【人教A版】高中数学选修11同步辅导与检测 第三章3.4生活中的优化问题举例

（人教版）精品数学教学资料第三章 导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为Sx2(4x)2(x2)242(cm2)答案：D2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x，0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300解析：由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，由P(x)0，得x300.当0x300时，P(x)0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大答案：D3将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和yx3(8x)383192x24x2且0x8，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当4x8时，y0，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值答案：B4做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D2 m解析：设底面边长为x m，高为h m则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0得x8，因此h4(m)答案：C5设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面正三角形的边长为()A. B.C. D2解析：设底面正三角形的边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin 60l，所以l，所以S表x2sin 603xlx2.令S表x0，得x，又当x(0，)时，S表0，所以x时，表面积最小答案：C二、填空题6某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析：由题意知，利润S(x)(x30)(200x)x2230x6 000(30x200)，所以S(x)2x230，令S(x)0，解得x115.当30x115时，S(x)0；当115x200时，S(x)0，所以当x115时，利润S(x)取得极大值，也是最大值答案：1157已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为_米解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y0；当x200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米答案：8008做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径R，母线长为L，则VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即当R3时，S表最小答案：3三、解答题9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？解：依题意，有xy8，所以y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2x.l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x0，所以，当x84时，l取得最小值此时，x842.343，y2.828.即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省10现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知函数的定义域为(0，35，即y300x(0x35)(2)由(1)得y300，令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0，35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x35时，y0，所以函数y300x在(0，35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行B级能力提升1某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在第100天时()A公司已经亏损B公司的盈利在增加C公司的盈利在逐渐减少D公司有时盈利有时亏损解析：因为f(100)1，所以函数图象在x100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少答案：C2某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此，两项费用之和为y(x0)，y，令y0，得x5或x5(舍去)当0x5时，y0；当x5时，y0.因此，当x5时，y取得极小值，也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：53某公司生产某种产品的固定成本为20 000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)其中x是该产品的月产量(单位：吨)(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：(1)f(x)(2)当0x400时，f(x)x300，当0x300时，f(x)0，f(x)是增函数；当x300时，f(x)0，f(x)是减函数；所以 当x300时，f(x)取得极大值，也是最大值，且最大值为25 000.当x400时，f(x)60 000100x，易知f(x)是减函数，所以 f(x)60 00010040020 00025 000，综上，当x300时，f(x)有最大值25 000.即当月产量为300吨时，利润最大，最大利润为25 000元