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专题三 导数及其应用一、题之源：课本基础知识1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1(nQ*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积5.函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数6函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值7函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值8定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式8定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0(或0(或f(b)的形式(2)对形如f(x)g(x)的不等式，构造函数F(x)f(x)g(x)(3)对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)16.利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现17.利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分如：定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx.18.用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案三、题之变：课本典例改编1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B组第一题）改编 在高台跳水中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m）是则t=2 s时的速度是_.【答案】.【解析】由导数的概念知：t=2 s时的速度为2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B组第一题）改编记，则A,B,C的大小关系是（ ）A B C D. 【答案】B.3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B.【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.4.原题（选修2-2第三十二页习题1.3B组第1题（4）改编1 设，记 试比较a,b,c的大小关系为（ ）A B C D 【答案】A.【解析】1.先证明不等式 (x0);设, 因为所以，当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此;2.设, 当 ,即;综上：有，x0成立; , , ,故选A.改编2 证明：，【解析】（1）构造函数，当，得下表+0单调递增极大值单调递减总有另解，当，当，单调递增，当，单调递减， 当 综合得：当时，（2）构造函数，当，当单调递减；当单调递增；极小值=，总有即：.综上（1）（2）不等式成立.5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A组第1题）改编 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_.【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高.故长方体的体积为从而令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，0；当1x时，0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值.从而最大体积V3（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4,（t）（t的单位：h, v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是_km【解析】当汽车行驶位移最大时，v(t)=0.又v(t)=-t2+4=0且,则t=2，故填.7.原题（选修2-2第五十页习题1.5A组第四题）改编 _【答案】.8.原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线与直线y=围成的封闭图形的面积为（ ）A B. C. D.【答案】D.【解析】由与得，所以曲线与直线y=围成的封闭图形的面积= 故选D.9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编1 由曲线，所围成图形的面积为_.【答案】.【解析】联立 得焦点坐标（0,0），（1,1）, 而表示单位圆在第一象限内的部分= ,故填.改编2 计算：（1）；（2）改编3 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.【解析】利用定积分的定义解题，应当画出草图.先求出抛物线和直线交点坐标（1，1），（1，-1）利用定积分的定义易得：改编4 在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.
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