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第10课 不等式(组)的应用 1. 列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1) ； (2) ； (3)找出能够包含未知数的 ； (4) ； (5) ； (6)在不等式(组)的解中找出符合题意的未知数的值； (7)写出答案要点梳理要点梳理审题审题设元设元不等量关系不等量关系列出不等式列出不等式(组组)求出不等式求出不等式(组组)2列不等式组解应用题应注意的问题： (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件； (2)正确理解题目中的关键词语：如不足、不到、不大于、不小于、不超过、至少等确切的含义； (3)在列不等式(组)解应用题中，有时会出现多个未知数，除有不等量关系外，还有一些等量关系也要用到，这样的题目有不等式、也有等式，就需要列混合式组来解答在求混合式组的解时，不需要求出混合式组中所有未知数的解，只需要求出题目所需且符合题意的解，常用的方法是“代入消元法”，转化为一元一次不等式(组)1. 正确掌握列不等式(组)解应用题的基本思想 列不等式(组)解决实际问题，就是根据问题中的不等关系列出不等式(组)，把实际问题转化成数学问题，再通过解不等式(组)得到实际问题的答案列一元一次不等式解应用题与列方程解应用题的基本思路是一致的，一般可根据所求解的问题设未知数，关键是分析题中各种数量的实际意义，列出正确的不等式在解题的时候，要注意不等号方向是否需要改变，所得的解是否符合实际意义，把不合题意的解舍去对于含有多种不等式的问题，可通过列不等式组来解决值得注意的是：解实际问题时，应根据实际意义，检验结果的合理性，必要时，应在解集范围内取正整数 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2. 利用不等式(组)解决方案设计型问题 设计方案型应用题是考查学生的创新意识和创造性思维能力的一种题型这类问题常利用下列知识加以解决： (1)求不等式的正整数解； (2)求不等式组的正整数解，注意在分情况讨论过程中不要丢解1(2011滨州)若二次根式 有意义，则x的取值范围为() Ax B. x Cx Dx 解析：二次根式有意义，12x0, 2x1，x .基础自测基础自测C12 12 12 12 12 2(2011黄石)双曲线y 的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是() Ak B. k Ck D不存在 解析：双曲线的图象经过第二、四象限，可知2k10，k .12 B12 12 12 3(2011永州)某市打市话的收费标准是：每次3分钟以内(含3分钟)收费0.2元，以后每分钟收费0.1元(不足1分钟按1分钟计) 某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元 小刚现准备给同学打市话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为() A0.6元 B0.7元 C0.8元 D0.9元 解析：10331，可以先打3分钟、挂断后打3分钟，挂断后再打4分钟，所需电话费为30.20.10.7(元)B4(2011杭州)若ab2，且a2b，则() A. 有最小值 B. 有最大值1 C. 有最大值2 D. 有最小值 解析：ab2，a2b， b0的解集为() A. x1 Cx 1 Dx1 解析：把x2，y0代入yaxb，得2ab0，b2a. 又直线经过第一、二、四象限，可知ab，得a(x1)2a，x12，x1. A题型一一元一次不等式的应用【例 1】 某次知识竞赛共有20道选择题对于每一道题，若答对了，则得10分；若答错了或不答，则扣3分请问至少要答对几道题，总得分才不少于70分？ 解：设答对x道题. 10 x(20 x)(3)70, 10 x603x70, 13x130，x10. 答：至少要答对10道题题型分类题型分类 深度剖析深度剖析探究提高 利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”、“不足”、“大于”、“小于”、“不低于”、“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式或不等式组，问题便迎刃而解知能迁移1(1)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是() A30 x45300 B30 x45300 C30 x45300 D30 x45300B(2)一本科普读物共98页，王力读了一周(7天)还没有读完，而张勇不到一周就读完了张勇平均每天比王力多读3页，王力平均每天读多少页(答案取整数)? 解：设王力平均每天读x页，则张勇平均每天读(x3)页 11x14，整数x12或x13. 答：王力平均每天读12页或13页 7x98， x11， 题型二一元一次不等式组的应用【例 2】 学校将若干间宿舍分配给八年级(1)班的女生住，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满有多少间宿舍？多少名女生？ 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：设有x间宿舍，女生有(5x5)人， 1分 4分 由得x6， 5分 由得4 x7， 6分 4 x6. 整数x5, 5x530. 7分 答：有5间宿舍，女生有30人 8分 5x535，0 5x5 8 x2 8， 探究提高 抓住表示不等关系的语句，列出不等式组，问题的答案要根据解集和题意两方面来确定(隐含条件，实际问题取整数)，要使实际问题有意义知能迁移2乘坐某市出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元 (1)请你求出x2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式； (2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围 解：(1)y4(x2)1.51.5x1. (2) 解之，得4 x5. 答：小红这次乘车路程x的范围是4 x5. 1.5x17.5，1.5x18.5， 【例 3】 (2011茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元 (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？ (3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%， 若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？解：设购买甲种小鸡苗x只，那么购买乙种小鸡苗为(2000 x)只 (1)根据题意列方程，得2x3(2000 x)4500， 解这个方程得：x1500(只)， 2000 x20001500500(只)， 即：购买甲种小鸡苗1500只，乙种小鸡苗500只 (2)根据题意得：2x3(2000 x)4700， 解得：x1300， 即：选购甲种小鸡苗至少为1300只(3)由题意得：94%x99%(2000 x)200096%， 解得：x1200， 设购买这批小鸡苗总费用为y元， 根据题意得：y2x3(2000 x)x6000， 因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小， 所以当x1200时，总费用y最小，y120060004800(元)， 乙种小鸡苗为：20001200800(只)， 即：购买甲种小鸡苗为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用y最小，最小为4800元探究提高 设计方案型应用题是考查学生的创新意识和创造性思维能力的一种题型，这类问题常利用下列知识加以解决： (1)求不等式的正整数解； (2)求不等式组的正整数解 注意在分情况讨论的过程中不要丢解，弄清在什么情况下取得最值知能迁移知能迁移3(2011泉州泉州)某电器商城某电器商城“家电下乡家电下乡”指定型号冰箱、指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：彩电的进价和售价如下表所示： (1)按国家政策，农民购买按国家政策，农民购买“家电下乡家电下乡”产品享受售价产品享受售价13%的政的政府补贴农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以府补贴农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？享受多少元的补贴？ (2)为满足农民需求，商场决定用不超过为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电元采购冰箱、彩电共共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.若要使商场获利最大，若要使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？多少？ 类别类别冰箱冰箱彩电彩电进价进价(元元/台台)23201900售价售价(元元/台台)24201980解：(1)(24201980)13%572(元) (2)设冰箱采购x台，则彩电采购(40 x)台，根据题意得 解不等式组得18 x21 . 因为x为整数，所以x19、20、21， 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台； 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台； 方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台 设商场获得总利润为y元，则 y(24202320)x(19801900)(40 x)20 x3200. 200，y随x的增大而增大， 当x21时，y最大202132003620(元). 2320 x1900 40 x 85000，x56 40 x ， 211 37 【例 4】 (2011枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本 (1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设组建中型图书角x个，则组建小型图书角(30 x)个 由题意，得 解这个不等式组，得18x20. 由于x只能取整数，x的取值是18,19,20. 当x18时，30 x12； 当x19时，30 x11； 当x20时，30 x10. 故有三种组建方案： 方案一，中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二，中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三，中型图书角20个，小型图书角10个 80 x30 30 x 1900，50 x60 30 x 1620. (2)方案一的费用是：860185701222320(元)； 方案二的费用是：860195701122610(元)； 方案三的费用是：860205701022900(元) 故方案一费用最低，最低费用是22320元探究提高 本题运用一次不等式组求出解集，进而根据题意找出符合要求的解(正整数)，从而确定方案，并比较方案的优劣知能迁移4(2010福州)郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典 (1)每个书包和每本词典的价格各是多少元？ (2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有几种购买书包和词典的方案？解：(1)设每个书包的价格是x元，每本词典的价格是y元 解之得 答：每个书包28元，每本词典20元 (2)设郑老师购买a个书包，则购买(40a)本词典 得100100028a20(40a)120， 解之，得10a12.5，有整数解10,11,12. 有三种方案：购买10个书包，30本词典； 购买11个书包，29本词典； 购买12个书包，28本词典 xy8，3x2y124， x28，y20. 6不够全面分析问题中的等量、不等量关系试题某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按一不变的速度增加为了防洪，需调节泄洪速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位可降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位可降至安全线现在抗洪指挥部要求在3个小时内使水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？学生答案展示问题中水库原水量、上游河水的来水量，泄洪闸的泄水量均不知，感到无从下手，没有办法解答易错警示易错警示剖析若设水库已有超过安全线水位的水量x m3，上游河水以每小时y m3的水量注入水库，每个泄洪闸每小时泄洪z m3，按题意， 得 即 解得 假设打开n个闸门，可在3小时内使水位降至安全线以下， 则有x3y3zn. 将 代入上式，得n5.5. 因为n为自然数，所以n6，即最少要同时打开6个闸门 在这里，设每个泄洪闸每小时泄洪z m3，并用含z的代数式来表示水库已超过安全线水位的水量，上游河水每小时的来水量，多设一个量，可得到更多的等量、不等量关系“设而不求”，可使问题得以解决 x30y3z，x10y2 10z ， x30y30z，x10y20z， x15z，y0.5z. x15z，y0.5z. 批阅笔记 利用不等式、方程解决实际问题中，在解题过程中审题要细致，题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来，增设辅助未知数，给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利，能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用. 方法与技巧 1. 能根据实际问题列出不等式组，通过求解不等式组而解决实际问题；用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式组的知识解答应用题和方案设计型试题 2. 一方面注重对不等式组解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范 1利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过” “不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”“至少”的含义，这两者转化为相应的不等号应分别是“”和“”)，列出不等式(组)，迎刃而解 2根据文字叙述列一元一次不等式时，应认真读题，正确理解文字的顺序，才能正确列出不等式在利用不等式(组)解决实际问题时，解题的关键是根据题中的条件列出不等式，因此，解题第一步就是先找出题中不等式关系，然后解答，最后取值时应考虑到问题的实际意义完成考点跟踪训练 10
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