激光原理第二章答案

第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为A,-1，出射光线坐标参数为r2匕，根据几何关系可知r2 = r1,1 si = 2 si n v2傍轴光线sinv v则 门1 = p2，写成矩阵形式2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为1“2 d01 J证明：设入射光线坐标参数为r1,齐，出射光线坐标参数为r2,二2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离 d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得A/JP得证。3 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示其往返矩阵为Bl1 |0 1R2由于是共焦腔，则有将上式代入计算得往返矩阵n（一1）1 0 nI。1-十心1011可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔4试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件解：共轴球面腔稳定性条件0 gp2 ： 1 其中 g11, g1RR2对平凹共轴球面镜腔有 R1-,r20。则g1,g1,再根据稳定性条件&L0 ： g1g2 : 1 可得 0 ： 11 =R2L oR2对双凹共轴球面腔有，R10, R20则g1=1 - 吉,g2&1-氏，根据稳定性条件1-L卜L、y 0汽或L，g20 g1g2 :：1 可得 0 :0 :：R1L0 ；：R2 L oR1R2L对凹凸共轴球面镜腔有，R10, R2 LR丿 尺+ & L5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜 M1和M2的曲率半径分别为 R和R2，R, - -1m,R2 =2m工作物质长I =0.5m，折射率 =1.52当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为I,工作物质左右两边 剩余的腔长分别为L,和|2，则|1 I IL o设此时的等效腔长为 L，则光在腔先经历自由传播 横向距离h ,然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离I ,再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离I2，则j L-1 I? 01 I*1I1 |oO 1卫0讪0让。诽1 l2 +丄+101 J所以等效腔长等于Ll2丄 h =(L -1) 丄再利用稳定性条件(1)由解出2m L 1m则所以得到：1L = L 0.5 (1) = L 0.171.521.17mL ： 2.17m6.图2.3所示三镜环形腔，已知I，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线 ，式(2.2.7)中的F=(Rcosd)/2,对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，F = R / (2cos v) , v为光轴与球面镜法线的夹角解:图2.1B1D14l2201121101141F212F2312121F12稳定条件十J31十1F2 F12左边有31F对子午线：RLRF子午cos对弧矢线:F弧矢二2C0S对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线4-1 : R :3*3弧矢光线.W1 或 R任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得俯”卫或R空l9237.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm ,方形孔边长d=2a = 0.12cm ,入=632.8nm镜的反射率为口 =12 =0.96，其他的损耗以每程 0.003估计。此激光器能否作TEM 00模，小孔的边长应为多大 ？单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 试根据图作一个大略的估计。氦氖增益由公90-.3 10 4式d估算（I为放电管长度，假设I L）解：TEM 01模为第一高阶横模，并且假定TEM 00和TEM。1模的小信号增益系数相同，用g0表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式0 評、12（1-、00 -0.003） 1Iegl ?（1 、01 0.003） ：1II根据已知条件求出腔的菲涅耳数2L，0.06230 632.8 10-1.9由图可查得TEM 00和TEM。1模的单程衍射损耗为皿忙3701 ： 10氦氖增益由公式egt）l =1 +3 乂 10 鼻丄d00.计算。代入已知条件有egl =1.075。将eg l、；00、：01、r,和r2的值代入I、II式，两式的 左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求010.047根据图可以查出对应于、：01的腔菲涅耳数N ： 0.90由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2 LN =2300 632.8 10- 0.9 = 0.83mm同理利满足I式的条件可得2a - 0.7mm因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm ： 2a ： 0.83mm即可实现TEM 00模单模振荡。&试求出方形镜共焦腔面上 TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗 ？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的TEM 30模的场分布可以写成令 X = . 2二/（L，）x，则I式可以写成（L，/二）mn=Cmnv30（x, y） = C30H 3 X式中H3 X为厄米多项式，其值为H3 X i=8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令h3 xi；=o，得X, =0;X2 二，3T2;X3 二-,3/2考虑到0S L，/丁.，于是可以得到镜面上的节点位置x, =0；X2 二呼 0S；X3 二一子 0S2 2所以，TEM 30模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和- . 3-0s/2处，节线之间 位置是等间距分布的，其间距为x 3 0s/2 ；而沿y方向没有节线分布。9求圆形镜共焦腔 TEM 20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置 。解：在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式对于TEM mn，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义代入上式，得到- 20 r,:cos2 申sin 2取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取：2。r=C20能求出镜面上节线的位置 。即cos2 心 1 二亍 2同理，对于TEM 02，02 r , - C02l22r2r2r2e烹-C02l0= 1-4rr 务，代入上式并使光波场为零，得到J COne CO0s0s02 r ,- C02.2_4 4r * 2r叽 r22e血=0显然，只要l2/ 244r 2r240s 0s=0即满足上式镜面上节线圆的半径分别为V 2.20s, r2 -1-轨210.今有一球面腔，R| =1.5m， R2 =-1m， L = 80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置解：该球面腔的g参数为R115g2 =1 - 丄=1.8R2由此，gQ2 =0.85，满足谐振腔的稳定性条件0 g1g2 ：1，因此，该腔为稳定腔由稳定腔与共焦腔等价条件f2R = -(乙 +)zif2 f L Y L )* & =+(z2 +)和 Oc 1 - 一 1 -1 z2I R人R2L = z2 - z.可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为z, - -1.31mzq - -0.51mf = 0.50m根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置2根据16 .某高斯光束腰斑大小为-0 =1.14mm , =10.6 口m。求与束腰相距 30cm、10m、1000m 远 处的光斑半径-及波前曲率半径 R。解：入射高斯光束的共焦参数z30cm10m1000m叫Z)1.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m17 .若已知某高斯光束之0=0.3mm ,=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距 30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解：入射高斯光束的共焦参数f 一二 44.7cm根据 q(z) = z q0 = z if ，可得束腰处的q参数为：q(0) =44.7icm与束腰相距30cm处的q参数为：q(30) =(30 - 44.7i)cm与束腰相距无穷远处的q参数为：Re(q)：，lm(q) = 44.7cm21 .某高斯光束0=1.2mm , =10.6 口m。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数2一二 0.427m设入射高斯光束的q参数为q1,像高斯光束的q参数为q?,根据ABCD法则可知丄丄丄qi q2 F其中q l i f l和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数q2 - -lifl 和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数2q2也利用以上关系可得F q1l10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm时2.4022.555.3 m56.2 m从上面的结果可以看出，由于f远大于F,所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上22 . CO2激光器输出光 =10.6 口m ,-o =3mm ,用一 F=2cm 的凸透镜距角，求欲得到解：入射高斯光束的共焦参数-o=20 m及2.5 口m时透镜应放在什么位置 。2-:鳥0-=2.67m设入射高斯光束的q参数为q1,像高斯光束的q参数为q2，根据ABCD法则可知111=qi q2 f其中qi =训 ifl和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数q2 - -lifl 和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数q2电利用以上关系可得F q1-/ =20 时，I =1.39m ,即将透镜放在距束腰 1.39m处； /2.5m时，I =23.87m ,即将透镜放在距束腰 23.87m处。23 .如图2.6光学系统，如射光*-=10.6 口m,求怕o及l3。=2cm图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于l F1，所以l1 = F1 =2cm* 人；讥=F = 22.49 口 m5所以对第二个透镜，有已知F2 = 0.05m，根据l =12 -1 =13cm*2 04=1.499 10 m1 1 1=q1 q2 F其中q1 = l i fl和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q2 - -I iI和f分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数得% =14.06m, l3 =8.12cm24 .某高斯光束-0 =1.2mm , =10.6 口m。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m , 口径为20cm ;副镜为一锗透镜，F1 =2.5cm , 口径为1.5cm ;高斯束腰与透镜相距 l =1m ,如图2.7所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。解：入射高斯光束的共焦参数为=0.427m径为由于F1远远的小于I ,所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上,得到光斑的束腰半Fi(I -FJ2 f2二 0.028mm这样可以得到在主镜上面的光斑半径为 (R)6cm : 10cm: -0即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应 这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为I125 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数 f的实验原理及步骤。解：一、实验原理通过放在离光腰的距离为 z的小孔（半径为a）的基模光功率为2 a2(I)P(z)二F0(1 _e)式中，P。为总的光功率，P（z）为通过小孔的光功率。记P =P（z）,则有2(z)注意到对基模咼斯光束有2 a2F0P2二（Z）(II)在（II）式的两端同时乘以 二/,则有P。P2 二 a2(III)解此关于f的二次方程，得2 2-z(IV)因为a、p0、R、z都可以通过实验测得,所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。二、实验步骤1. 如上图所示,在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a),用卷尺测量出B到光腰0(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；2. 用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率3. 移走光阑，量出高斯光束的总功率 P0 ；舍)。4.将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取28试用自变换公式的定义式qc lc =丨=q0(2.12.2 ),利用q参数来推导出自变换条件证明：设高斯光束腰斑的q参数为q。二if0 ,腰斑到透镜的距离为I ,透镜前表面和后表面的q参数分别为q!、q2,经过透镜后的焦斑处 q参数用q。表示，焦斑到透镜的距离是lc = l ,透镜的焦距为F。根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：透镜后表面：到:焦斑的位置：把经过变换的qc - q2lcq2qcq2lc =lqc - qo=ifq1f二q2 lc签代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得Fqi1，可得F = I2百丿31.试计算 R =1m， L = 0.25m，qi = qoa1 = 2.5cm， a? -1cm的虚共焦腔的单程和 往返若想保持a1不变并从凹面镜 M1端单端输出，应如何选择a2 ？反之，若想保持a2不变并从凸面 镜M 2输出，a1如何选择？在这两种单端输出条件下 ，-单程和-往返各为多大？题中a1为镜M1的横截面半径，R,为其曲率半径。解：(1)镜M1的单程放大率为mi 二=1a1镜皿2的单程放大率为 m.a20.5=2a2R2F2所以M = mm2上单程=1 -11主返=1- 1厂3M2M 24(2)要从镜M1单端输出，则要求镜M1反射的光全部被镜 M 2反射，由于镜M1反射的光为平行光，所以要求a2 ai = ai = 2.5cm(3)要从镜M2单端输出，则要求镜M2反射的光全部被镜Mi反射，所以要求a1 a2 = m2a2 = 2 cm(4)单程和往返不变