电磁学第五章

四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院课程名称电磁学授课专业物理学班级08级课程编号07060420211、2班课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（）；专业课（）选修课限选课（）；任选课（）授课方式课堂讲授（）；实践课（）考核方式考试（）；考查（）课程教学学时80学时学分5学分教材及主要参考书作者教材： 电磁学（第二版），高等教育出版社，2004年参考书：1电磁学（上、下册），人民教育出版社，1978。2新概念物理教程电磁学，高等教育出版社，1998。3物理学（电磁学），上海科学技术出版社，1979。4物理学（第二卷第一分册），科学出版社，1979。梁灿彬、秦光戎、梁竹健原著，梁灿彬修订赵凯华、陈熙谋赵凯华等复旦大学、上海师范大学物理系编哈里德瑞斯尼克著，李仲卿译学时分配第一章 静电场的基本规律（14+2学时）第二章 有导体时的静电场（8+1学时）第三章 静电场中的电介质（8+1学时）第四章 恒定电流和电路（5+1学时）第五章 恒定电流的磁场（11+1学时）第六章 电磁感应与暂态过程（15+1学时）第七章 磁介质（7+1学时）第九章 时变电磁场和电磁波（4学时）物理与电子工程学院章节名称第五章恒定电流的磁场教学目的及要求阐明磁现象的本质是电流（电荷的运动）；阐明磁感应强度矢量概念，让学生了解运动电荷在磁场中的受力情况；透彻分析毕奥-萨伐尔定律矢量式的物理意义，让学生掌握定律的内容并用其计算磁场分布；用磁场的高斯定理论证磁感应线的连续性质；要求学生掌握安培环路定理的内容和用其计算磁场分布的方法；让学生了解带电粒子在电磁场中的运动；阐明安培力公式，让学生掌握安培力的计算方法。教学重点与难点及处理方法重点：毕奥-萨伐尔定律、静磁场的高斯定理和环路定理的内容、数学表达式，磁感应强度及安培力的计算难点：对高斯定理和环路定理的证明、理解及应用处理方法：课堂讲授、课后讨论、课后做习题等方式相结合讨论、练习、作业习题：5.2.3；5.2.12；5.2.14；5.2.17 5.3.25.4.1；5.4.45.6.2；5.6.4；5.6.9教学内容第一节 磁现象及其与电现象的联系： 电磁相互作用，磁现象的本质，磁场、磁感应强度概念，磁感应线第二节 毕奥-萨伐尔定律：毕奥-萨伐尔定律内容、意义及应用第三节 磁场的高斯定理：磁通量概念，磁场高斯定理的内容、证明及物理意义第四节 安培环路定理：安培环路定理的内容、意义及应用第五节 带电粒子在电磁场中的运动： 带电粒子在电磁场中的受力情况及运动情况第六节 磁场对载流导体的作用：安培力公式及安培力的计算方法第七节 用磁矩表示载流线圈的磁场，磁偶极子（略讲）注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。第五章 恒定电流的磁场5.1 磁现象及其与电现象的联系人类对磁现象的研究早于对电现象的研究，早期对磁现象的观察（研究）是从天然磁体（永磁体）之间的相互作用开始的。一、永磁体（早期的永磁体指天然磁体）天然磁铁和人造磁铁统称永磁体（永磁铁）。人类对磁现象的认识和研究就开始于永磁体之间的相互作用。通过观察发现，永磁体的基本现象归结为： （1）永磁体：具有吸引铁、钴、镍等物质的性质（具有磁性）；（2）永磁体有两个磁性最强的区域，叫做磁极，分别叫做南北两极（南S，北N）；（3）两磁铁的磁极之间有相互作用力，同性极相斥，异性极相吸；（4）磁极不能单独存在。二、电磁相互作用（电流具有磁效应）十九世纪初，人们从一系列重要的实验中开始认识到电（现象）与磁（现象）之间有着不可分割的联系。（1）1819年：丹麦科学家奥斯特发现：通电导线附近的磁针会发生偏转；说明：电流具有磁效应 电流磁体（2）1820年：安培发现：放在磁铁附近的载流导线或载流线圈受到磁力的作用而发生运动；说明： 磁体电流（3）同时期发现：两平行直导线间有相互作用力：电流同向，相吸；电流反向，相斥。说明： 电流电流一系列实验现象都说明磁现象与电流有密切的联系，迫使人们去探索磁现象的本质，并使人们想象磁现象是否就起源于电流（或电荷的运动）呢？三、磁现象的本质：安培的分子电流假说1、“磁荷”观点由于有些磁现象与电现象有类似之处（如同性相斥，异性相吸等），因此人们最早参照电荷提出了“磁荷”的说法。人们认为磁性起源于“磁荷”，大量“磁荷”集中在磁极处而显磁性。磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用。但这个观点不能解释磁棒被无限分小后仍有N、S极、N、S极不能单独存在这种现象（因正负电荷可以单独存在）。2、分子电流观点（假说）奥斯特的电流磁效应实验以后，特别发现了通电螺线管与一条形磁铁的外部磁性相似。由此1822年安培提出了分子电流假说。他认为：磁性物质的分子中存在圆形电流，称为分子电流。分子电流相当于一个基元磁体，当物质不呈现磁性时，分子电流无规则排列，它们对外界所产生的磁效应互相抵消，使整个物体不显磁性。在外磁场作用下，圆形电流受力矩作用，其轴线沿一定方向排列起来，在宏观上显示出N、S极来，呈现磁性。安培的假说很容易解释为什么磁体的N、S两种磁极不能单独存在。因为基元磁体的两个极对应于圆形电流的两个面，显然这两个面是不能单独存在的。电子的轨道运动和自旋运动构成了等效的分子电流，这就是物质磁性的基本来源。总之，磁现象起源于电荷的运动（电流）。磁铁与磁铁，磁铁与电流，电流与电流之间的相互作用，都是运动电荷（电流）之间的相互作用，而这种作用是通过磁场来传递的。用图表示为：磁铁 磁铁 磁场电流 电流说明：（1）电荷无论运动还是静止，它们之间都有库仑相互作用，在其周围都要激发电场；（2）只有运动电荷在其周围激发磁场，运动电荷之间才有磁场相互作用。四、磁感应强度，磁感应线 （一）、磁感应强度1、磁场的性质在磁场中引入试探运动电荷来了解磁场的性质，实验发现：（1）在磁场中的给定点P处，存在一个特定方向，电荷沿此方向运动时，受磁力为零。此方向就是该点磁场的方向，即的方向；（2）无论运动电荷以多大速率和什么方向通过P点，总有，及，说明磁力为侧向力，只改变的方向不改变其大小；（3）时，运动电荷受力最大，用Fm表示，且Fm正比于运动电荷的电荷量q和速率v；时，F=0；（4）对场中某一确定点，有确定的值且与q、v无关，把此量定义为磁感应强度的大小。2、磁感应强度大小：B =方向：的方向为的方向，三者间的方向关系如下图所示。（二）、磁感应线1、作磁感应线的规定（1）在磁场中画一系列曲线，使线上任一点的切线方向和该点处的磁感应强度矢量的方向一致。 （2）通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数等于该点矢量的量值。因而磁场强的地方，磁感应线密，反之，磁感应线就疏。2、磁感应线的性质（1）磁感应线是无头无尾的曲线，或者从无限远到无限远。说明磁场是涡旋场。与电场线截然不同。这是与正负电荷可以被分离，而N、S磁极不能被分离的事实相联系的。（2）线环绕方向与电流方向彼此满足右手定则。五、运动电荷在磁场中受到的力1、洛仑兹力实验表明：运动电荷q在磁场中受力与其速度以及磁感应强度有如下关系： （q为代数量）洛仑兹力方向：与和构成的平面垂直，并满足右手法则大小：2、当空间除磁场外还存在电场时，电荷q在空间某点受力：， 电场力和磁场力的矢量和3、洛仑兹力，故它永远不对带电粒子作功，其作用只改变运动电荷的速度方向，而不改变它的速度的大小（速率）以及动能。六、带电粒子在均匀磁场中的运动 （P193195 5.5）一电荷量为q，质量为m（m很小，忽略重力）的粒子，以速度进入均匀磁场中（均匀磁场：线一定平行，等间距）。1、如果由知：带电粒子不受力，作匀速直线运动。2、如果 （电荷的圆周运动）由 知： 恒量即： （1）带电粒子受恒力的作用；（2）的方向垂直的平面，只改变的方向，不改变其大小。粒子在垂直于的平面内作匀速圆周运动，圆周运动的向心力就是电荷受的洛仑兹力，即有： 粒子作圆周运动的周期、角速度、频率均可求出：周期： 频率： 3、如果与成任意夹角 此时可分解为和，它们分别平行和垂直于，不受磁场力的影响，此部分作匀速直线运动，而受磁场作用而在垂直于的平面内作圆周运动。即粒子同时参与两个运动，其合成运动的轨迹为一螺旋线。螺旋线的半径：（一个周期内方向的距离）螺旋线的旋距：（一个周期内方向的距离）以上结论是回旋加速器和磁聚焦等实验仪器的理论依据。七、霍尔效应 （P198199 5.5） 5.2 毕奥萨伐尔定律一、毕一萨定律 P177主要讨论恒定电流产生的磁场，而恒定电流的电流线是闭合的。为了求得任意电流激发的磁场，我们将电流分成许多小元段，每一小段取得无限小，使得这一小段电流中电流密度矢量与线段元矢量的方向一致，我们把I与的乘积I称为电流元，电流元I产生磁场的规律称为毕奥萨伐尔定律，其数学表达式为： 大小： 与I成正比，与距离r的平方成反比。方向： （）的方向与I满足右手螺旋法则常数：（韦伯/安培米）或（牛顿/安培2），称为真空中的磁导率。实验表明：和电场一样，磁感应强度也遵从迭加原理。故整个载流导线在空间任一点P产生的磁场是各电流元产生的的矢量迭加（场的迭加性）二、直长载流导线的磁场 P178设直长载流导线中的电流强度为I（方向如图），计算距导线为a的场点P的：过P点作垂线与电流交于垂足O点，离O点为的地方取电流元I（将长直导线分为许多电流元），应用毕一萨定律求出电流元的，再运用场的迭加性。任选一电流元：（如图，方向与I相同），为从指向P点的矢径 大小： ，为与的夹角，由旋到（0内）方向： 所有电流元在P点的的方向均相同，垂直纸面向外，用表示。所以矢量和变为代数和，即求积分以下的工作就是怎样通过数学知识来积分：统一变量：选为变量，将被积函数中的变量由已知量和表示出来。（、I均为常量）。如图： 求微分： 特例：（1）导线为无限长时，（事实上，载流导线非有限长）即无限长载流直导线周围的磁感应强度与距离a的一次方向反比，与电流强度I成正比。磁感应线是在垂直于导线的平面内以导线为圆心的一系列的同心圆。（2）P点位于半无限长导线一端时，（3）P点位于延长线上， B=0三、圆形载流导线的磁场求圆形载流导线轴线上一点的磁感应强度。在线圈上A点取电流元，它在轴线上P点产生的元磁场位于POA平面内且与PA（）垂直，所以与轴线OP的夹角等于PAO。现在A点对称的另一端A取电流元，也在平面POA内。由对称性知：与合成后垂直于OP轴的分量相互抵消，合成后为沿OP轴线方向，所以，圆形电流的所有电流元在P点的只有对有贡献。故 （大小）方向沿轴方向又 （为与夹角）当P点在轴线上时，（垂直于圆切线，正好沿切线方向） 余下的问题又是把被积函数中的积分变量统一起来：如图： =讨论：（1）圆心处，a=0， （方向沿右手螺施法则）（2）R，P点位于距圆形电流较远处的轴线上 = （3）上式中定义为载流线圈的磁矩（与电偶极子的电偶极矩类似），为线圈平面的法线方向的单位矢量。若载流线圈有N匝，则四、载流螺流管轴线上一点的磁场 螺线管长L，半径R，通电流I，单位长度匝数为n（n足够大）。将螺旋状电流看作无限靠近的圆形电流，计算螺线管轴线上一点P的。取电流元（图形电流）的图形电流在P点的为：而 积分得：，B方向由右手螺旋法则确立讨论：（1），螺线管可视为无限长，则B =说明密绕长直螺线管内部的磁场是均匀的。（2）在螺线管任一端的轴线上，有限长螺线管轴线上磁场分布如下图。（3）5.4 将证明：理想的无限长螺线管，其内部各点的B是均匀的，并等于，其外部各点B=0。因此，无限长密绕载流螺线管是一种理想装置：在管内它产生一个匀强磁场，在管外磁场为零。例题1（补充）：习题5.2.1 P212解：载流导线分为三段：两半无限长导线，一个圆弧，它们在O点产生的的方向一致，所以矢量和变为代数和。故的大小为：方向垂直于纸面向外。例题2（补充）：习题5.2.6 P212解：采用填补法：将AB段填在两半无限长导线之间形成一无限长直导线，填在矩形的另一边上组成四边矩形，故O点的可看作一无限长直导线和一矩形载流导线在O点产生的磁感应强度的迭加：（1）的大小为：，()方向垂直于纸面向外（2）的大小： 矩方向垂直纸面向里由直长导线公式：得：a段直导线在O点：同理得：方向垂直纸面向里。例题3（补充）：习题5.2.10 P213如图，O点位于两载流直线部分的延长线上，所以AB段、CD段在O处产生的。B1C段圆弧电流在O点产生的磁感应强度为，方向B2C段圆弧电流在O点产生的磁感应强度为，方向由迭加原理求时，求矢量和变为求代数和：而1、2两条电路为并联：I1R1=I2R2又 故 B=0例题4（补充）：习题5.2.15 P214解：设单位弧长上电流线圈匝数为n，则，沿弧长取，则内的总电流为：，每一个宽为的小圆带相当于一个电流环，电流环在其轴线上任一点产生的磁感应强度公式为：其中：a为轴线上一点到圆心的距离，r为圆环的半径对此题：，宽的圆环上的电流为。半径为r，宽为的圆环在球心O点产生的磁感应强度为dB环： = 方向如图5.3 磁场的高斯定理我们在讨论电场时，为了描述电场的分布情况，引入电场强度矢量，为了描述电场的性质，引入了场强的通量及环流，也用同样的方法，我们来讨论磁感应强度的通量和环流。一、磁通量 1、定义：磁感应强度是矢量，形成一矢量场，在场中取一小面元，对面元的磁通量定义为：对任意曲面S的磁通量为：2、单位：MKSA制中，磁通的单位：韦伯1韦伯=1特斯拉米2二、磁场的高斯定理在学习静电场时，我们由库仑定律和场的迭加原理导出了以映静电场性质的高斯定理和环路定理。用类似的方法，在稳恒电流产生的磁场中，我们从毕奥一萨线尔定律和场的迭加原理也可推出磁场中的“高斯定理”和环路定理。1、高斯定理的表述：通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零。对这一结果可作如下理解：前面引入磁感应线时规定：通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数等于该点矢量的量值。若在场中任取一面元，则通过场中任一面元的磁感应线等于该面无的磁通量：通过dS的线条数=由于磁感应线是闭合曲线，穿入闭合曲面的磁感应线条数等于穿出闭合曲面的磁感应线条数，所以通过任一闭合曲面的总磁通量必然为零。2、高斯定理的证明：（略、自学）首先证明，磁场的“高斯定理”对电流元的场成立，然后利用迭加原理，证明对任意电流的磁场该定理也成立。（1）电流元的场P182-183（2）用磁场的迭加原理推广即可！3、讨论（1）定理反映静磁场的无源性（是无源场）；静电场中，由于自由界有单独的正负电荷，所以可以不为零，但场中，由于无单独的N、S极存在，所以为零。（2）进一步说明：磁感应线（线）是无起点无终点（无头无尾）的曲线，或从无限远来到无限远去；在场中任取一S面，由=0知进入S的线与穿出S的线条数相等，所以是无起点无终点的。（3）在磁场中以任一闭合曲线L为边线的所有曲面都有相同的磁通量（由=0推得）。如图：任意闭合曲面被曲线L分割为S1和S2两曲面。由上得：穿过L为边界的两个面的磁通量等值异号，这时的法线方向规定为向外为正，若把S1面及面的法线方向选作如上图所示的方向，则有：5.4 安培环路定理仍然由一、安培环路定理1、定理的表述：磁感应强度沿任意闭合环路L的线积分（环流）等于穿过这个环路的所有电流强度的代数和I的倍，即： （L任意闭合曲线）2、定理的证明：P185186（略）（1）闭合曲线包围一载流直长导线P185（2）不包围载流直导线P185（3）包围多根载流导线P185（4）电功力学中证明对任意恒定电流的磁场中均成立P1863、讨论（1）I的“+”“”号规定：当I与回路积分方向符合右手螺旋关系时为“+”，反之为“”。（2） 当安培环路L围绕一电流I时，但并非只有I产生； 当安培环路不围绕电流时：I=0，并非L上的=0（3）因为，所以磁场非保守场，为涡旋场（4）已知I，由，可计算（根据对称性）（不是任何情况下都求出来），选对称性的目的在于使矢量积分变为标量：要么或。步骤！ （找出或）二、安培环路定理的应用 1、均匀无限长圆柱载流直导线的磁场半径为R的均匀无限长圆柱载流直导线，其电流强度为I，求距轴线为r处的。分析对称性：将无限长圆柱形电流想象或许多无限长线电流的集合。在OP两侧对称位置取切面为ds1和ds2的两根无限长电流，在P点产生的和的合磁场垂直于半径r。由于整个柱面可以这样成对地分割为许多对称的无限长直线电流，每对线电流的合成磁感应强度均垂直于半径r，因而总电流I产生的的方向也垂直于r，即柱内外磁场的磁感应线是在垂直轴线平面内以轴线为中心的同心圆，同一圆周上各点的量值相同，方向沿圆周的切线方向。取过P点的周围为积分环线，有：（1）在圆柱形导体外，（rR）（与无限长线电流的磁场相同）（2）在圆柱形导线内（rR）在柱内取以r为半径的圆周作环路L，穿过此圆面的电流为：（3）在圆柱形导线表面上，r=R比较结果可知：在柱表面上B连续并有最大值2、无限长载流螺线管的磁场前面由毕奥萨线尔定律求出了无限长密绕螺线管内轴线上一点的磁感应强度B=，方向沿轴线方向。在此用安培环路定理求出螺线管内部及外部各点磁感应强度的大小和方向：（1）螺线管内任一点的方向平行于轴线方向反证法：螺线管内任一点P，其的方向偏离轴线为的方向：由于螺线管无限长，认为P点位于管内中心位置。过P点作直线zz垂直于轴线00，以zz为轴将螺线管转180，则P点的方向变为。这时再令螺线管电流反向，由比萨定理，电流反向，则必反向，即P点的为-方向，而此时螺线管的状态和螺线管未绕zz轴转动前的状态完全相同，即和-应重合。而前面所得结果与此矛盾，故P点的只能取与轴线平行的方向。而P点是管内任取的点，类此可知，螺线管内各点的方向均平行于轴线。（2）求管内任一点的大小将安培环路定理用于图中的矩形闭合曲线abcda，其bc段在轴线上，且长度为。由得而 ab、cd段上由于螺线管无限长，bc段上各点大小相同，为Bbc同理认为da段上各点的大小相等为Bda，故有=又 轴线上=因为矩形曲线是任取的，因此无限长螺线管内任一点的均有相同的数值，方向平行于轴线，即=（3）无限长螺线管外的的方向仍平行于轴线（仍用反证法）（4）无限长螺线管外的大小：将安培环路定理用于矩形回路bcfeb，环路包围的电流为（nI），则而 而 3、螺绕环的磁场密绕在圆环上的螺线形线圈叫做螺绕环。设螺绕环的平均半径为R，而环上每个载流线圈的半径远小于R，螺绕环的剖面图如上。由于对称性，环内外磁场的磁感应线是与环共轴的一些同心圆，且同一条磁感应线上各点的量值相等，方向沿圆周的切线方向。（1）环内的大小：在环内取某点P，过P点作与环同轴的圆形环路L，由于L上任一点的量值相等，方向与相同，故得矢量的环流： （r为L的半径）设环上线圈的总匝数为N，电流I，由安培环路定律有： B与r成反比，所以环内磁场不均匀。对螺绕环的轴线上：即在螺绕环的平均半径R远大于环上线圈的半径时，可以认为环内各点值均匀。此结果与无限长螺线管的结果相同，实际上，当螺绕环的R无限增大时，则螺绕环就过渡为一无限长螺线管。（2）环外的大小将安培环路定理用于环外与环同心的闭合路径L上，有（进入的电流等于流出的电流） B外=04、均匀载流无限大平面的磁场在无限大平面上取宽为的一部分讨论！矩形回路ABCDA：AB段与同向，BC段CD段与同向，DA段 方向与I方向垂直沿轴5.5 带电粒子在电磁场中的运动（略） P193-2025.6 磁场对载流导体的作用一、安培力公式由前知，磁场给运动电荷以作用力，即洛仑兹力，而电流是由电荷的定向运动产生的，因此磁场中的载流导体内的每一定向运动的电荷，都要受到洛仑兹力。由于这些电荷（例如金属导体中的自由电子）受到导体的约束，而将这个力传递给导体，表现为载流导体受到一个磁场力，通常称为安培力。下面从运动电荷所受的洛仑兹力导出安培力公式。任取一电流元I（如图）并认为在电流元范围内有相同的。设导体单位体积内有n个载流子，则在电流元I中运动的载流子为个，ds为电流元的横截面积。每个载流子带电量q，每个载流子受洛仑兹力，则电流元受到的磁力等于电流元I内所有定向运动的载流子所受到的合磁场力，即：又正电荷运动的方向为电流元I的方向，则有 （）因此，电流元在磁场中所受的力，即安培力为：上式就是安培力公式，也称为安培定律。此式是一小段电流元所受的磁力，一载流导体所受的磁力等于作用在它各段电流元上的安培力的矢量和：二、均匀磁场中的一段长直载流导线所受的安培力如图：直导线长，通电流I，放在均匀磁场中，导线与夹角。此时，作用在各电流元上的安培力的方向均为垂直图面向里，作用在长直导线上的合力等于各电流元上的各个分力的代数和，即：此合力作用在长直导线中点，方向垂直图面向里。三、非均匀磁场中的载流导线载流导线处在非均匀磁场中，则每一小段上受安培力的大小和方向均不同。求它们的合力比较复杂。但可视情况把进行分解，先求出各分量，再求合力。的分量为：可参考力学中合力分力的求法。四、均匀磁场中的载流矩形线圈如图，均匀磁场中有一刚性的矩形平面载流线圈abcd，边长和，通电流I，线圈平面的法线方向（电流方向与线圈平面法线方向之间满足右手关系）与磁场成任意角，对边ab、cd与垂直。根据安培定律，ad边和bc边所受的磁场力分别为：这两个力作用在同一直线上，大小相等而指向相反，互相抵消，合力为零，对刚性线圈不产生影响。ab边和cd边与垂直，它们受力和的方向如图（指向读者，背离读者），大小为：这一对力等大反向合力为零，但不在同一直线上，对线圈产生一力偶矩，由图可知的大小为：而为矩形线圈的面积，所以若线圈有N匝，则在此引入一矢量：称为载流线圈的磁矩（前面已立义过） 大小：方向：线圈平面的法线方向则可把载流线圈所受的力偶矩写成矢量积：此式类似于电偶极子（电矩）在均匀电场中所受的力偶矩公式，所以磁矩（载流线圈的）与电偶极子的电矩处于等价的位置上，在前面已经提到过这一点。说明：（1）办偶矩公式从矩形线圈导出，但对均匀磁场中的任意形状的平面线圈均成立，即使是带电粒子沿闭合回路的运动以及带电粒子的自旋运动所具有的磁矩，在磁场中所受的磁力矩作用，也可用上述公式描述。（2）由知：A、时，线圈平面与方向相互平衡，此时取最大值，这一力偶矩有使减小的趋势；B、时，线圈平面与方向垂直，方向相同，这时=0，这是线圈的稳定平衡位置； C、时，反向，仍有=0，但这一平衡位置不稳定。因此：线圈在磁场中的转动促使线圈磁矩的方向与外磁场方向相同，此时线圈达到稳定平衡。（3）平面载流线圈在均匀磁场中任意位置上所受的合力均为零，仅受力偶矩的作用。故在均匀磁场中的平面截流线圈只发生转动，不发生整个线圈的平动。（4）平面载流线圈处在非均匀磁场中时，一般说来受合力和合力矩均不为零，即线圈除了转动外还有平动，这种情形在此不作要求。五、磁电式电流计原理P205-206 如图5-38，5-39在永久磁铁的两极之间，有圆柱形的软铁芯，用来增强磁极和铁芯间空气隙内的磁场，并使磁场均匀地沿着径向分布。在空气隙内放一可绕固定轴转动的线圈，轴的两端各有一个游丝且在一端上固定一指针，指针上方有一刻度盘，指针随线圈转动也沿刻度盘转动。在没有电流时，线圈处在平衡位置，指针指在零点。当电流通过线圈时，线圈在磁场中受到力偶矩的作用而转动。由于磁场是轻向均匀的，所以无论线圈转到什么位置，线圈平面的法线方向总是和线圈所在处的磁场方向垂直=90。因此，线圈所受的力偶矩的大小是不变的，即T=nBIS（S为线圈平面的面积）当线圈转动时，游丝就要被卷紧，卷紧的游丝给线圈一个反方向的扭转力矩。根据实验测定，游丝给线圈的扭转力矩与线圈相对于平衡位置转过的角度成正比，即=式中k称为游丝的扭转常数，对于一定的游丝来说，k是恒量。当线圈受到的磁力矩和游丝给线圈的扭转力矩相互平衡时，线圈停止转动并稳定在给定位置，这时有：此式说明：（1）I与成正比，只要测得指针所指的位置便可测得电流强度I，这就是磁电式电流计的工作原理。（2）是恒量，通常称为电流计常数，它表示电流计偏转单位角度时所需通过的电流。k值越小，电流计越灵敏。偏转单位角度所需要的电流越小。前面讲了载流直导线在磁场中受的力以及载流线圈在磁场中受到的力偶矩，下面举几个例题。六、任意形状的平面载流线圈所受力矩证明：任意平面载流线圈在匀强磁场中所受的力偶矩仍由公式给出。如图：任意形状的平面载流线圈，其电流强度为I，面积S，法向与成角。将闭合线圈的平面无限分小为许多细长载流矩形线圈之和。且每个矩形线圈边缘均流有电流强度为I的电流（图中为逆时针）。由于每个矩形的长边上流有大小相等方向相反的两个电流，因而总的电流分布与原来的电流分布相同。又每一矩形载流的法向与相同，故所有矩形载流线圈所受力偶矩的矢量和变为代数和，它也就是原有载流线圈在磁场中的力偶矩。在图中取任意小矩形线圈，其面积dS，则力偶矩为：总力隅矩为：这就是我们要证明的结果。说明：（1）上式说明，只要载流线圈的磁矩 相同，则所受力偶矩相等，而不论载流线圈的形状如何；（2）任意形状的载流线圈作为整体，在均匀外磁场中所受合力为零，但受一力偶矩的作用，这个力偶矩力图使这个线圈的磁矩转到矢量的方向上去。例题1（补充）：习题5.6.1两根无限长平行直导线，相距a=15cm，电流方向，大小I1=I2=I=200（安）。求=？解：由无限长导线的磁场公式得：，方向垂直底面向里。由安培公式：方向向左（如图）。例题2（补充）：习题5.6.5 解：（1）由安培力公式知，a、b、c、d各点力的方向沿圆周径向向外。大小为：=0.1（牛）(2)建立坐标系oxy，在abc半圈上任取一小元段，其上受力，如图所示。将分解在坐标轴xy上得： 而在abc半圈上由对称性可知其对应元段上的互相抵消，在y方向合力=0，故合力只有x方向分量。 （牛）合力的方向与x轴方向相同。（3）同理可得半圆cda所受合力=4（牛），方向指向x轴负方向。所以整个线圈受合力为零，合力矩也为零，线圈静止不动。例题3（补充）：习题5.6.6解：建立坐标系oxy，首先求半圆柱面导体在O点产生的磁感应强度。如截面图所示，半圆柱面横截面上单位长度的电流为：。取对称的元段，则和x轴夹角相等（如图所示）。由对称性分析，即只有x方向的分量：由安培力公式得安培力，（），轴线上导线单位长度所受的安培力写成矢量形式 （此力为斥力）（2）用另一无限长直导线代替圆柱面电流，则只有将直导线放在坐标原点的左侧才能使位于原点的载流导线受到方向指向y轴的作用力。二直导线相互之间的距离d可通过以下计算得到： 即另一导线应放在处。5.7 用磁矩表示载流线圈的磁场，磁偶极子（自学）附：用磁矩表示平面载流体圈的磁场1、半径为R，电流强度为I的圆形线圈在轴线上一点的磁感应强度B为：若aR，则而2、边长为的正方形线圈，载有电流I，轴线上一点P的：由直导线的求磁感应强度的公式得：载流线圈一个边在P点产生的场强：由对称性分析可知，四个边在P点产生的磁感应强度的垂直分量相互抵消，结果为零，只有x方向的分量。 而 若xl，则由例题可得如下结论：总之：无论在产生磁场方面，还是在磁场中所受力偶矩方面，只要载流线圈的磁矩相同，它们的效果就相同。磁矩是反映载流线圈自身属性的一个物理量。 33