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2018届河南省南阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】或， ，故选A.2. 已知（为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选C.3. 已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为.故选D.4. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为， ，故选B.5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B考点：古典概型及其概率的计算视频6. 已知实数满足，则目标函数（ ）A. ， B. ，C. ，无最小值 D. ，无最小值【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域， 变形为 ，平移直线，由图知，到直线经过 时 ，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C. . . . . . . .7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为 ， 该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由 可得 ，故该多面体的外接球的表面积，故选C.8. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A. 2017 B. 2016 C. 1009 D. 1008【答案】D【解析】输出结果为 ，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 为得到的图象，只需要将的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换10. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，由，得，由，得，在上递增，在上递减，即时，只有选项C符合题意，故选C.11. 设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为 ，使成立的最小正整数为，故选C.12. 抛物线的焦点为，过且倾斜角为60的直线为，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】关于过倾斜角为的直线对称，由抛物线定义知， 等于点 到准线的距离，即，由于 ，代入抛物线方程可得，解得，故选A.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14. 已知点，若，则实数的值为_【答案】【解析】点，又，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.15. 已知得三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】【解析】设 的三边分别为，由余弦定理可得， 可得 ，可得该三角形的外接圆半径为 故答案为16. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_【答案】三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 等差数列中，已知，且，构成等比数列的前三项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，且，构成等比数列，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知又解得或（舍去），又，（2） 两式相减得 则.【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18. 某二手车交易市场对某型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（1）试求关于的回归直线方程；（参考公式：，.）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？【答案】(1) (2) 预测当时,销售利润取得最大值【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出时取得最大值.试题解析：（1）由已知：,，；所以回归直线的方程为（2），所以预测当时,销售利润取得最大值19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，是的中点，与交于点，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由 平面，可得平面平面，；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得 ,.试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知又 平面，平面平面平面，.（2）在矩形中，由平面几何知识可知，设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得 ,.20. 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合 的关系列出关于、 、的方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得， 令，可得，即有，又，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）设，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以 当且仅当，即（此时适合的条件）取得等号则面积的最大值是【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21. 已知函数（其中为常数且）在处取得极值.（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为1，求的值.【答案】(1) 的单调递增区间为和，单调递减区间为(2) 或.【解析】试题分析：（1）由函数的解析式,可求出函数导函数的解析式,进而根据是的一个极值点,可构造关于的方程,根据,求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于和小于时，的范围，可得函数的单调区间；（2）对函数求导，写出函数的导函数等于的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果.试题解析：(1)因为，所以.因为函数在处取得极值，所以.当时，随的变化情况如下表：所以的单调递增区间为和，单调递减区间为(2)，令，解得.因为在处取得极值，所.当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为令，解得.当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以最大值1在或处取得而，所以，解得.当时，在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以最大值1在或处取得而，所以，解得，与矛盾当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值1在处取得，而，矛盾综上所述，或.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由得，由，从而得解；（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，。由韦达定理代入求解即可.试题解析：（1）由得，化为直角坐标方程为（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 （*）由，故可设是方程（*）的两根，又直线过点，故结合的几何意义得：的最小值为23. 选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（）首先利用三角绝对值不等式的性质求得最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；（）首先由（1）及基本不等式，得，然后假设与同时成立，推出且，与相矛盾，即证得结论试题解析：（1），.（2）且，由基本不等式知道：，假设与同时成立，则由及，得同理，这与矛盾，故与不可能同时成立.考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法
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