高三物理总复习专题讲座(运动学)

，它是用叙述物理现象的m 2-1.匀速运动的位移图.定义物理量有R 2-2高三物理总复习专题讲座（运动学）、基本概念1. 描述物体是否运动要看它相对于参照物的位置是否改变2. 同一运动，如果选取的参照物不同，观察到物体运动的状况可能不同.例如，在行驶的火车车厢里自由落下一物体，车厢里的人观察到的是竖直下落运动，但对于站在路边 不动的人来说，却是向前的平抛运动3. 虽然参照物可以任意选取，但是应本着使观测方便和尽量使对运动的研究简化为原 则.例如，研究火车的运动，运载火箭的发射等，通常取地球或固定在地球上的物体为参 照物比较简便，当研究宇航器绕太阳运动时，通常取太阳为参照物比较简便4. 平动和转动是机械运动中两种最基本的运动，任何复杂的机械运动都可以看作是由平动和转动组成的5. 在物理学中，为了突出事物的本质特征，使对事物的研究简化，常常采取抓住主要矛盾，暂时撇开起作用很小的次要因素，将事物理想化的方法这种经过思维加工，理想化的事物，物理学中称为理想化模型.质点、光线等就是一种理想化模型.6将物体看成质点的两种情况：（1）物体大小在研究的运动中可以忽略不计（2）不考虑物体的转动效应时.7. 物理量是根据对物理问题研究的需要，采用科学简明的方法定义的不同方式，如初中学过的“力”的定义是“物体对物体的作用” 方式来定义的.速度是用“比值”来定义的，即用两个物理量 的比值来定义新的物理量，初中学过的密度也是用“比值” 来定义的.8. 速度不但有大小，而且有方向，是矢量，它的方向就 是位移的方向.汽车朝东开或朝西开，实际效果当然不同，用 速度矢量才能较全面地反映匀速运动的实际效果，当只考虑运动快慢而不考虑运动方向时，就用速率表示9. 根据实验作出图像，利用图像反映物理规律，是探求自然规律的一个重要的基本的途径.图像较直观表示物理量之间的变化规律，比较方便处理实验（或观测）结果，找出事物的变化规律，必修课本上的图2 6就是典型例子.10. 匀速运动的位移和速度随时间变化的规律都可以用图像表示像是一条过坐标原点的直线，如图2 1所示，它反映位移和时间的正比关系.从图像中可以看出：（1）根据时间求位移.如图2I所示，2秒内的位移是20m.（2）根据位移求时间，如2 1图, 位移30m时，经历时间3s，（3）根据图线求出速度，如图2 2,v= s/ t = 10m/s.匀速运动的速度图像是一条平行于时间轴 的直线，如图2 2所示，它反映出速度的值不随时间改变的特 点.根据图像不仅可以直观地看出速度的大小及速度不变的特 点，而且可以根据某段时间内图线与坐标轴所围成的矩形面积求出位移，如图2 2中，3s内位移是斜线所表示的矩形面积11. 表示物理运动规律的图像一般就是位移图像和速度图像两种，两种图像的区别就在于直角坐标系的纵轴表示的是位移s还是速度v，虽然s和v 一字之差，但整个图像表示的物理意义是截然不同的.12. 平均速度：平均速度为矢量，也有大小和方向，它的方向就是位移方向，理解平均 速度应注意以下几点：(1) 变速运动中，不同时间内，平均速度一般不同，所以平均速度总是对应某一段时 间(或位移).(2) 平均速度大小不叫平均速率.平均速率是指物体：通过的路程与通过这段路程所用的时间比值.例如物体从A经C到B,如图，所用时间为t,则有平均速度 V= AB/t.平均速率v= (AC+CB)/t.(3) 平均速度与速度的平均是有严格区别的，两者的物理意义是不同.v = (V1+V2)/2只运用于匀变速直线运动，不运用于一般变速运动13. 瞬时速度：物体在某时刻(或经过某位置)的速度为瞬时速度.瞬时速度是矢量，瞬 时速度的方向是沿着物体运动轨迹各点的切线方向.瞬时速度大小为瞬时速率.在题目中不加特殊说明的速度均指瞬时速度而言14. 加速度和速度是两个不同的物理量，加速度的大小反映了物体速度变化的快慢，速度大小反映了物体运动的快慢，它们之间不存在必然联系.速度大，加速度不一定大，速度为零时，加速度不一定为零，速度小，加速度也可以很大15. 加速度和速度变化所表示的意义也是不同的.速度变化量只表示速度变化大小和方向，并不表示速度变化的快慢，所以速度变化大，并不一定表示加速度大16. 加速度是矢量，加速度的方向与速度变化量的方向相同17. 运动学的基本任务之一是描述瞬时速度和时刻的对应规律，速度公式vt=vo+at反映匀变速运动瞬时速度与时刻的关系，用此公式解匀变速运动问题时要注意，在规定了初速 度方向为正方向后，若物体是加速运动，则a取正值；若速度减小，则 a取负值.公式中共有四个量，已知其中三个量就可以求第四个量，因此要求会将公式变形，在解题时应首 先搞清楚物体运动过程，切忌硬套公式，18. v t图像的意义和用途:(1)可以从图像上读出某一时刻的瞬时速度，或某一瞬时速度对应的时刻.(2)判断出是加速还是减速运动， 可求出物体加速度的大小.(3)可求出物 体在某段时间内的位移，速度图线和对应的时间轴上的线段围成的面积表示位移 .时间轴 上方的面积表示正向位移，下方面积表示反向位移，它们的代数和表示合位移19. 描述运动物体的位置与时刻的对应规律是运动学的另一个基本任务 .公式 s=vt+at 2/2反映了匀变速运动的位移和时间的关系 .用位移公式解题.同样要注意物体的运动是加速还是减速，当运动是加速时取正值，减速时入取负值，20. 匀变速直线运动规律小结：匀变速直线运动的两个基本公式是：vt=v0+at,(1)2s=vt+at /2 ,(2)由两个基本公式推导的一个有用公式：Vt2-V02=2as,(3)匀变速运动的平均速度公式：v= (v计V2)/2 ,(4).要注注意：(3)式中不直接含有时间，所以用它解决一些未知时间条件的问题很方便 意加速度的正负取法 .(4) 式只适用匀变速运动，对于非匀变速运动不能用21. 匀变速直线运动的几个有用推论 :(1) 对于初速度为零的匀加速运动 .2物体在 l 、2、3、, 、 ns 内位移之比是 1:4:9: , :n 2 物体在第一、第二、第三、 ,. 第 Ns 内的位移之比是 1:3:5: , :(2N-1)(2) 做匀变速直线运动物体在各个连续相等时间内位移之差都相等，即：SN-SN-1=aT2式中 a 是加速度， T 是所取的相等的时间间隔，该式常用于判断物体是否做匀变速直 线运动 .22. 匀变速直线运动问题的解题步骤：(1) 选定研究对象 .(2) 明确运动性质：是匀速运动还是匀变速运动，是加速还是减速，位移方向如何等(3) 分析运动过程，并根据题意画草图 . 要对整个运动过程有个全面了解，分清经历几 个不同过程 .(4) 根据已知条件及待求量，选定有关公式列方程 .(5) 统一单位，求解方程 .(6) 分析所得结果，并注意对结果进行有关讨论，舍去不合理部分 .23. 用运动学公式解题时，可先进行文字运算，得出用已知量表达未知量的关系式， 然后进行数值计算 . 这样能够清楚地看出未知量与已知量的关系，进行数值计算也比较简 便.24. 伽利略研究自由落体运动的方法：(1) 巧妙推理：伽利略用巧妙的推理方法推翻了亚里士多德的“关于物体下落的快慢 是由它们所受重力的大小决定的，即物体越重，下落越快”的阐述 .(2) 提出假说：自由落体是一种最简单的变速运动，即经过相等的时间，速度变化相 等.(3) 数学推理(4) 实验验证：由于自由落体下落的时间太短，伽利略采用间接验证；让一个铜球从 阻力很小的斜面滚下，小球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变，由此证明小球运动 是匀变速直线运动，改变斜面角度和小球质量结论不变 .(5) 合理外推：把上述结论外推到斜面倾角增大到90的情况，这时小球成为自由落体运动，小球仍然会保持匀变速运动性质 .25. 匀速圆周运动与匀速运动的区别：匀速运动是匀速直线运动的简称，它是指速度 的大小和方向都不随时问改变的一种运动，匀速圆周运动首先是圆周运动；它的运动方向 (即速度的方向 ) 时刻在改变，只是速度大小不变，所以它是一种变速运动。 练习一 (1) 关于速度和加速度的说法中，正确的是：A. 速度是描述运动物体位置变化大小的物理量，而加速度是描述物体运动速度变化 快慢的物理量；B. 运动物体速度变化大小与速度变化快慢在实质上是同一个意思；C. 速度的变化率表示速度变化的快慢，速度变化的大小表示速度增量的大小；D. 速度是描述运动物体位置变化快慢的物理量，加速度是描述物体位移变化快慢的物理量。(2 )质量一定的物体，受到恒定的合外力作用时，那么：A. 物体的速度随时间均匀发生变化；B. 物体的速度跟所经历的时间成正比；C. 在任何相等的时间内，物体位置的变化都相等；D. 在任何相等的时间内，物体速度的变化都相等.(3) 作变速运动的物体，若前一半时间的平均速度为4m/s，后一半时间的平均速度为8m/s，则全程内的平均速度是多少？若物体的前一半位移的平均速度为4m/s，后一半位移的平均速度为 8m/s，则全程的平均速度是多少？二、匀变速直线运动的基本公式1 2速度公式：vt二v0 at ；位移公式：s = v0tat2推论：vt2 =v02 2as； s =巴 Vt ； s = vtt - 1 at22 2注意：以上公式涉及五个物理量，每一个公式各缺一个物理量，在解题中，题目不 要求和不涉及的哪个物理量，就选用缺这个物理量的公式，这样可少走弯路.当a与vo反向时，以上公式包括正方向减速和反方向加速两种情况，一般取vo的方向为正方向，与此方向相反的其它矢量的数值要带上负号代入运算.其它公式：打点计时器:3 + S2s2 s3VA _ 2T ，Vb _ 2T(中间时刻速度等于这段时间平均初速为零的匀加速直线运动：1T末、2T末、3T末”瞬时速度之比：1 : 2 : 3 : ”1T内、2T内、3T内”位移之比： 1 : 4 : 9 : ”第1T内、第2T内、第3T内”位移之比：1 : 3 : 5 : ”通过连续相等的位移时间之比：1 : - 2-1 :. 2 : ”练习二(1) 一质点由静止沿斜面下滑做匀变速运动.已知它在开始2s内的位移是3m则它在第5s内的位移是多少？解答质点在第1s,第2s,直到第 5s内的位移比应是1:3:5:7:9 ，设每一份为so,则:S2=4so=3m, so=3/4mSv=9so=6.75m.(2) 一物体作初速度为零、加速度为2m/s2的匀变速直线运动，在最初 4s内的平均 速度是：A. 16m/s. B . 8m/s. C . 2m/s. D . 4m/s解答此题不难，求解的方法也不止一种.但如果运用“作匀变速直线运动的质点在 t时间内的平均速度等于该段时间中点时刻t/2的即时速度”这一结论，则容易看出v =v2=at=4m/s .故应选D.(3) 某物体做匀减速直线运动，初速度为3m/s，加速度为-O.4m/s2.若在某1s内物体的位移为0.4m，那么在这1s前物体己运动了 s .(4) 有一个做匀加速直线运动的质点，它在开始的两个连续相等的时间间隔内所通过的路程分别是24m和64m,每一时间间隔为 4s，则质点运动的初速度和加速度分别为多 少？(5) 一物体做匀加速直线运动，它在第 3s内和第6s内的位移分别是2.4m和3.6m , 试求质点运动的加速度、初速度和前6s内的平均速度.(6) 一做匀加速直线运动的物体.在ti时间内通过s路程，在接着的t2时间内又通 过相同的路程s,试求此物体的加速度多大 ？解答分别列出在t 1时间内和在(t 1+ t 2)时间内位移的表达式.设初速度为V0,则有：2s=vt 1+at 1 /222s=V0(t 1+t2)+a(t 1+t 2) /2因V。不是已知量，所以从两式均不能直接求解求知量a。但这两式所含有的求知量是相同的，从数学上来讲，这是一个二元一次方程组。我们可将它们联立求解，并可得到：a=2s(t 1- t 2)/ (t1+ t 2) t 1t 2由求解此题的过程可知，在处理这一类题型时，既要分段分析，独立列式，又要抓住 运动全过程与某一段过程的联系，联立有关表达式，才能得到结果.(7) 小球由静止从斜面上的A点匀加速滑到 B点，随后在水平面上做匀减速直线运动，最后停止于 C点.已知AB= 4m,及C= 6m,从开始到停止共历时10s，求小球在AB和BC段的加速度.解答小球经历了两个不同的匀变速过程.从 A到B是初速度为零的匀加速运动，从 B到C 是速度减到零的匀减速运动.有两个物理量联系着这两个不同的过程，一是时间，t1 +t2=10s.二是在B点的速率，既是前段过程的末速率，又是后段过程的初速率.从 A 到 B, S1=(0+VB)t 1/2从 B 到 C, S2=(VB+0)t 2/2这两式都不能独立求解，将两式两边分别相加，可得：S1+S2= V B(t 1 +t 2)/2代人数据即得：VB=2m/s .再将vb数值代人vb2 = 2a1S1和0- v B2=2a2S2，可分别求得：2 2ai=0.5m/s , a2=-0.33m/s(8) 升降机以2m/s2的加速度加速下降，一螺丝钉突然从顶板自由落下已知顶板距 底板3m高，试求螺丝钉落到底板所需的时间.解答此题出现了两个运动物体：螺丝钉和升降机离开顶板后的螺丝钉以一定的初 速度做下抛运动，加速度为g 升降机仍以2m/s2的加速度向下做加速运动再看它们的联系：螺丝钉从顶板下落时的初速度与此时升降机的速度相等；在下落过程中螺丝钉 和升降机的位移差是 3m对两运动物体分别列式，可得：2对螺丝钉：si=vot+gt /22对升降机：S2=vot+at /2将上述两式两边分别相减，可得：si-s 2= (g-a ) t2/2，代入数据，即得:t = 0.87s(9) 甲、乙两处相距 8m物体A由甲处向乙处作初速度为零、加速度为2m/s2的匀加速直线运动.物体 B比A早is出发，从乙处作速度为 4m/s的匀速运动.A、B速度方向 相同。试求：(1)A运动多长时间可追上 B?追上时，A、B各运动了多少距离？(2)A追上B 前，何时两者相距最远，这最远的距离多大？解答分析此题时，最好画一草图，从图中便可清楚地看到，A追上B时，两者运动距离的关系是sa=sb+8,也可看出最大距离指的是什么.2甲=“亠_沽拓*对 A： SA=at /2对 B： SB=V(t+1)(1) A 追上 B 时，Sa=Sb+8,即: at 2/2= v(t+1)+8，代人数据，得t=6s，并可得：SA=36m, SB=28m(2) 未追上时， s=(s b +8)-s a,即 s= 4(t+1)+8-at/2求此二次函数极值，当t=2s时， s=16m(最大)三. 自由落体和竖直上抛运动1.自由落体运动：V0=0, a=g2 .竖直上抛运动：(1)两种解题方法分段解题法：上升：a=-g的匀减速运动；下降：自由落体运动。2上升最大高度 H二v，上升时间：t =虫，下落速度vt=v02gg注意：两过程实际上有着不同的正方向。上升过程是以向上为正方向的，下降过程 是以向下为正方向的。尽管重力加速度g本身并未变化，但在这两过程中却要分别取负值和正值；位移的起点位置也是不同的，前一段过程以抛出点为起点，后一段过程以最高 点为起点。全程解题法:a=-g的匀减速运动。注意：需要确定一个正方向(以向上为正、速度、加速度、位移的正负皆以此为标准)， 一个位移起点(抛出点)，物体上升到最高点以后再下落，可看成是速度减少到零后再继续 减少到负值，用负号来反映速度方向的改变下列公式在上升、下降的全过程中都是适用的：+X 1 + 222V。+VtVt =Vo -gt ; s =vtgt ； Vt =Vo 2gs ； st2 2公式中vo取正号，g取负号，Vt、s的正负有待于运算的结果。(2)竖直上抛运动的对称性这里所说的对称性是指以最高点为分界，上升过程和下降过程在时间、速度上的对称性.从抛出点上升到最高点的时间等于从最高点落回到抛出点的时间，t上=t下=Vc/g抛出时初速度的大小等于落回原处末速度的大小；上升到任一高度的速度大小也等于下降到同一高度速度的大小；从任一高度上升到最高点的时间也等于从最高点下降到此高度的时闻；上升时通过任意两点所需时间等于下降时通过该两点所需时间.例从地面上抛一物体，它两次经过较低的 A点的时间间隔为ti,两次经过较高的 B点的时间间隔为t2,则AB相距多远？解答我们可以把AB两处分别看成是以 Va、Vb的速度上抛的两个抛出点。对抛出点 A有：t i=2vg , VA=gt i/2对抛出点 B 有：12=2VB/g , VB=gt 2/2A、B之间有：vb2- v A2=-2gh解得 h= (ti2-t 22) g/8(3) 竖直上抛运动的双解这里的双解是指对于竖直上抛运动来说：(1)某一确定的位移有两段时间与之对应一是上升时经过此位置的时间ti, 二是下降时回到此位置的时间t2 ,从数学角度来说，竖直上抛运动位移规律的表达式1 2S二Votgt是关于t的二次方程.这个二次方程通常是有两个解的 (当然数学上的解还2应受到物理上的约束，如 t 0等)；某一确定的位移有大小相等、方向相反的两个速度与之对应.由公式2 2Vt =Vo -2gs得vt可取正负值，其中正值为上升速度，负值为下降速度.注意到双解，我们对问题的考虑和解答就全面、完整了。例一人从阳台上以20m/s的初速度竖直向上抛出一小球，经多长时间小球与抛出位置相距i5m?解答小球后来的位置与抛出点相距i5m,这可能是位于抛出点上方i5m也可能是位于抛出点下方i5m对这两种情况、我们分别列式：2在上方时：s=vot-gt /2(i)在下方时： -s=v 0t-gt 2/2（ 2）由 （1） 式可得： t 1=1s， t 2=3s由（2） 式可得： t 3=4.64s ，t 4=-0.64s（ 舍去 ）（4）负位移概念的运用 若求解竖直上抛运动的物体下落到抛出点下方后的有关问题，我们也无需把后来的过 程分开处理，仍可统一在匀减速运动的大过程中不过当物体到达抛出点下方时，从起点 （ 抛出点 ） 到终点的位移方向变为向下，与正方向相反，应取负值而在抛出点上方，不管 是上升还是下降，速度是正值还是负值，位移都是向上的，仍是正值，运用负位移的概念 并代入到有关公式中计算，我们可方便地求出有关物理量 例 一气球悬吊着一重物，以 10m/s 的速度匀速上升在距地面 240m 高处，绳突然 断开，重物脱离气球。试问重物经多长时间将落地?落地时速度多大 ? 解答 需要指出的是：绳断时，重物并不是立即下落做自由落体运动，而是以10m/s的初速度向上做竖直上抛运动它先上升后下降，最后落地我们可把这一过程看成是一 个匀减速过程，并运用负位移的概念求解22由 s=vot-gt 12，可得 -240 = 10t-5t代人数据可得：t i=8s, t2=-6s（舍去）再由 vt=v0-gt ，可得vt=-70m/s（ 负号表示速度方向向下 ） 练习三 （1）物体竖直上抛运动（不考虑空气阻力），以下说法中正确的是:A.可以看作一个竖直向上的匀速运动和一个自由落体运动的合运动；B. 物体在上升过程中，速度和加速度都在减小；C. 物体在最高点时速度为零，加速度为零；D. 物体作匀变速直线运动.1.75m 的窗子所用的时间为0.2s 。求物体上升的最大高度, 还是分成上、下两段过程求（ 2）从地面上竖直上抛一物体，此物体通过某层楼一高0.1s .当它下落时，它从该窗的窗台落到地面所用的时间为 解答 此题不论是把此物体的上抛运动看成统一的过程 解，都难以下手但如果我们能根据上抛运动的对称性，注意到从地面上升到窗台的时间 与从窗台下落到地面的时间都应等于 0.2s 时，我们便找到了解决问题的突破口2 从地面上升到窗顶 :s 1=v0（t 1+t 2）-g（t 1+t 2） 2/2 从地面上升到窗台 : s 2=v0t1-gt 12/2将两式相减，注意到t i=0.2s, t 2=0.1s, s 2-s i=1.75m,代入数据，即得：2v0=20m/s H=v02/（2g）=20m 四、归纳法和演绎法归纳法：个别到一般，特殊到普遍演绎法：一般到个别，普遍到特殊 练习四 （ 1 ）一列车由等长的车厢连接而成，车厢之间的间隙忽略不计一人站在小台上与 第一节车厢的最前端相齐，当列车由静止开始做匀加速立线运动时开始计时，测量第一节 车厢通过的时间为 2s,则他测得从第5节（第4节尾）至第16节（第16节尾）车厢通过的时间为多少s?五、应用图像解题在理解s-t图像和v-t图像意义的基础上，可运用图像知识来分折、处理一些问题.图像有时能直接用于解题，有时能直观地为我们提供解题线索.在s-t图像中，图线的斜率表示速度的大小。在v-t图像中，图线的斜率表示加速度的大小，图线下“面积”表示位移。练习五(1 )两辆完全相同的汽车沿水平公路一前一后均以速度V0匀速行驶若前车突然发现了情况，便以加速度 a紧急刹车，刹车后该车又向前行驶了s停住它刚停止时，后车司机才发觉，随即以相同的加速度紧急刹车要使两车不相撞，则两车在匀速行驶时至少 应相距多远？解答依题意做出两车匀速行驶时的v-t图线(如图所示)在ti时刻之前，两车的速度图线相同，都是与 t轴平行的PA。在ti时刻，前车开始刹车，到 t2时刻前车停住.在 这段时间内前车的图线是At2 ,后车的图线是 AB.到t 2时刻后车刹车，t 3时刻后车停住.在这一段时间内后车的图线是Bt3,由于两车刹车时 a相同，因此，刹车阶段图线的斜率相同，是平行线，即 At2Bt 3。已知前车在刹车过程中运动的距离为s(由图中三角形 Atit2的面积来表示)后车在前车开始刹车ti时刻算起，到它停下来运动的距离可由图中梯形ABt3t 1的面积表示.比较这两个几何图形的面积，可看出，后车在ti到a2.则这辆汽车由 A到t3这段时间内运动的距离是 3s，比前车多行 3s-s=2s .所以，要保持两车不相撞，在匀速 行驶时两辆车距离至少为2s.(2) 一辆汽车沿平直公路由静止出发从ai,作减速运动时，加速度为A地驶向B地，并停止在 B地.A B两地相 距s .汽车作加速运动时，加速度为B所需的时间为多少？解答先做出汽车从 及两支图线的长短、斜率、A到B先加速后减速的速度图像的示意图 (如图示).其中OC CDti、t的位置均不是确定值，只起示意作用.但是它加反映出汽车从其出发先加速运动，到某一时刻ti后再减速运动，最后停止于B的运动情况。AB之间的距离s是己知的定值.s就是图像中 OCD勺“面积” .t、v可分别看成这个三角形 的底和高，ai、a2分别是这两条图线的斜率.从图形中我们可得到： OCD勺“面积”为：s=vt/2图线OO的斜率为：ai=v/t i图线CD的斜率为：a2=v/ (t-t i)三式联立，消去 v、ti,即可得t = 2s(ai a2)/aia2此题尽管还是列式求解的，但是图像为我们提供了简明、清晰的思路，它的作用是不 可忽略的.六、运动的合成和分解1 运动的合成物体的运动都是相对于某一参照物来说的，同一物体相对于不同的参照物，其运动形式可能是不同的 一物体在行驶的列车中自由下落，它相对于列车或列车上的人做的是自 由落体运动但它相对于地面或地面上的人来说，它参与了两种运动：一是随列车行进的 水平运动，二是竖直方向上的自由落体运动它实际的运动，应是这两种运动的合运动， 即平抛运动.所以当一个物体相对于某一参照物（系统）有P运动，而这个参照物相对于地面有Q运动时，此物体相对于地面的运动应是P运动和Q运动的合运动求分运动的合运动的过程叫运动的合成.运动的合成也是指速度、加速度、位移的合成，它同样也要符合平行四边形定则运动的分解是把复杂变为简单，以便于研究运动 的合成是将分运动研究的结果进行归纳综合，从而揭示出整体远动的规律，即速度、加速 度、位移随时间变化的规律.例如，我们若知道飞艇在无风时向南飞行的速度是V1,又知道东风的速度是 V2,利用运动合成的方法，我们就可求出有风时飞艇实际向哪个方向飞行，实际飞行的速度多大， 飞行时间是多少.竖直上抛运动也可按看成是向上的匀速直线运动和向下的自由落体运动的合运动.这个合运动速度、位移的变化规律应是两个分运动速度、位移变化规律的合成以向上为正 方向，按同一直线上矢量运算的方法可求得：2v=v 上+v 下=vo-gt , s=s 上-s 下=vot-gt /2这与已知的竖直上抛运动速度公式和位移公式是一致的.两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动但其余情况的两直线运动的合运 动，并不一定是直线运动是直线还是曲线，如前面所述，关键还在于物体所受外力的方 向与速度方向是否共线.例如图所示，半径为 R的大圆盘以角速度 3旋转一人站在盘边缘 P随盘转动，他想要用枪击中圆盘中心的木柱Q设子弹射出枪口的速度为v,则枪口瞄准的方向应是A.方向对准OB.与P0连线向前偏0角,sin 0=3 R/ vC,与P0连线向后偏0角,sin 0=3 R/ vD.与P0连线向后偏0角,tg 0 =:3 R/ v解答我们的研究对象应是子弹题中所说的v是子弹相对于枪口的速度枪相对于人和盘是不动的，所以v也就是子弹相对于转盘的速度.子弹在射出时，实际上参与了两个运动：一是随转盘转动， 具有切向速度3 R,二是相对于枪口（转盘）的运动，具有速 度v.要击中木柱，则这两个分速度的合速度应指向木柱.现已知转盘的边缘的线速度的大小和方向，合速度的方向和 子弹出枪口的速度大小 v，则v的方向可由图（b）中的矢量三角形看出：sin 0 =3 R/v.所以应选答案 Co有时从地面的观察者来看，物体参与了两种运动，运动状态较复杂但从某一选择恰 当的参照物来看，它仅参与了某种较简单的运动，求解比较容易.例射击运动员在阳台上水平瞄准悬挂在树上的靶。当他刚扣动扳机时，靶的悬绳突 然断了，靶自由下落试问，子弹能不能击中靶？解答相对于地面，子弹所做的是较复杂的平抛运动，但相对于同时下落的靶，子弹 没有了竖直方向的自由落体运动，只有水平方向的匀速直线运动。如果开始瞄准时，子弹 初速度的方向直指靶心的话，则子弹就一定能击中靶心。2 .分运动的独立性和等时性物体可同时参与几个分运动，但各分运动之间却是相对独立、互不影响的.例如，横 渡河流的小船，当它始终将船头直指对岸以不变的速度渡河时，这时不管河中的水是静止 的还是流动的，水流速度多大，都不会影响渡河时间.因为渡河时间仅取决于小船垂直于 河岸的分运动.它是由河宽L和小船垂直于河岸的速度Vy来决定的，t=L/V y,小船参与的另一平行于河岸的水流运动，不能延长或缩短这个时间.合运动和组成它的各分运动所经历的时间一定是相等的。合运动结束了，分运动必然 也停止了.某一个分运动停止了，另一个分运动也就不再进行了。等时性是分运动之间相 互制约的一个因素.它为我们从一个分运动去推求另一个分运动提供了条件.在前面所说 的小船渡河的例子中，船垂直于河岸分运动进行的时问，也就是船随水流沿河岸分运动进 行的时间，利用这个时间我们就可求得小船将停靠在对岸多远处.例如图所示，AB杆水平固定，另一细杆可绕 AB上方距AB高为h的0铀摆动，两杆都穿过光滑的P环，当细杆绕0轴以角速度3顺时针转动到 与竖直线成30角时，环运动的速度为多大？解答环的实际运动是沿 AB杆向右的.它可被看成是 随细杆以角速度 3绕轴的转动与沿细杆上滑运动的合运动 （这样的分解与环实际运动的效果是吻合的）随细杆转动这个分运动的线速度 V1垂直于细杆.Vi = 3 R=3 h/cos30 。沿细杆上滑分运动的速度V2垂直于vi,实际合运动的速度 v沿AB杆.在vi、V2、v三速度大小围成的直角三角形中，可得：v=v i/cos30 = 3 h/cos30 =4 3 h/3处理这一类问题，我们应该明确：合速度一定是物体实际运动的速度，它在矢量的平 行四边形中一定是处在对角线的位置上（在矢量三角形中不一定处于最长边的位置）.被分解出来的分运动，要与物体实际运动效果相符合.3 .小船渡河问题：设v1为水流速度，v2为船相对静水速度，B为v1与v2的夹角，d为河宽。水流方向：速度为 v1+v2cos 0的匀速直线运动垂直河岸方向：速度为 v2sin 0的匀速直线运动要船垂直河岸渡河时：在水流方向上船速度为零，vi+vzcos 0 = 0,0 =arccos（-v 1/V2）.要船渡河时间最短：在垂直于河岸的方向上t = d/v2sin 0 ,当0 = 90时，t有最小值 d/v 2在轮船渡河问题中，我们常常需要求解：渡河花费了多长时间？轮船停靠在对岸什么地方？船头应指向什么方向？在渡河过程中，轮船的实际运动应是船随水流的运动和船自身在静水中运动的合运 动。有时为了求解方便，也可把船的实际运动看成是由沿河岸的分运动和垂宜于河岸的分 运动组成的.沿河岸的分运动速度应是水流速度与船在静水中速度v静沿河岸分量的代数和，即Vx=v水土 v静cos 0，垂直于河岸分运动的速度只能由船自身来提供，Vy=v静sin 0 .（如图1所示)(1)渡河的时间根据运动独立性的原理。渡河时间可由垂直于河岸的分运动求出。设河宽L,则：t=L/v y=L/v 静sin 0由此式可推断，在v静大小一定的情况下，0 = 90时，即船身垂直河岸航行时所需时间最短.t min = L/V静，这时V静垂直于河岸，其沿河岸的分量为零，船速全部用来渡河.但此时船实际航行速度及实际航线与河岸并不垂直.tg 0 =v 静/v 水0为船实际航行速度方向与河岸的夹角，如图2所示.(2) 到达对岸的地点轮船到达对岸什么地方取决于渡河时间和沿河岸的分速度，即: x=Vxt= (v 静+v 水 cos 0 ) L/v 静 sin 0若要到达正对岸处，则：x=0, v 水=-v 静 cos 0 , cos 0 =-v 水 /v 静这说明，只要船身(v 0)的方向与水 流方向的夹角0符合上式(式中负号表 示船身应偏向上游)，船将到达正对 岸船的实际航线与河岸垂直，并且是 最短的(如图3 所示).但这时航行时间 并不是最短的，因为实际用于渡河的速度仅是例已知河宽200m,水速2m/s，对岸码头偏向下流 250m,轮船在静水中速率为 5m/s .试 问轮船的船身成什么方向航行时，才能到达正对岸的码头？解答将轮船的运动分解为垂直于河岸和平行于河岸的分运动.vx=v 静 cos 0 +v 水,vy=v 静 sin 0由垂直于河岸的分运动可求得渡河时间t=L/v静sin 0在此时间内，沿河岸的分运动行驶了x(250m)距离.x=vxt= (v 静 cos 0 +v 水)L/ (v 静 sin 0 )代人数据得 25sin 0 = 20cos 0 +8解之得：cos 0 = 0.6 , 0 = 53即船身与水流方向夹角为 53时恰能到达对岸码头.4 .跨过定滑轮物体拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解：物体运动的速度为合速度 v, 物体速度v在沿绳方向的分速度 v1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分 速度v2就是使绳子摆动的速度，它一定和 v1垂直.七、平抛物体的运动在仅受重力的情况下，将物体以一定的水平初速度抛出去后物体的运动叫平抛运 动.平抛运动是曲线运动，它的轨迹是半支抛物线.平抛运动可被分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.这是因为 它在水平方向上不受外力作用，在竖直方向上没有初速度，只有重力产生的重力加速度.(1 )平抛运动的速度Vx=Vo,平抛的两个分运动的速度规律就是匀速直线运动和自由落体运动速度的规律:Vy=gt其合速度的大小和方向，分别为：=弋(gt)2v - arctg 吏V。(B为v偏离水平方向的角度).(2)平抛运动的加速度平抛的水平分运动没有加速度，故a=g(3 )平抛运动的位移以抛出点为原点，V0方向为x轴，竖直向下方向为 y轴，则平抛物体在任一时刻的位 置由它两个方向的分运动位移公式来确定：x=V0t , y=gt 2/2这两个表达式完全能够确定物体在运动平面中的位置了，通常不需要求出合位移的大小和方向.如果有特殊要求，合位移S =S水平 s竖直I2122(V0t)(2gt )从位移和速度的公式可看出:初学者常容易将它们混淆.Vy/VxM y/x，即速度和位移与水平方向偏角并不相等,(4 )平抛运动的下落时间:t =t自由落体2h (只与下落高度有关，与其它因素无g关)例如图所示，光滑斜面长为 面左上方顶点P水平射人，从右. 其入射的初速度V0.解答小球在沿斜面宽度的水平方向上不受外力作用， 在此方向它做匀速直线运动。在沿斜面向下的方向受下滑力mgsin 0作用，在此方向它做初速度为零，加速度 的匀加速运动可仿照求解平抛运动的方法列式：2 2b=V0t , a=at /2=gsin 0 t /2a，宽为b, 物块沿斜 F方顶点Q离开斜面.试求a=gsin 0解之得：v0 二 a . g sin /(2b)335m高处自由落下.河水流速为2 m/ s,试求木球第一次落入水中的落点位例一密度为0.5 X 10 kg /m的木球自水面上 不计水的阻力，并设木球接触水面后即完全浸入水中 置与浮出水面位置的距离.解答木球在落水前作自由落体运动，它刚接触水面时的速度为v0 = . 2gh = 10m/ s(因不计水的落水后它参与了两个方向的运动：一是水平方向随水流的匀速直线运动阻力)；二是在竖直方向上的匀减速直线运动(这个匀减速运动与竖直上抛相类似).对于竖直方向的分运动，以向下为正方向，可得：mg-f 浮=口4 p 木 gV- p 水 gV=p 木 Vaa=-10m/ s (不论球下沉还是上浮，a均不变)木球返回水面时，竖直方向位移为零：y=(Vt+Vo)t /2 = 0, vt =-vo根据 vt=vo+at , t=-2v o/a=2s .对于水平方向分运动，有：x=v 水 t=2 X 2=4m练习七(1 )一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，则这四个球：A. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的；B. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的；C. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直的直线，它们的落地点是等间距 的；D. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直的直线，它们的落地点是不等间 距的.(2)如图在倾角为0的斜面上以速度 v0水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开 始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？(3) 在高空中水平飞行的轰炸机，每隔ts投放一颗炸弹， 若不计空气阻力，则：()A. 这些炸弹落地前，排列在同一竖直线上.B. 这些炸弹都落于地面上同一点.C. 这些炸弹落地时速度大小方向都相同.D. 相邻炸弹在空中距离保持不变.解答这些炸弹在落地前在水平方向上的运动完全相同，水平运动的距离也相同.所 不同的是在竖直方向下落的距离.如以后离开飞机的炸弹为参照物，则先离开飞机的炸弹 相对于参照物的运动就是自由落体运动，所以答案A是正确的.答案B是错误的。先下落的炸弹落地后，后下落的炸弹在水平方向仍要向前运动，故 不可能落于地面上同一点.答案C是正确的.这些炸弹水平分运动的速度和竖直分运动的末速度都相同，故它们 落地速度的大小方向必相同.设投放炸弹相隔的时间为 t，则当后一颗炸弹离开飞机时前一颗炸弹与它相隔的距2 2离为： h=g (t+ t) /2-gt/2= t ( t+2t ) g/2上式中t是定值，放随着t增大，两炸弹相隔的距离 h也增大，答案D是错误的。(4) 平抛一物体，抛出1s后其速度方向与水平方向成45。角，落地时速度与水平方向成60角，求其初速度 v。、落地速度vt、开始的高度和水平射程分别是多少.(g取10m/ s2)vy=gt=10m/ s.解答此物体被抛出1s后的竖直分速度可从自由落体运动求得:再从 tg45 = Vy/Vx,可得：vo= v x=Vy=10m/s. 落地时 vx、vy、vt 是直角三角形三条边的关系，故Vt=Vo/cos60 =20m/s， Vy=V0tg60 =17.3m/s.2 由 Vy =2gh可得：h=15m. 从竖直分运动可得运动时间：t=v y/(2g)=1.73s从水平分运动求得水平射程：s=V0t=17.3m.