2011年重庆高考理科C

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分150分.考试时间120分钟注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B.C. D.2“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，则 A. B. 2 C.3 D.64.的展开式中与的系数相等，则A.6 B.7 C.8 D.95.下列区间中，函数在其上为增函数的是A.（- B. C. D.6.若的内角所对的边、满足，且，则的值为A. B. C. 1 D.7.已知，则的最小值是A. B.4 C. D.58在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为A.B. C. D.9.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为A. B. C.1 D.10.设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则的最小值为A.-8 B.8 C.12 D.13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上11.在等差数列中，则_12.已知单位向量，的夹角为60，则_13.将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率_14.已知，且，则的值为_15.设圆C位于抛物线与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分13分）设，满足，求函数在上的最大值和最小值.17.（本小题满分13分）（）小问5分，（）小问8分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（）恰有2人申请A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望18（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分）设的导数满足，其中常数（）求曲线在点处的切线方程；（） 设，求函数的极值 19（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）如题（19）图，在四面体中，（）若，求四面体的体积；（）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值20（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为（）求该椭圆的标准方程；（）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由21.（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）设实数数列的前项和，满足（1）若成等比数列，求和；（2）求证：对参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.15 CADBD 610 ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.1174 12 13 14 15三、解答题：满分75分.16（本题13分）解： 由因此当为增函数，当为减函数，所以又因为故上的最小值为17（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题. （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 （II）的所有可能值为1，2，3.又综上知，有分布列 1 2 3P 从而有18（本题13分）解：（I）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为 （II）由（I）知，从而有令当上为减函数；当在（0，3）上为增函数；当时，上为减函数；从而函数处取得极小值处取得极大值19（本题12分） （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30=1，AF=ADcos30=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面体ABCD的体积 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG/AD，GH/BC，从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设E为边AB的中点，则EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂线定理知DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角，由题设知DEF=60设在从而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，从而，在RtBDF中，又从而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：如答（19）图2，过F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.不妨设AD=2，由CD=AD，CAD=30，易知点A，C，D的坐标分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD为60，故可取平面ABD的单位法向量，使得设点B的坐标为，有易知与坐标系的建立方式不合，舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为20（本题12分）解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为 （II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为21（本题12分） （I）解：由题意，由S2是等比中项知由解得 （II）证法一：由题设条件有故从而对有 因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程（可能相同）.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此