资源描述
第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x都有都有_，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数都有都有_，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数图象图象特点特点关于关于_对称对称关于关于_对称对称f(x)f(x)f(x)f(x)原点原点y轴轴2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有奇函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性；的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有偶函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性的单调性(2)如果奇函数如果奇函数f(x)在原点有意义，则在原点有意义，则f(0)_；如果函数；如果函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则有既是奇函数又是偶函数，则有_.3周期函数周期函数若若f(x)对于定义域中任意对于定义域中任意x均有均有 _(T为不等于为不等于0的的常数常数)，则，则f(x)为周期函数为周期函数若若T是函数是函数yf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的的周期周期相同相同相反相反0f(x)0f(xT)f(x)1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？偶性的什么条件？【提示【提示】定义域关于原点对称，必要不充分条件定义域关于原点对称，必要不充分条件2(1)若若yf(xa)是偶函数，函数是偶函数，函数yf(x)的图象有什么对称性？的图象有什么对称性？(2)如果如果yf(xb)是奇函数，函数是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？的图象有什么对称性？【提示【提示】(1)f(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称；对称；(2)f(x)的图象关的图象关于点于点(b,0)中心对称中心对称【答案【答案】B【答案【答案】A3已知已知f(x)在在R上是奇函数，且满足上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当，当x(0,2)时，时，f(x)2x2，则，则f(2 011)()A2 B2 C98 D98【解析【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以是以4为周期的周期函数，为周期的周期函数，f(2 011)f(50243)f(3)f(1)又又f(x)为奇函数，为奇函数，f(1)f(1)2122，则，则f(2 011)2.【答案【答案】A4(2011浙江高考浙江高考)若函数若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数为偶函数，则实数a_.【解析【解析】函数函数f(x)x2|xa|为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)，则，则(x)2|xa|x2|xa|.|xa|xa|.解之得，解之得，a0.【答案【答案】0 函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定 (2012河源质检河源质检)已知函数已知函数f(x)是是(，)上的偶函数，上的偶函数，若对于若对于x0，都有，都有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2)时，时，f(x)log2(x1)，则，则f(2 011)f(2 012)的值为的值为()A2B1C1D2【思路点拨【思路点拨】当当x0时，时，f(x2)f(x)，可得，可得f(x4)f(x)，函数具有周期性，从而利用题设条件可求函数具有周期性，从而利用题设条件可求函数的周期性函数的周期性 【尝试解答【尝试解答】f(x)是偶函数，是偶函数，f(2 011)f(2 011)，当当x0时，时，f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，则，则4是是f(x)(x0)的一个周期，的一个周期，f(2 012)f(0)，f(2 011)f(3)f(1)，又当又当x0,2)时，时，f(x)log2(x1)，因此因此f(2 011)f(2 012)f(0)f(1)log21log221.【答案【答案】B 【答案【答案】A函数函数f(x)的定义域为的定义域为Dx|x0，且满足对于任意，且满足对于任意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求求f(1)的值；的值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；(3)如果如果f(4)1，f(x1)2，且，且f(x)在在(0，)上是增函数，求上是增函数，求x的取值范围的取值范围函数性质的综合应用函数性质的综合应用 【尝试解答【尝试解答】(1)对于任意对于任意x1，x2D，有有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令令x1x21，得，得f(1)2f(1)，f(1)0.1本题易出现不知如何脱掉本题易出现不知如何脱掉“f”，原因是不理解，原因是不理解“f”的的含义，或没能掌握偶函数的性质含义，或没能掌握偶函数的性质f(|x|)f(x)，导致繁杂讨论，导致繁杂讨论，思维受阻思维受阻2(1)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同数在关于原点对称的区间上单调性相同(2)f(x)为偶函数为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数若奇函数f(x)在在x0时有定义，则时有定义，则f(0)0.【解【解】(1)设设x0，则，则x0，所以所以f(x)(x)22(x)x22x.又又f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(x)f(x)，于是于是x0时，时，f(x)x22xx2mx，所以所以m2.从从2011年的高考试题看，有年的高考试题看，有7省市考查函数奇偶性、周期省市考查函数奇偶性、周期性多以选择题和填空题的形式出现主要考查奇偶性的判定，性多以选择题和填空题的形式出现主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，求解这类问题务必要注意转化思想的灵活应用与不等式，求解这类问题务必要注意转化思想的灵活应用思想方法之一转化思想在函数奇偶性中的应用思想方法之一转化思想在函数奇偶性中的应用 (2010课标全国卷课标全国卷)设偶函数设偶函数f(x)满足满足f(x)x38(x0)，则，则x|f(x2)0()Ax|x2或或x4Bx|x0或或x4Cx|x0或或x6 Dx|x2或或x2【解析【解析】当当x0时，时，f(x)x38，f(x)在在x0，)上是增函数，且上是增函数，且f(2)0，f(x2)f(2)，(*)又又f(x)是偶函数，是偶函数，由由(*)得得f(|x2|)f(2)|x2|2.解之得解之得x4或或x0.选选B.【答案【答案】B易错提示：易错提示：(1)将将f(x2)盲目代入解析式盲目代入解析式f(x)x38，忽，忽视定义域的限制，无解而终视定义域的限制，无解而终(2)挖掘不出题目的隐含条件，挖掘不出题目的隐含条件，f(2)0以及以及f(x)在在0，)上的单调性，不能由单调性脱掉上的单调性，不能由单调性脱掉“f”；(3)不能运用偶函数的性质不能运用偶函数的性质f(|x|)f(x)，简化运算，简化运算防范措施：防范措施：(1)注意到注意到f(x)x38(x0)，f(2)0，将，将f(x2)0转化为转化为f(x2)f(2)，为利用函数的单调性，把函数值的，为利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件(2)注意到注意到f(x2)可由可由f(x)的图象向右平移得到，数形结合的图象向右平移得到，数形结合可由可由f(x)0的解集的解集x|x2或或x2，得，得f(x2)0的解的解1(2011广东高考广东高考)设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶函数和奇函上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数【解析【解析】由由f(x)是偶函数、是偶函数、g(x)是奇函数，是奇函数，得得|f(x)|和和|g(x)|都是偶函数，都是偶函数，f(x)|g(x)|与与f(x)|g(x)|都是偶函数，都是偶函数，|f(x)|g(x)与与|f(x)|g(x)的奇偶性不能确定的奇偶性不能确定【答案【答案】A2(2011山东高考山东高考)已知已知f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期函数，的周期函数，且当且当0 x2时，时，f(x)x3x，则函数，则函数yf(x)的图象在区间的图象在区间0,6上与上与x轴的交点的个数为轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9【解析【解析】f(x)是最小正周期为是最小正周期为2的周期函数，且的周期函数，且0 x2时，时，f(x)x3xx(x1)(x1)，当当0 x2时，时，f(x)0有两个根，即有两个根，即x10，x21.由函数的周期性，知由函数的周期性，知f(2)f(4)f(6)f(0)0，f(5)f(3)f(1)0，f(x)0在在0,6上有上有7个实根个实根故函数故函数f(x)的图象在区间的图象在区间0,6上与上与x轴交点的个数为轴交点的个数为7.【答案【答案】B
展开阅读全文