导数各种题型及解法总结教师

导数各种题型及解法总结基础知识梳理1. 常见题型一、 小题：1. 函数的图象2. 函数的性质 (单调性、奇偶性、周期 性、对称性 );3. 分段函数求函数值；4. 函数的定义域、值域(最值) ；5. 函数的零点；6. 抽象函数；二、大题：1. 求曲线 y= f (x)在某点处的切线的方程；2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间；4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域；6. 求参数的取值范围7. 证明不等式；8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论(需要熟记)(1)曲线 y f(x)在x x0处的切线的斜率等于 f (x0) ，且切线方程为 y f (x0)(x x0) f(x0)。 (2)若可导函数 y f (x)在 x x0 处取得极值，则 f (x0) 0 。反之，不成立。(3)对于可导函数 f(x)，不等式 f (x) 0( 0)的解集决定函数 f(x) 的递增(减)区间。(4)函数 f(x)在区间 I上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0 ( 0)恒成立( f (x) 不恒为 0).(5)函数 f (x) (非常量函数)在区间I 上不单调等价于 f (x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程f (x) 0在区间 I 上有实根且为非二重根。 (若 f (x)为二次函数且 I=R，则有0)。(6) f(x)在区间 I上无极值等价于 f(x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) 0或 f (x) 0在 I上恒成立(7)若 x? I ， f(x) 0恒成立，则 f(x)min 0; 若 x I ， f(x) 0恒成立，则 f ( x) max 0(8)若 x0 I ，使得 f (x0) 0，则 f(x)max 0；若 x0 I ，使得 f(x0) 0，则 f(x)min 0.(9)设 f (x) 与g(x) 的定义域的交集为 D，若 x D f (x) g(x) 恒成立，则有 f(x) g(x) min 0.(10)若对x1I1 、 x2 I2， f (x1)g(x2)恒成立，则 f ( x) ming(x)max .若对x1I1，x2I2 ，使得f (x1)g(x2),则 f (x)ming(x)min .若对x1I1，x2I2 ，使得f (x1)g(x2)，则 f (x)maxg(x)max11)已知 f(x)在区间 I1上的值域为 A,， g(x)在区间 I 2上值域为 B，若对 x1 I1, x2 I2，使得 f(x1) =g(x2)成立，则 A B。(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 f(x) 0有两个不等实根 x1 、x2 ，且极大值大于 0，极小值小于 0.x(13)证题中常用的不等式 : lnx x 1 (x 0) ln(x+1) x (x1) e 1 xx e1 x ln xx 1 (x 1) ln 2x1 12 (x 0)x 12 x 22 2x23. 解题方法规律总结1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函 数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。 要结合函数图象，考 虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2. 已知函数(含参数)在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法： 子区间法；分离参数法；构造函数法。3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解， 含参数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有 关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。 对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明， 先观察通项，联想基本不定式 (上述结论 中的 13)，确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关) ， 再对自变量 x赋值，令 x分别等于 1、2、.、n,把这些不定式累加， 可得要证的不定式。)5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是 参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区 间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 f (x) 0 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0, 3调区间；(2)令 g(x) 1x44解：(1) f (x) ax 2当 a 0 时，令 f (x)所以 f(x) 的递增区间为 (当a0时，同理可得2) g(x)g (x) 方程 x214x43xax例 9、已知函数 f (x)a3x31 x2 ， (a R,a20)(1)求 f (x)的单f(x)(xR)有且仅有 3 个极值点，求a的取值范围x(ax0解得1)(0,1或x 0 ，令 f (x) 0 解得 a) ，递减区间为 ( 1,0) . a1f (x) 的递增区间为 (0， 1) ，递减区间为a,0)0，).12x2 有且仅有 3 个极值点222 x(x2 ax 1)=0有 3个根，则 x 0或x2 a2 4 0,a3x32 ax x0 有两个非零实根，所以ax0，a 2或 a 2而当 a2或a 2时可证函数 y g( x)有且仅有 3 个极值点其它例题 1、(最值问题与主元变更法的例子) .已知定义在 R上的函数 f (x) ax3 2ax2 b(a 0)在区 间 2,1 上的最大值是 5，最小值是 11.()求函数 f(x) 的解析式；()若 t 1,1 时， f (x)tx 0 恒成立，求实数x 的取值范围解：() Q f(x) ax3 2ax2 b,2f (x) 3ax 4axax(3x 4)4 令 f ( x) =0,得 x1 0,x232,1因为 a 0 ，所以可得下表：x2,000,1f (x)+0-f (x)极大因此 f (0)必为最大值 , f(0) 5因此 b 5， Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2)， 即 f ( 2)()令 g(t)为此只需16a 5 11， a 1 ，2f (x) 3x2 4x ， f (x) tx2xt 3x2 4x ，则问题就是 g(t)g( 1) 03x2 5x 0，即 2 ， g(1) 0x2 x 01，所以所求实数 x 的取值范围是f (x) x 0 等价于 0在 t 2x2 5.2 3x 4x tx 0 ， 1,1上恒成立时，求实数 x 的取值范围，解得 0 x2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数 f (x)0，1.( ) 若函数 f(x) 在 x f (x) 的解析式；() 当 f(x) 在 x (0, 区域为 S, 经过原点的直线 解： (). 由 f (x) f (0)2x21 f (0)2 3 2x ax bx c31时有极值且在函数图象上的点(0, 1) 处的切线与直线3xy 0 平行 , 求1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时 , 设点 M (b L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 .函数 f(x)在 x 1时有极值 , 2a b 212axb, c2,a 1) 所在平面( ) 解法一 : 由 f f (0) f (1) f (2)(x)02x22ax又 f(x) 在(0, 1)处的切线与直线12 3 1 2 f(x) x x 3x23 2f (x) 在 x (0, 1) 取得极大值且在2a4a令 M (x, y) ,y1x2易得A( 2,0),03x0 平行 ,. 7分(1, 2) 取得极小值 ,2y4y故点M 所在平面区域 S 为如图ABC,B( 2,1),C(2,2), D(0,1), E(0,S ABCDEC 3S四边形 ABED 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S分为面积比为 则 k 0, S四边形 DEGF 1同时DE为 ABC的中位线 , S所求一条直线 L 的方程为 :x0y kx, 它与AC,BC分别交于由 2yyF、G, kx x20 得点 F 的横坐标为 : xF22k 11:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx由得点G 的横坐标为4yx60 S四边形DEGFS OGE S OFD12解得 : k1或k5(舍去 )28综上 ,所求直线方程为 :x 0 或 y1x2( ) 解法二 :由f (x)2x22axb 及 ff (0)0b0 f (1)0即2ab20f (2)04ab80x20ay12yx20bx24yx60易得 A(2,0), B(2,1),C(2,S DECxG4k 16114k 1 2故这时直线方程为同时 DE为 ABC 的中位线 ,另一种情况由于直线 BO 方程为 :由y2y1x2x20得直线 S ABC2, S DEC3、 所求直线方程为 : x根的个数问题)2k21即11x2(x) 在 x (0, 1) 取得极大值且在令 M (x, y) ,故点 M2),所在平面区域D(0, 1),216k2 2k 5 0.12 分x (1, 2) 取得极小值 ,S 为如图 ABC,E(0, 32S ABC 23S四边形 ABED1y x, 设直线 BO 与 AC 交于2所求一条直线 L 的方程为 : x 0L 与 AC交点为 :H( 1, 2, S ABHS ABO S AOHH ,21x2 已知函数 f(x)()求 c、 d 的值；或yax3 bx 2(c 3a 2b)x(a0) 的图象如图所示。12a4b 3a8a)依题意()若函数 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 函数 f ( x )的解析式；()若 x0 5,方程 f(x) 8a 有三个不同的根，求实数 a的取值范围。 解：由题知：处的切线方程为 3x y 11 0 ，求2b4b 3由图可知f (x) 3ax 2 2bx+c-3a-2b 函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )， 3dd得3a依题意3解得 a = 1 , b = 652b c 3a 2b 0 cf 2 = 3 且 f ( 2 ) = 54b 6af ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b由 f 5 = 0若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 1所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3b = 9a满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a311所以 当 a3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。1112 分14、(根的个数问题) 已知函数 f(x)x3 ax23x 1(a R)x2 处取得极值，且 x1解：(1)1)若函数 f (x) 在 x x1,x1 1 22)若 a，讨论曲线 f(x) 与g(x)x22f(x) x2 2ax 1(2ax1 x22a,x1x22，51)x 56(1x2求 a 的值及 f (x) 的单调区间；2 x 1) 的交点个数(x1 x2 )2 4x1x2 0 得 x 1,或x 1 f(x) 的单调递增区间为 ( ,x1 x2令 f (x)1)，4a2令f(1,2)由题 f (x) g(x) 得令 (x)(x)Q a 1213x32x(a(2a得1x3122)x21)x2ax当 2a9此时， 8a 920，当 2a 2 即x2 1x2 2ax 1f (x)10得) ，单调递减区间为 (121x2 (2a 1)x2(x)5分1,1)65 即 13x3 (a122)x22ax6( 22a (x 2a)(x2axx 1)6分2即 a1时a 0 ，有一个交点；x2( 2,1)1(x)(x)8a 92a7分1) 令 (x) 0得 x 2a或 x 1x2( 2,2a)2a(2a,1)1(x)0(x)8a 922a2 (3 2a) 136a1a 12 时，9 0 即 1 a 9 时,有一个交点；2 162 2 1Q a2(3 2a)0, 当 8a3690，且 a 0 即21 时，2 时，9 或 016当 8a当08a 9综上可知，当 a9160，0 时，有两个交点；有一个交点21时，有一个交点；9 a 0 时，有两个交点16