962.浅谈数形结合思想

浅谈数形结合思想【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。【关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。“以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。以下我将从 “数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。1. 数形结合思想的应用1.1 在方程、函数问题中的应用方程f(x) g(x) = 0的解情况，可化为f(x)g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。例抛物线与x轴的两个交点为、，点(4，8k)在抛物线上且AQBQ，则（）、分析这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图-所示：我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a ，k总是异号的，即再看看各个备选项，不难发现只有表示的是小于的。故本题选（）。例方程的实数根个数有（）、分析直接去解这个方程，对于中学学生来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就是判断图像与的交点个数，画出这两个函数图像（图1-），从图形中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（）。例若关于x的方程的两根都在与之间， 求k的取值范围？分析令，如图1-3所示，其图像与x轴交点的横坐 标就是方程f(x)=0的解，要使两根都在，之间，只需f(1)0，f(3)0， ，1-kg(x)这样的不等式，跟上面所提的方程f(x)g(x)的类似，方程问题的是看两个函数图像有几个交点这类的信息，而这里不等式问题的是看不同的区间内，两个函数图像谁上谁下，从而知道谁大谁小了，也就是不等式的解区间了，区间的端点就是方程问题所要讨论的。1.4在解析几何中的应用例已知集合|与集合|，则中的元素个数有（）、分析画出圆和抛物线的图像，如图1-9 所示，根据图像，答案一目了然，选。例如图1-10所示，F1，F2双曲线的左右焦点，是其上任意一点，P F2的中点到点的距离为，求点到其左准线的距离？分析如图1-10所示,连接F1，OQ，就可以看出OQ是F2F1 中F1边上的中位线，则F1，所以点到其左准线的距离就是。2.用数形结合时应注意的几个问题（误区）“数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。2.1精确作图，避免潦草作图而导出的错误在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。例判断命题：“当a 1时，关于x的方程无实数解。”正确与否。错解：在同一坐标系中，分别画出函数 (a 1)及 (a 1)的图像，如图2-1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确。评析：实际上对不同的实数a，及的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解；而当a = 时 ，x = 2 便是原方程的解。说明两图像向上延伸时，一定相交，且交点就在直线y = x上。上面的错解就是潦草作图，而画出了个有误差的图形，并且想当然地根据图形而不去注意函数图像的延伸趋势而造成的。例较与 (n 大于1的自然数)的大小错解：在同一坐标系中分别画出函数y =及y =的图像，如图2-2所示，由图可知，两个图像有一个公共点。当x = 2时， ，当x 2时有成立，所以，当n = 2时 =，而且当n 是大于2的自然数时， .错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”！要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是当n = 2，时 =， 当n = 时 ， ， 证明略。2.2注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小例设t 0，求点A()与点B(-1， 0)之间距离的最小值。分析：由点A()可知点的轨迹为，如图2-3左图所示，可知|AB|的最小值为。其实这是错误的，原因就是忽视了变的量取值范围，由t 0知x2，正确的图像应该是图2-3的右图，可知其最小值为。定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不准确的，那就是白做了这道题，所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。2.3注意图形的存在合理性，不可“无中生有”例如果抛物线与圆没有公共点，求实数a的取值范围。分析：可知，当a = - 时圆与抛物线外切，若它们内切时，联立方程，由 = 0得：a = ，结合图像（如右上图2-4）可得：a 。其实，当a =时，联立方程只有两个负根，所以圆内切于抛物线的情况根本不存在，图中圆内切于抛物线是虚构的。正确答案是a b0,c0)有四组实数解，求a，b，c应满足的关系。错解：已知方程组中有两个方程分别是椭圆各抛物线的方程，原方程组有四组解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点。如图2-5中的左图，由图可知，且 ，即。评析：观察图像过于草率！事实上，上图2-5中的右图也是一种可能的情形，即当时，仍有可能为四组解，例如当a = 2， b=1，c=2 时，可得解集为：（2，0），（-2，0），（，），（-，）。现在用数形结合来求解：考虑一元二次方程，即，令（即相切情形），解得，结合图像，注意到，则a、b、c应满足的关系是从以上这些例子中我们可以看出，有些问题可以从图像直接解得，但要经过认真地分析，而有些问题很难由图像直观而得，值得注意。我们要仔细地观察图像，看看这些图像的位置关系是否都是合理的，是不是漏掉了一些情况呢？我们只有做到不重不漏，我们保证所得到的答案是准确的。2.5用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。例已知函数，若且， 证明：。（94年高考题）1错解：许多学生这样做：画出函数的图 像，如右图2-6，取点A(x1，f(x1)， B(x2，f(x2)， C(， )。显然弦AB在弧AB上方，所以弦AB的中点的高度大于点的纵坐标，得证。评析：这里要证明的不等式，正是凹函数的定义，用凹函数的直观图形来证明不等式成立是一个逻辑循环，自己来证明自己。其实，此题结合单位圆的知识，结合正切函数的定义容易证明。证明略。数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎。1参考文献： 邱春来数形结合法的应用及误差福建中学数学，2004，2：2931 林玉粦用数形结合求函数的最值福建中学数学，2001，4：2425 苏元东浅谈“以形助数”解题福建中学数学，2005，2：2728 朱恩九“以形辅数”的解题途径数学通报，1994，4：3335