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抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【2014年高考浙江会这样考】1考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.第3讲离散型随机变量的均值与方差抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)均值称E(X) 为随机变量X的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 (2)方差称D(X) 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ，其算术平方根为随机变量X的标准差x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平平均偏离程度抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【助学微博】一个复习指导本讲内容为近几年高考的热点与重点内容求简单的离散型随机变量的分布列以及由此求其均值与方差，特别是二项分布，这部分内容与现实生活联系密切，体现了数学的应用价值，特别是与排列、组合、二项式定理和概率等知识相结合综合考查分析问题、解决实际问题的能力和阅读理解能力抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考五条性质(1)E(C)C(C为常数)；(2)E(aXb)aE(X)b(a，b为常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；(4)D(X)E(X2)(E(X)2；(5)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案A抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2已知X的分布列为抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案A抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则 ()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45答案A抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考4(2013成都五校联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则E(51) ()A2 B1 C3 D4抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案C抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2013韵关调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)_.抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】 (2012新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由日需求量n14151617181920频数10201616151310抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点 (1)根据日需求量分类求出函数解析式(2)根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，比较两种情况的数学期望或方差即可抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考X的分布列为X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.X607080P0.10.20.7抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花Y55657585P0.10.20.160.54抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法锦囊 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点 利用期望与方差的性质求解抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法锦囊 若X是随机变量，则f(X)一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练2】 A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0 x100)万元投资A项目，100 x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列为E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三均值与方差的实际应用【例3】 (2012福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0 x1 1202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点 (1)利用互斥事件的概率公式求其概率(2)确定随机变量X1，X2可能的取值，分别求出X1，X2每个值对应概率，列出X1、X2的分布列(3)代入均值公式求出E(X1)、E(X2)，比较E(X1)、E(X2)大小，做出判断抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法锦囊 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解(1)设先答问题A的得分为随机变量X，先答问题B的得分为随机变量Y.P(X0)1p1；P(Xa)p1(1p2)；P(Xab)p1p2.E(X)0(1p1)ap1(1p2)(ab)p1p2ap1(1p2)(ab)p1p2ap1bp1p2.P(Y0)1p2；P(Yb)p2(1p1)；P(Yab)p1p2.抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考规范解答19关注高考概率与统计新视角【命题研究】 概率与统计知识的综合问题，在求解离散型随机变量分布列和计算离散型随机变量的期望值的问题中，考查考生分析问题、处理数据、解答问题的数学应用能力设问的开放性、答题的多样性以及根据统计数据提供的频率估计相应的概率，作出科学决策等是命题的亮点，较好地体现了新课标理念抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【真题探究】 (本小题满分12分)(2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题 (1)根据100位顾客中一次购物超过8件的有55人，即可求出x，y；同时一次购物结算时间x对应概率即可求出X的分布列与数学期望(2)不超过2.5分钟有3种情况，x11且x21，x11且x21.5，x11.5且x21，利用相互独立事件即可求出抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考阅卷老师手记 求离散型随机变量的分布列时，要自觉应用随机变量的分布列的性质进行检验，一般利用随机变量的均值的定义求解对于有些实际问题中的随机变量，如果能断定它服从某常见的典型分布，则可直接利用期望公式求得，因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可提高解题速度抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考经典考题训练【试一试1】 (2013晋城一模)甲、乙两射手进行射击比赛，分别射击100次，已知甲、乙射手射击的环数X，Y稳定在7,8,9,10环上，他们这次成绩用直方图表示如下(如图)：抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)根据这次比赛的成绩直方图，推断乙击中8环的概率P(Y8)，以及求甲、乙同时击中9环以上(含9环)的概率；(2)根据这次比赛成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次击中的环数多)?抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考所以甲、乙同时击中9环及9环以上的概率为PP(X9)P(Y9)(0.30.35)(0.20.35)0.357 5.(2)E(Y)70.280.2590.2100.358.7.E(X)70.280.1590.3100.358.8.因为E(X)E(Y)，所以甲的水平更高抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【试一试2】 (2011天津卷改编)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布列及数学期望E(X)、方差D(X)抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住1个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考
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