利用Matlab求解机械设计优化问题的讲解

精选优质文档-倾情为你奉上 利用MATLAB求解机械设计优化问题的分析 周婷婷 (能源与动力学院,油气0701)摘要： MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。关键词： MATLAB 约束条件 机械设计优化 引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。1无约束条件的极值问题的解算方法设有Rosenbrock函数如下：f(X1,X2)=100(X2-X1*X1)2+(1-X1)2求向量X取何值时，F(x)的值最小及最小值是多少？先用MATLAB语言的编辑器编写求解该问题的程序如下：%把函数写成MATLAB语言表达式fun=100*(X(2)-X(1)*X(1)2+(1-X(1)2%猜自变量的初值X0=-1 2; %所有选项取默认值options= ；%调用最优化函数进行计算。%函数最小值存放在数组元素options(8)中%与极值点对应的自变量值存放在向量X里%计算步数存放在数组元素options(10)中X,options=fmins(fun,X0,options)；%显示与极值点对应的自变向量X的值。%显示函数最小值options(8)%显示函数计算步数options(10)把上面这段程序保存为m文件，然后用“Tools”菜单中的“Run”命令行这段程序，就可以轻松的得到如下结果：X=9.5383e-001 9.110e-001ans=1.4760e-001ans=195显然，计算结果与理论结果的误差小到e-10级,这里调用了MATLAB的最优化函数fmins(),它采用Nelder-Mead的单纯形算法，就是因为这个函数的采用，使最小值问题的解算变得非常简单。2.带约束条件的极值问题的解法 设目标函数和约束条件如下:f(x) =-3X1+X2+X3-X1+2X2-X3= -114X1-X2-2X3=0,X2=0，X3=0;求X向量取何值时函数取极小值？对条件极值问题通常的做法都是将约束条件标准化（即把等式约束条件写成等号为0的形式，把不等式写成=0的形式）。然后把条件极值问题转换为非条件极值问题，MATLAB也采用同样的做法。下面是求解该问题的MATLAB语言程序。funf =f=-3*X(1)+X(2)+X(3); %写出目标函数表达式。fung=g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3； %把约束条件标准化，写成向量函数。注意等式约束条件要放在前面。fun=funf ,fung %把目标函数表达式和约束条件表达式合成一个向量函数。 X0=101 %猜初值options= options13=1 %在options(13)中指定等式约束条件的个数。vlb =zeros(1,3); %指定向量X的下界为0。vub = ; %对向量的上界不做要求。X,options=constr(fun,X0,options,Vlb,Vlb); %调constr()函数%显示与极值点对应的X 向量值。options(8) %显示极小值options(10) %显示计算次数g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3 %显示约束条件表达式的取值。运行这段MATLAB程序得到如下结果:X=4.0000e+000 1.000le+000 9.0005e+000ans=-1.999le+000ans=17g=-6.877e-015 1.025le-015 -1.0200e-014显然，计算结果是非常精确的，这里调用了MATLAB的最优化函数constr()，它是专门用来解算条件极值问题的。3机械优化设计应用实例 机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计中，用计算机从大量可行方案中找出最优化设计方案，从而大大提高设计质量和设计效率。MATLAB具有解决线性规划和非线性规划、约束优化和无约束优化问题的内部函数，因而可以完成这一功能。现举一例：螺栓组联结的优化设计 如图4所示的压力容器螺栓组联接中，已知D1= 400mm,D2 = 250mm，缸内工作压力为p=1.5 MPa，螺栓材料为35号钢，s=320Mpa,安全系数S=3,取残余预紧力Qp=1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n和螺栓的直径d 。31 设计问题分析若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。 3 2 设计变量 目标函数 约束条件 32 .1 设计变量 选取螺栓的个数n和直径d(mm)为设计变量: 32 .2 目标函数 追求螺栓组联结经济成本Cn最小为目标。而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为min F(X) = Cn = nd = x1x2 强度约束条件 为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件 ； 其中； N；对于粗牙普通螺纹：由文献3推荐，小径 d1=0.85d 所以，强度约束条件为： 密封约束条件 为了保证密封安全，螺栓间距应小于10d，所以，密封约束条件为： 安装扳手空间约束条件 为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d，所以，安装约束条件为： 边界约束条件 ；33 3 建立数学模型综上所述，本问题的数学模型可表达为：设计变量：目标函数：min F(X) = x1x2约束条件： s.t. ( i = 1, 2, 3, 4, 5,)现运用MATLAB的优化函数进行求解 : 先编写M文件 function c,ceq=mynas(x)c(1)=/(x(1)*x(2)2)-106; % 非线性不等式约束 c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);ceq=; % 非线性等式约束在MATLAB命令窗口输入:fun=x(1)*x(2); % 目标函数x0=4,6; % 设计变量初始值A=-1,0;0,-1; % 线性不等式约束矩阵b=0;0; Aeq=; % 线性等式约束矩阵beq=;lb=; % 边界约束矩阵ub=;x,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mynlsub) % 调用有约束优化函数运行结果如下:x = 11.4499 10.9751fval = 125.6637所以，该问题优化结果为：n =11.4499 ,d = 10.9751，目标函数最小值：F(X)= 125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化：n =12 ,d = 12。由此例可以看出，与其它编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图（标注数字的曲线为目标函数的等值线），为此在MATLAB命令窗口输入: x1=0.1:20;y1=./(106.*x1.2);y2=400.*pi./(10.*x1);y3=400.*pi./(5.*x1);plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),o)y4=0.1:0.1:20;y4,x1=meshgrid(y4,x1);Q=y4.*x1;hold on;c,h=contour(y4,x1,Q); hold on;clabel(c,h) ;4结束语 从上述实例可以看出，利用求解最优化问题具有编程简单，精度很高，速度很快，各种工形式的最优化问题都适用等优点，巧妙各种利用MATLAB语言可以取得事半功倍的效果。MATLAB具有科学计算的强大能力,不管处理什么样的对象算法、图形、图像、报告或者算法仿真 MATLAB 都能够帮助大家不断提高工作效率。 MATLAB 环境能够完成算法开发、数据分析和可视化、高性能数据分析等工作，相对于传统的 C 、 C+ 或者 FORTRAN 语言，在 MATLAB 中完成这些工作所消耗的时间仅仅是传统手段的极小一部分。开放性的 MATLAB 软件和开发语言 M 语言，能够快速实现用户好的想法和概念。 MATLAB 本身包含了 600 余个用于数学计算、统计和工程处理的函数，这样，就可以迅速完成科学计算任务而不必进行额外的开发。 业内领先的工具箱算法极大的扩展了 MATLAB 的应用领域，例如信号处理,数字图像处理、数据分析和统计以及算法建模和仿真等。 MATLAB 的工具箱都是业内的专家、工程师结合多年来的经验和专业知识，专门开发的用户处理特殊数学计算、分析和图形可视化的功能函数集合。利用这些工具箱，用户可以通过对比应用一系列不同的算法，而避免了应用程序的开发。 使用 MATLAB 软件进行科学计算，能够极大加快科研人员进行研究开发的进度，减少在编写程序和开发算法方面所消耗的时间和有限的经费，从而获得最大的效能。 参考文献1 薛定宇控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言及应用，清华大学出版社，19962 濮良贵机械零件北京.高等教育出版社。3 蒲俊，吉家锋MATLAB数学手册上海.浦东电子出版社，2002。4 黄华梁 彭文生 机械设计基础 高等教育出版社 利用MATLAB求解机械设计优化问题的分析 学院： 能源与动力工程学院 班级： 油气0701 姓名： 周婷婷 学号： 37专心-专注-专业