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本章优化总结本章优化总结专题探究精讲专题探究精讲本本章章优优化化总总结结知识体系网络知识体系网络知识体系网络知识体系网络专题探究精讲专题探究精讲数列通项公式的求法数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的重要内容之一，只要数列的通项公式是数列的重要内容之一，只要存在数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解存在数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解.对于等差数列和等比数列的通项公式的求解可对于等差数列和等比数列的通项公式的求解可直接使用通项公式求解，而对于非等差、等比直接使用通项公式求解，而对于非等差、等比数列的通项公式的求解可通过适当的变形、构数列的通项公式的求解可通过适当的变形、构造等，使之成为等差或等比数列求解因此造等，使之成为等差或等比数列求解因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下：法和技巧总结如下：1观察法观察法就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式的方法出数列的通项公式的方法 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn2n2，bn为为等比数列，且等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1，求数列，求数列an和和bn的通项公式的通项公式【解】【解】当当n1时，时，a1S12；当当n2时，时，anSnSn12n22(n1)24n2，当，当n1也适用也适用故故an的通项公式为的通项公式为an4n2，即即an是是a12，公差，公差d4的等差数列的等差数列3累加法累加法求形如求形如an1anf(n)(f(n)为等差或等比数列或为等差或等比数列或其他可求和的数列其他可求和的数列)的数列通项，可用累加法的数列通项，可用累加法求通项，即令求通项，即令n1,2,3，n1得到得到n1个个式子累加求得通项累加法是反复利用递推关式子累加求得通项累加法是反复利用递推关系得到系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求终转化为求f(n) 的前的前n项的和，要注意求和的项的和，要注意求和的技巧技巧 已知数列已知数列an中，中，a11，且，且an1an3nn，求数列，求数列an的通项公式的通项公式【解】由【解】由an1an3nn，得得anan13n1(n1)，an1an23n2(n2)，a3a2322，a2a131.【规律小结】【规律小结】对于由形如对于由形如an1anf(n)型型的递推公式求通项公式，的递推公式求通项公式，(1)当当f(n)d为常数时，为等差数列，则为常数时，为等差数列，则ana1(n1)d；(2)当当f(n)为为n的函数时，用累加法的函数时，用累加法方法如下：由方法如下：由an1anf(n)得得当当n2时，时，anan1f(n1)，an1an2f(n2)，(3)已知已知a1a，an1anf(n)，其中，其中f(n)可以可以是关于是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项分式函数，求通项an.若若f(n)是关于是关于n的一次函数，累加后可转化的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；为等差数列求和；若若f(n)是关于是关于n的二次函数，累加后可分组的二次函数，累加后可分组求和；求和；若若f(n)是关于是关于n的指数函数，累加后可转化的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；为等比数列求和；若若f(n)是关于是关于n的分式函数，累加后可裂项的分式函数，累加后可裂项求和求和4累乘法累乘法若数列若数列an能写成能写成anan1f(n1)(n2)的形式的形式,则可由则可由anan1f(n1)，an1an2f(n2)，an2an3f(n3)，a2a1f(1)连乘求得通连乘求得通项公式累乘法是反复利用递推关系得到项公式累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前的前n1项的积，要注意求积的技巧项的积，要注意求积的技巧 已知数列已知数列an满足满足an12nan，且，且a11,求求an.数列求和的常用方法数列求和的常用方法数列的求和是数列运算中的重要内容，对于等数列的求和是数列运算中的重要内容，对于等差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于差数列和等比数列可直接利用公式计算，对于有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差有具体特征的非等差、等比数列可转化为等差数列或等比数列的形式，再求其前数列或等比数列的形式，再求其前n项和常用项和常用的求和方法有公式法、分组法、裂项相消法、的求和方法有公式法、分组法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研倒序相加法、错位相减法等，解题时要认真研究数列通项的特点，从而确定恰当的求和方法究数列通项的特点，从而确定恰当的求和方法.1裂项相消法裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用在求和时常用“裂项法裂项法”，分式的求和多利，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项常见的拆项公式有：些项，保留哪些项常见的拆项公式有：2分组法分组法如果一个数列的每一项都是由几个独立的项如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差或等比组合而成，并且各独立项可组成等差或等比数列，则可利用其求和公式分别求和，从而数列，则可利用其求和公式分别求和，从而得到原数列的和得到原数列的和3倒序相加法倒序相加法若所给数列若所给数列an中与首、末项等距的两项之和中与首、末项等距的两项之和相等，则把所给数列按下标从小到大的顺序书相等，则把所给数列按下标从小到大的顺序书写和的等式，再按下标从大到小的顺序书写和写和的等式，再按下标从大到小的顺序书写和的等式，再把这两个等式左右两边相加即得数的等式，再把这两个等式左右两边相加即得数列的前列的前n项和此种方法通称为倒序相加法项和此种方法通称为倒序相加法.例例如：等差数列前如：等差数列前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法.【思路点拨】【思路点拨】本题是求函数值的和，通过本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后解对其解析式的研究，寻找它们的规律然后解题题.【名师点评】【名师点评】倒序相加法是等差数列前倒序相加法是等差数列前n项项和公式的推导方法，即将和公式的推导方法，即将Sn倒写后再与倒写后再与Sn相相加，从而达到加，从而达到(化多为少化多为少)求和的目的常用于求和的目的常用于组合数列求和组合数列求和
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