbd，则cdD若ab，且acbd，则cd7甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室()A甲 B乙C同时到达 D无法判断二、填空题8给出下列命题：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题序号是_9一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为_；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_10已知实数x，y满足4xy1，14xy5，则9x3y的取值范围是_三、解答题11(1)若bcad0，bd0，求证：；(2)已知a，b，m均为正数，且ab，求证：.12若二次函数f(x)的图象关于y对称，且1f(1)2,3f(2)4，求f(3)的取值范围13设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0且x1，试比较f(x)与g(x)的大小当堂检测答案1答案D解析据题意知，500x400y20 000，即5x4y200，故选D.2答案B解析xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又axa2a(xa)0，axa2.x2xaa2.3答案A解析MNx2x1(x)20.MN.4答案解析0.课时精练答案一、选择题1答案C解析方法一ab0，ab，又b0，a0，且|a|b|，abba.方法二设a3，b2，则abba.2答案C解析设a，b，验证即得A、D错误；结合ylogx，y2x的单调性得B错误，C正确3答案B解析MNab(ab1)abab1(a1)(b1)a，b(0,1)，a10，b10MN0，MN.4答案C解析中，a0b，中，ba0，中ab0，故三个均可推得.5答案C解析cba，且ac0，a0，c0.由a0，得0，又bc，故A恒成立；ba，ba0，又c0，0，故B恒成立；ca，ac0，又ac0，0，故D恒成立；当b2，a1时，b2a2，又c0，故C不恒成立故选C.6答案A解析对于A，0，又ab，ba0，ab0，a0，b0，故A正确；对于B，当a0，b0时，有1，故B错；对于C，当a10，b2时，有10123，但13，故C错；对于D，当a1，b2时，有(1)(1)(2)3，但13，故D错故选A.7答案B解析设路程为S，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1，乙用时t2，t1t2SS0甲用时多二、填空题8答案解析当c20时不成立一定成立当ab时，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0成立当b0时，不一定成立如：|2|3，但22(3)2.9答案8(x19)2 2009解析由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x19)2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9.10答案6,9解析设9x3ya(xy)b(4xy)(a4b)x(ab)y，9x3y(xy)2(4xy)，14xy5，22(4xy)10，又4xy1，69x3y9.三、解答题11解(1)方法一bcad0，bcad.bd0，11，即.方法二作差比较，adbc0，bd0，0，.(2)，ab，ba0，又m，b均为正数，0，.12解由题意设f(x)ax2c(a0)，则所以而f(3)9ac3f(2)3f(1)，因为1f(1)2,3f(2)4，所以55f(1)10,248f(2)32，所以105f(1)5，所以148f(2)5f(1)27，所以9，即f(3)9.13解f(x)g(x)1logx32logx2logx，(1)当或即1x时，logx0，f(x)g(x)；(2)当1，即x时，logx0，即f(x)g(x)；(3)当或即0x1，或x时，logx0，即f(x)g(x)综上所述，当1x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当0x1，或x时，f(x)g(x)专心-专注-专业