数学建模论文水资源短缺风险综合评价1

答卷编号：答卷编号：论文题目：B题 水资源短缺风险综合评价组 别：本科生参赛学校：吉林师范大学报名序号：参赛队员信息： 姓 名专业班级及学号联系电话参赛队员1数学与应用数学专业0907116参赛队员2数学与应用数学专业0907118参赛队员3数学与应用数学专业0907128答卷编号（竞赛组委会填写）： 评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1：省赛评阅2：省赛评阅3：省赛评阅4：省赛评阅5：摘 要水资源短缺问题一直是人们关注的焦点话题，我国首都北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一。北京市水资源短缺已经成为影响首都发展的主要因素。要想评价判断北京市水资源短缺风险的主要风险因子，我们可以建立一个数学模型，通过对模型结果进行分析，进而确定影响北京市水资源短缺风险的主要风险因子。本文首先通过建立层次分析模型来确定影响水资源短缺的主要因素。然后，根据它们对影响水资源短缺的程度两两比较，依照比较尺度构造判断矩阵。接着对矩阵进行一致性检验，计算其最大特征值和对应的特征向量。最后对其归一化得到权向量。然后，通过层次结构图得到影响水资源短缺风险的因素。通过上述方法构造判断矩阵，接着对矩阵进行一致性检验，若一致性检验结果符合要求，则求出其相应的权向量。进而通过公式得到各因素对水资源短缺的影响程度。最后得出影响北京市水资源短缺风险的主要风险因子。本文得出的结论是，农业用水水资源短缺的影响程度最大，其次分别是人口规模、生活用水、工业用水，最后是工业污水。本文同时运用Matlab6.5编程求解最大特征值和权向量，并且用Matlab程序作拟合曲线，通过实际图像来对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测，可信性较强。关键词：成对比较矩阵；权向量；一致性检验。一、问题的重述近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺情况问题日趋严重，水资源成为焦点话题。以北京为例，北京是世界上严重缺水的大都市之一，其人均水资源占有量不足300，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区。北京水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要意义。为了对北京水资源短缺风险进行综合评价，我们根据北京2009统计年鉴得到如下数据：表1： 北京市2001到2007年间相关数据工业用水（亿）农业用水（亿）生活用水 （亿）人口规模 (万人)工业污水 （亿）期望7.414.112.81501.31.384120019.217.412.01385.12.100020027.515.510.81423.21.804420038.413.813.01456.41.310720047.713.512.81492.71.261720056.813.213.41538.01.281320066.212.813.71581.01.017020075.812.413.91633.00.9134建立合适的模型，解决如下两个问题：（1） 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么。（2）对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分。二、问题的分析要对主要风险因子进行评价，首先需要明确影响水资源的因素及其影响程度的大小。影响水资源的因素主要有：气候条件、工业污染、工业用水、农业用水、生活用水、人口规模六个方面。根据问题的特征，很容易想到层次分析法，可通过构造判断矩阵来确定其各因素对整体影响的权重，进而根据已知数据进行加权求和，用数学的方法给出一种合理的排序。三、问题的假设与符号说明3.1条件假设（1）假设各因素间互不影响。（2）假设模型只考虑给出的这几个主要因素的影响。3.2符号说明A： 水资源短缺程度；：工业用水；：农业用水；：生活用水；：人口规模；：工业污水；CI：一致性指标;RI：同阶的随机一致性指标；CR：一致性比率；：第z层对第一层的权向量。四、模型的建立4.1建立层次结构模型水资源短缺程度A工业污水 人口规模 农业用水生 活 用 水工业用水图1：层次结构图4.2构造成对比较矩阵4.2.1成对比较矩阵的定义 设某层有n个元素，X=，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占得比重（即把n个因素对上一层某一目标的影响程度排序）。上述比较时两两因素之间进行比较，比较时取19尺度。用表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则A=称为成对比较矩阵。4.2.2 比较尺度比较尺度的规则及含义见下表。表2：比较尺度的规则及含义尺度含义135792，4，6，81,1/2,，1/9与的影响相同比的影响稍强比的影响强比的影响明显的强比的影响绝对的强与的影响之比在上述两个相邻等级之间与的影响之比为上面的互反数4.3计算层次单排序的权向量及其一致性检验4.3.1层次单排序定义 根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量，即对判断矩阵B，计算满足： BW=W，的特征根与特征向量。式中，为B的最大特征根；W为对应的正规化特征向量；W的分向量即是相应因素单排序的权值。4.3.2 计算一致性指标：CICI， （1）显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，-n越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI均一致性指标RI进行比较。4.3.3 查找相应的平均随机一致性指标：RI对n=1,2,39，saaty给出了RI的值，如下表所示：表3：随机一致性指标RI的值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51平均随机一致性指标RI是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后，取算数平均值得到的。4.3.4 计算一致性比例：CRCR=, （2）为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将与平均随机一致性指标RI进行比较。当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。4.4计算层次总排序权值及组合一致性检验4.4.1层次总排序定义确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程称为层次总排序。若共有s层，则第k层对第1层的组合权向量满足 =,k=3,4,s, （3）其中是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第s层）对最上层的组合权向量为 （4）4.4.2组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还要进行一种所谓的组合一致性检验，以决定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。组合一致性检验可逐层进行，若第p层的一致性指标为，(n是第p-1层因素的数目)，随机一致性指标为，定义 ， （5） ， （6）则第p层的组合一致性比率为 =，p=3,4,s, （7）第p层通过组合一致性检验的条件为0.1。五、模型的求解5.1构造成对比较阵用成对比较法得到的成对比较阵（正互反阵）为A= 我们通过Matlab程序编程得到对的判断矩阵，程序见附录，结果见表4:表4： 对的判断矩阵1/2 1/3 1/3 52 1 2 2 93 1/2 1 1 73 1/2 1 1 81/5 1/9 1/7 1/8 10.11980.36000.24150.24760.0311CI=0.0401根据上表，通过相互比较确定各影响因素对于水资源短缺的权重，可以看出农业用水对于水资源的影响最大，人口规模次之，其中工业污水对其影响最小。从以上表中计算可以得出成对比较阵通过一致性检验，及以上所得的因素的权重值是可信的，根据表中数据有=根据公式（2），可计算出CR=0.0358 A=1,1/2,1/3,1/3,5;2,1,2,2,9;3,1/2,1,1,7;3,1/2,1,1,8;1/5,1/9,1/7,1/8,1A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 5.0000 2.0000 1.0000 2.0000 2.0000 9.0000 3.0000 0.5000 1.0000 1.0000 7.0000 3.0000 0.5000 1.0000 1.0000 8.0000 0.2000 0.1111 0.1429 0.1250 1.0000 V,D=eig(A)V = 0.2330 -0.1715 - 0.2160i -0.1715 + 0.2160i -0.1242 + 0.0189i -0.1242 - 0.0189i 0.6999 0.7812 0.7812 -0.6151 -0.6151 0.4696 -0.1494 + 0.3666i -0.1494 - 0.3666i 0.1362 + 0.5248i 0.1362 - 0.5248i 0.4813 -0.1867 + 0.3473i -0.1867 - 0.3473i -0.0698 - 0.5480i -0.0698 + 0.5480i 0.0605 0.0200 - 0.0323i 0.0200 + 0.0323i 0.0819 - 0.0041i 0.0819 + 0.0041iD =5.1604 0 0 0 0 0 -0.0697 + 0.9023i 0 0 0 0 0 -0.0697 - 0.9023i 0 0 0 0 0 -0.0104 + 0.0743i 0 0 0 0 0 -0.0104 - 0.0743i