高中数学北师大版选修22教案：第1章 复习点拨：数学归纳法常见错误剖析

2019学年北师大版数学精品资料数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：1。错证：当时，左边1，右边1，所以等式成立。假设当时等式成立。即。那么当时，也就是说当时，等式成立。由知：对任何等式都成立。剖析：用数学归纳法证明第步骤时，在从“”到“的过程中，必须把的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出时的命题所以在推导过程中。故必须把时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：当时，左边1，右边1，所以等式成立。假设当时等式成立。即。那么当时，。即当时，等式成立。由知：对任何等式都成立。2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当为正奇数时，能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：当n=1时，718能被8整除。命题成立。 假设当n=k时命题成立。即能被8整除。 则 当n=k+1时，不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7不能被8整除分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。证明前要看准已知条件。正解（2）n=k时命题成立，即7能被8整除。 当n=k+2时，49（7 因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。所以当 n=k+2时 命题成立 。 由知当 为正奇数时，7能被8整除。 三 没有搞清从k 到k+1的跨度例3：求证： 错证：（1）当 1时，不等式成立。（2） 假设n=k时命题成立，即则当n=k+1时，就是说当n=k+1时不等式成立。由知原不等式成立。点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是，跨度是三项。正确证法：（1）当1时，左边，不等式成立。 （2）假设n=k时命题成立，即，则当n=k+1时，（）1=1。这就是说，当时，不等式成立。由知原不等式成立。