资源描述
高考大题专项练一高考中的函数与导数高考大题专项练第2页1.(2016湖北武汉调研)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a0,bR).(1)设a=1,b=-1,求f(x)的单调区间;(2)若对任意的x0,f(x)f(1),试比较ln a与-2b的大小.解(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x(0,+),得f(x)=2ax2+bx-1x.a=1,b=-1,f(x)=2x2-x-1x=(2x+1)(x-1)x(x0).令f(x)=0,得x=1.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)的单调递减区间是(0,1),f(x)的单调递增区间是(1,+).(2)由题意可知,f(x)在x=1处取得最小值,即x=1是f(x)的极值点,故f(1)=0,可得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x(x0),则g(x)=1-4xx.令g(x)=0,得x=14.当0x0,g(x)单调递增;当x14时,g(x)0,g(x)单调递减,因此g(x)g14=1+ln 14=1-ln 40,即g(a)0,即2-4a+ln a=2b+ln a0,故ln a-2b.导学号749205552.(2016贵州贵阳监测改编)已知函数f(x)=ax-aex(a0).(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围.解(1)当a=-1时,f(x)=-x+1ex,f(x)=x-2ex.由f(x)=0,得x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,2)2(2,+)f(x)-0+f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(2)=-1e2,函数f(x)无极大值.(2)F(x)=f(x)=aex-(ax-a)exe2x=-a(x-2)ex.因为a0,解得a-e2,所以此时-e2a0,由f(x)0,得0x2;由f(x)0,得1x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+),单调递减区间是(1,2).(2)由(1)可知极小值f(2)=2ln 2-4,极大值为f(1)=-52.因为方程f(x)=m有三个实根,所以2ln 2-4m0)有唯一零点,求的值.解(1)依题意,得f(x)=1x+a,f12=2+a=0.所以a=-2.经检验,a=-2满足题意.(2)由(1)知f(x)=ln x-2x+2,则F(x)=x2-ln x-x.所以F(x)=2x-1x-1=2x2-x-1x.令t(x)=2x2-x-1.因为0,所以=1+80.方程2x2-x-1=0有两个异号的实根,设两实根为x1,x2,且x10,因为x0,所以x1应舍去.所以F(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增,且当x0时,F(x)+,当x+时,F(x)+.所以当x=x2时,F(x2)=0,F(x)取得最小值F(x2).因为F(x)有唯一零点,所以F(x2)=0.所以F(x2)=0,F(x2)=0,即x22-ln x2-x2=0,2x22-x2-1=0.所以F(x2)=x22-ln x2-x2=x22+12-ln x2-x2=12-ln x2-x22=0.令p(x)=12-ln x-x2,则p(x)=-1x-120).所以p(x)在(0,+)上单调递减.注意到p(1)=0,所以x2=1.所以=1.导学号749205585.(2016河北张家口考前模拟)设函数f(x)=ax+ln x,g(x)=a2x2.(1)当a=-1时,在函数y=f(x)的图象上求一点P,使得点P到直线x-y+3=0的距离最小,求出距离的最小值;(2)是否存在正实数a,使f(x)g(x)对一切正实数x都成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.解(1)当a=-1时,f(x)=-x+ln x,定义域为(0,+),f(x)=-1+1x=1-xx,显然x(0,1),f(x)0;x(1,+),f(x)0),即F(x)=ax+ln x-a2x2,则F(x)=a+1x-2a2x=ax-2a2x2+1x=-2a2x+12ax-1ax(x0),令F(x)=0,得x=1a.于是x0,1a时,F(x)0;x1a,+时,F(x)0.故F(x)在0,1a内是增函数,在1a,+内是减函数.故F(x)max=F1a=a1a+ln 1a-a21a2=1-ln a-1=-ln a.要使f(x)g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max0,即-ln a0,即a1.故存在正实数a1,+),使f(x)g(x)恒成立.导学号749205596.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若f(x)g(x)对任意的x-4,4恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=x2+x,当x=1时,f(1)=2,f(x)=2x+1,f(1)=3,所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=13x3-x2-3x+m,则h(x)=(x-3)(x+1).当-4x0;当-1x3时,h(x)0;当3x0.要使f(x)g(x)恒成立,即h(x)max0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+53,h(4)=m-203,故m+530,即m-53,故实数m的取值范围为-,-53.导学号749205607.已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)0).(1)f(x)=(ax-1)(x-2)x(x0).当a0时,x0,ax-10,在区间(2,+)上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+).当0a2,在区间(0,2)和1a,+上,f(x)0,在区间2,1a上,f(x)12时,01a0,在区间1a,2上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是0,1a和(2,+),单调递减区间是1a,2.(2)对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2)在(0,2上有f(x)maxg(x)max.由题意可知g(x)max=0,由(1)可知,当a12时,f(x)在(0,2上单调递增.故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2ln 2-1.故ln 2-112时,f(x)在0,1a上单调递增,在1a,2上单调递减,故f(x)max=f1a=12a-(2a+1)1a+2ln 1a=-12a-2-2ln a12时,12a+2lna12a+2ln e-1=12a-2-2.故a12时满足题意.综上,a的取值范围为(ln 2-1,+).导学号749205618.(2016江苏,19)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b=12.求方程f(x)=2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0,所以m(f(x)2+4f(x)对于xR恒成立.而(f(x)2+4f(x)=f(x)+4f(x)2f(x)4f(x)=4,且(f(0)2+4f(0)=4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g(x)=axln a+bxln b,又由0a1知ln a0,所以g(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的增函数.于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0.因而函数g(x)在(-,x0)上是减函数,在(x0,+)上是增函数.下证x0=0.若x00,则x0x020,于是gx02aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0a1,所以loga20.又x020,所以x10,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.导学号74920562
展开阅读全文