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第6讲对数与对数函数考纲展示命题探究1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b1)alogaNN；logaaNN；logbN；logambnlogab；logab，推广logablogbclogcdlogad.(2)对数的运算法则(a0，且a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logalogaM.3对数函数的图象及性质a10a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数注意点对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)等错误.1思维辨析(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)当x1时，logax0.()(5)函数yln 与yln (1x)ln (1x)的定义域相同()(6)若logamlogan，则mn.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数y 的定义域为()A(4，1) B(4,1)C(1,1) D(1,1答案C解析要使函数有意义，须使解得1x0)，则loga_.答案(1)1(2)3解析(1)2a5b10，alog210，blog510，lg 2，lg 5，lg 2lg 51.(2)因为a(a0)，所以a3，故logalog33.考法综述考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点主要以选择题、填空题形式出现典例(1)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3 B2C1 D0(2) log3log3_.(3)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值解析(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)2ln x与函数g(x)x24x5(x2)21的图象，如图所示f(2)2ln 2g(2)1，f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.(2)原式log33log31.(3)当log2a与log2(2b)有一个为负数时，log2alog2(2b)0显然不是最大值当log2a与log2(2b)都大于零时，log2alog2(2b)224，当且仅当a2b，即a4，b2时“”成立答案(1)B(2)(3)4【解题法】对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解1设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq答案B解析0a，又f(x)ln x在(0，)上单调递增，故f()p，r(f(a)f(b)(ln aln b)ln fp，pr0得x2或x2，因此函数定义域为(，2)(2，)令tx24，当x(，2)时，t随x的增大而减小，ylogt随t的增大而减小，所以ylog(x24)随x的增大而增大，即f(x)在(，2)上单调递增故选D.3设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac BcabCcba Dacb答案B解析由379得log33log37log39，1a212得b2，由0.83.10.801得c1，因此ca0时，0x1，关于x的方程x有正根，01，解得1lg a0，0.1a0，得函数ylog(x22x)的定义域为(，0)(2，)令ux22x，则u在(，0)上是减函数，在(2，)上是增函数，又ylogu在(0，)上是减函数，所以函数ylog(x22x)在(，0)上是增函数，在(2，)上是减函数故函数ylog(x22x)的单调递减区间是(2，)故填(2，)心得体会时间：60分钟基础组1.2016衡水中学模拟已知log7log3(log2x)0，那么x等于()A. B.C. D.答案D解析由log7log3(log2x)0，得log3(log2x)1，即log2x3，解得x8，所以x8.故选D.22016武邑中学仿真lg8()A. BC D4答案B解析lg8lg 8lg 10(23) 4.32016冀州中学猜题已知xlog2，ylog4，z0.71.2，则()Axyz BzyxCyzx Dyxlog2，即yx，z1，所以xy0，若1a3，则()Af(4a)f(3)f(log3a)Bf(3)f(log3a)f(4a)Cf(log3a)f(3)f(4a)Df(log3a)f(4a)0，x2时，f(x)0；x2时，f(x)0.f(x)在(2，)上递增，在(，2)上递减g(x)是偶函数，g(x2)关于x2对称，即f(x)关于x2对称，1a3，f(3)f(log3a)f(4a)故选B.62016枣强中学期末已知函数f(x)|logx|，若mn，有f(m)f(n)，则m3n的取值范围是()A2，) B(2，)C4，) D(4，)答案D解析f(x)，若mn，有f(m)f(n)，logmlogn.mn1.0m1.m3nm在m(0,1)上单调递减当m1时，m3n4，m3n4.72016衡水二中模拟已知函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，则a的取值范围是()A(，4 B4，)C4,4 D(4,4答案D解析令tg(x)x2ax3a，f(x)log0.5t在定义域上为减函数，要使f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，则tg(x)x2ax3a在2，)上单调递增，且tg(x)x2ax3a0，即即4a4，选D.82016武邑中学预测函数ylg 的大致图象为()答案D解析ylg 是偶函数，关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，而ylg 的图象是由ylg 的图象向左平移一个单位长度得到的故选D.92016冀州中学仿真函数yax2bx与ylogx(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()答案D解析从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D选项01,0，0或0时，将f(x)log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)log3(x)(x0且a1，若函数f(x)alg (x22x3)有最大值，则不等式loga(x25x7)0的解集为_答案(2,3)解析因为x22x3(x1)222有最小值2，所以lg (x22x3)lg 2，所以要使函数f(x)有最大值，则函数f(x)必须单调递减，所以0a0得0x25x71，即解得2x0，所以即故1a2.所以实数a的取值范围是1,2)能力组13.2016枣强中学模拟设alog32，bln 2，c5，则()Aabc BbcaCcab Dcba答案C解析log32ln 2，而c5，cab.14. 2016衡水二中期中已知函数f(x)，若f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为_答案1解析作出f(x)的图象，如图所示，可令x1x2x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x对称，所以x1x21.又1x1x2x38，所以2x30，a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解之得1a，若0a1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，且82a0，所以a4，且a0且a1)，如果对于任意的x都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围解f(x)logax，则y|f(x)|的图象如右图由图知，要使x时恒有|f(x)|1，只需|f()|1，即1loga1，即logaa1logalogaa.当a1时，得a1a，即a3；当0a1时得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是3，)
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