自动控制原理第四章习题解答

胡右松fl动控制脈理习题解存第四贯4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) =JC_s+1#胡右松fl动控制脈理习题解存第四贯#胡右松fl动控制脈理习题解存第四贯试用解析法绘出K”从零变到无穷时的闭坏根轨迹图，并判断卜列点是否在根轨迹上:(-2 + jO), (O+jl),(-3 + j2)解：有一个极点:(-1+j 0 ),没有零点。根轨迹如图中红线所示。X(-2 + j 0 )点在根轨迹上，而(0+j 1 ),(-3 + j 2)点不在根轨迹上。4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数=51)5(25+1)试用解析法绘出开环増益K从冬増加到无穷时的闭环根轨迹图。 解：系统开环传递函数为G(恥譽晋(5+1/3)o5(5+172)有两个极点：(0+j 0 ), (-1/2+j 0),仃一个零点(-1/3, jO)o 根轨迹如图中红线所示。XO4-3 lL知开环零、极点分布如图428所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。图428 开环零.极点分布图沁* 0*4-4设单位反馈控制系统开环传递两数如卜，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（耍求确定分 离点坐标d）：G)= 5(0.25+1)(0.55+1)解:系统开环传递西数为G（5）=10K心5(5 + 5)(5 + 2) s(s + 5)($ + 2)有三个极点：（0+j 0 ）, （-2+j 0 ）, （-5+j 0）没有零点。分离点坐标计算如下：4+-= 032 + 14d+ 10 = 0解方程的尬=-3.7863 , d. = -0.88d d+2 d+5取分离点为d = 0.88根轨迹如图中红线所示。#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯(2)G($) =K(s+1)s(2s+ 1)解：K/2（s+ D K（$+ 1）系统开环传递隨数为G（5）= -=5（5+ 0.5）5（5+ 0.5）有两个极点：（0+j 0 ）, （-0.5+j 0）,有一个零点（一1+j 0 ） 分离点坐标计算如卜：丄 +=! J2 + 2J + 0.5 = 0解方程的 =-1.7,d d + 05d+1取分离点为=-1.7, d2 = -0.29-0.29(3)解：系统开坏传递函数为G（$）= 人（$ + 5）5（5 + 2）（5 + 3）有三个极点：（0+j 0 ）, （-2+j 0 ）, （-2+j 0 ）,有一个零点 分离点坐标计算如下：(-5+j 0 )of/, =-6.5171 ,4- + -r= -7 d + 10d2 + 25d + 15 = 0 解方程的 d d+2 d+3d+5(12 = -2.5964,心=-0.8865取分离点为d = -0.8865胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯4-5已知单位反馈控制系统开环传递函数如匚 试概略画出相应的闭环根轨迹图（耍求算出 起始角）:G(s) =K(+2)(s+l+J2)G+lj2)胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯解:系统开环传递函数为G（s） =K+2)心+2)($ +1 + )2)(5 + 1- J2)(5 4-1+ j2)(s + 1 - J2)有两个极点：p, =（-1+j 2）, p2 = （-1- j 2）,有一个零点（一2. j 0 ）o起始角：Pl = (2R + 1)力 + 工(p: Pi -工 0pp k = 0士 1,2,%验厂 就 + 45。- 90 口 135。PIPl= 180-45+ 90 = 225胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯根轨迹如图中红线所示。胡卷松n动控制脈理ai题斛存第四克#胡卷松n动控制脈理ai题斛存第四克g($)=/r($+2o)5(5+10+ 710)(5+10-ylO)解:系统开环传递函数为G(5)=K(+20)5(5+10+ jl0)(5+10-yl0)#胡卷松n动控制脈理ai题斛存第四克#胡卷松n动控制脈理ai题斛存第四克有三个极点：Pl = (0. j0), p2 = (-10+j 10), p3= (-10- j 10),有一个零点 =(-20, j 0 )起始角：nin&厂(2R+1W+工检-工0,l,2,J-I = 180 % = 180 +(p：iP2 - &叭 一 % = 180 + 45 -135- 90 = 00o = 180 + 0 “ - en -0nn = 180- 45 + 135O + 90 = 0 PyPP PiPy根轨迹如图中红线所示。Im4-6设单位反馈控制系统的开环传递函数如厂 耍求：K*(1) 确定G($) = 产生纯虎根的开环增益值。5(5 + 1)(5 + 10)解：系统特征方程为53 + 1152 + 105+/C* = 0 令$=丿&代入特征方程中得：实部方程为：/C* - 116?2 = 0虚部方程为：10血-血 =0解上述方程得：a）2 = 0 K = 110开环増益按一般定义：K = K/1O=11 （2） 确定G（s）= 产生纯虚根为土 j1的z值和K值。52（5+10）（5+20）解:系统特征方程为s4 + 302 + 200” + K，S +0 = 0令s= j代入特征方程屮得：实部方程为：K+1-200=0虚部方程为：K 30=0解上述方程得：K、30 z= 199/30概略细确定G（沪时而莎吋而市的闭环根轨迹图。（耍 求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点）。解：系统开环传递函数为孔）、e）（$ + 3.5）（w）（+72）右五个极点：P= (0, jO), p2 = (-1, j 0),儿=(一3.5, j 0), p4 = (一3, j 2), p5=（-3, - j2）,没有零点。分离点坐标计算如卜：1 1 1+d d + 1 d + 3.5=0 1J + 3.+ j2+ d + 3.-j2 4d4 + 35d3 +111.5J2 + 146J + 45.5 = 0 解方程的 dt = -3.5 , d2 = -0.44 ,d严 -2.4 + j .265 d4 = -2.4 - j .265取分离点为d =-0.44起始角:mnk = 0士 1.2,%诃+ -工沧7-1/-I(；*7胡好松n动控制脈理ai题斛答第四贯氐= 180- % 一 一 % 一 % = 180- 146 45 一 135 - 90- 75.7 = 93。很“紗-% % = 18。 +146.45。+ 135。+ 90。+ 75.793根轨迹如图所示。WPY AJeu&guJ-Root Locus-4-2Real Axis02462op 0.11086420-2.4.8.6与虚轴的交点：令5= JCO代入特征方程中55 + 10.5s4 + 43.5s3 + 79.5, + 45.5s +K* = 0 得到：实部方程为:10.5川-79.5/ +K*=0虚部方程为：血一 43.5ft/+ 45.5血=0解方程得到：=6.5136a)2 = 1.0356,将=6.5136代入实部方程得到Q 0不符合耍求，将=1.0356代入实部方程得到K = 73满足耍求。所以lX6y= 1.0356即根轨迹与虚轴的交点为= 1.03564-7设单位反馈系统的开环传递西数为G(s) =/T(s+2)5(5 + 1)9胡好松n动控制脈理ai题斛答第四贯其根轨迹图见图4-2。试从数学匕证明：复数根轨迹部分是以(2, j0)为闘心，以血为半 径的-个圆。图42系统根轨迹图解:证明如F：根据辐角条件可知,根轨迹各点应满足Z(5+2)-Z5-Z(5+l)=180(,在复平面上S=b+兀y, J：是得Z(a+ jco+ 2)-Z(cr+ j7y)-Z(cr+ jco+ 1) = 180亠“69(0 .cco亦即 arctanarctan = arctan+ 1802+ ag1 + a利用反正切公式X-Yarctan X 一 arctan Y = arctanl+XY可把上式改写为对上式的两边取止切，整理后即得恻方程式#胡右松fl动控制脈理Al题解存第四曲(7+ 2)： += 2它的圆心为(2, jO)半径等T近。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。 证毕。4-8已知开环传递换数为G(s)H(s) =5(5 + 4)(52 + 45+ 20)11胡右松fl动控制脈理Al题解存第四曲试概略画出闭环系统根轨迹图o 解：系统开环传递西数为G(s)H(s) =IC$($ + 4)(2 +4$+20)#胡右松fl动控制脈理Al题解存第四曲有四个极点：p. = 2.45 , J3 =-2-)2.45取分离点为 d严-2, d2=-2 + J2.45,=-2-J2.45起始角：ePi =(2Z:+I + 工-工孤 k = 0h2, k(网丿6P = 180pen = -90pi0 =+90pi&, =0Pi根轨迹如图所示。#胡M松f I动控制脈理Al题斛存第四Root Locus420246Real Axis8 6 42 0 2 spVsrQccnelu-84-9 C知开环传递函数为C（5）=Ks+2)(T + 4s+ 9)2#胡M松f I动控制脈理Al题斛存第四#胡M松f I动控制脈理Al题斛存第四试概略绘制其闭环系统根轨迹。解：系统有四个极点：P, = p2=（一2 j2.24）, p. = p4= （-2, - j 2.24）,有一个零点 Z| =(2, j 0).分离点坐标计算如下：2 2 _ 1 d + 2+ ;2.24+ J + 2-J2.24 d+ 2即 3十+ 12d + 7 = 0解方程的 = -3.29 , d? = -071,取分离点为=V(?*2% = (2k + 1)180 +(p：iPi - ePiPi k = 0,l,2,=(2k + 1)180 + 90 - 90 - 90 = (2k + 1)180 - 90所以：0 =45,225 同理久,=135-45 I厂/系统根轨迹如卜图：4-10设单位反馈控制系统的开环传递函数13胡M松f I动控制脈理Al题斛存第四#胡M松f I动控制脈理Al题斛存第四要求:(1)(2)(3)解：G(5)= 5(0.015+ 1)(0.025+ 1)画出准确根轨迹（至少校验三点）；5OOO/C确定系统的临界稳定开环增益Kc ； 确定与系统临界阻尼比相应的开环増益K 系统开环传递两数为G(5)= 5(0.015+1)(0.025+1)5(5+100)(5 + 50)5(5+100)(5+50)有三个极点：卩=(0, j0), p2 = (-50 j 0),角=(-100, j 0),没有零点。分离点坐标计算如下:I .11 C+ + = 0 d M + 50d+100即解方程3d2 + 3OOd + 5OOO =0得d = -78.9 , 取分离点为d = -21.1, 起始角：mnk = 0, l.2,% =（2R + 1）乃 +（pz p - eppy-i/-I0*0根轨迹如图所示。5OD6DB i!rv XJHcfRoot LotusReal#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯4-11 一单位反馈系统，其开环传递西数G(沪 6.9( + 6s+25)s(s + 85+ 25)试用根轨迹法计算闭环系统根的位置。解:系统特征方程为:s(s2 + 85 + 25) + 6.9(52 + 65 + 25) = 0即：$ +14.9 +66.4s+172.5 = 0-9. 9780 2. 4610 + 3. 3513i2 4610 3. 3513i解方程得:= -9.978 5, =-2.461+ J3.3513 53 =-2.461-3.3513所以：闭环系统根的位置为 52 =-2.461 + J3.3513 s3 =-2.461-J3.3513根轨迹如图所示：4-12设反馈控制系统中G(s) = , H(s) = 1s(s+ 2)(5 + 5)要求：(1) 槪略绘出系统根轨迹图，并判断闭坏系统的稳定性：(2) 如果改变反馈通路传递函数，使/($)= 1 + 2$,试判断H($)改变后的系统穏定性,研究山rH(s)改变所产生的效应。解:(1)系统有四个极点 P, = (0, JO), p2 = (0J0), p3 = (-2J0), p4 = (-5J0)；没有零点。系统根轨迹如卜图：s xvx(nu 6(nUJRoot Locus0246Real Axis817胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯所以闭坏系统不稳定。(2)如果/($) = 1 + 2几 这时系统的开环传递隨数为:G($)H(s) =K*(2s+1)s2(s+ 2)(5 + 5)A：(5 + 0.5)s2(s+ 2)(5 + 5)#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四贯系统根轨迹如卜图:#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四贯这时系统的特征方程为：s2(s+ 2)(5 + 5)+ Kr (s + 0.5) = b + 7s3 + IOj2 + K .s + 0.5K. = 05oo令$=丿&代入特征方程中，得到：实部方程为：4-102 + 0.5, =0虚部方程为：4-7=0A解上述方程得到：Kk = 45.5这是系统的临界稳定的放人倍数。即0 v/T 22.75闭环系 统稳定。4-13试绘出卜冽多项式方程的根轨迹(1) s + 2, + 3s + Ks + 2K = 0(2) $ + 3f2 + (K + 2)$+10K = 0解：役等效单位反馈传递函数为G($)=K(s：2)s3 + 2s3s则系统的特征方程为：，+ 2$2 + 3$+K$+2K = 0系统有三个极点：p. = (0, j0), p2 = (-1, jl.414), p3= (-1, - j 1.414),有一个零点 Z|= (2, j 0)o19胡寿松f I动控制厢理习题解答第四G系统根轨迹如卜图:Root Locus(2)解:盒62设等效卩位反馈传递函数为C(5)=K($+10)s3 +2 + 2s#胡寿松f I动控制厢理习题解答第四G则系统的特征方程为:53 + 3s2 + (K + 2)$ + 10K = 0系统有三个极点：p、= (0. jO), p2 = (-L j0), p3= (一2, j 0),有一个零点石二(-10, j 0)o分离点坐标计算如卜：_1_ _J_11d d+1 d + 2 d + 10即2d3 + 33d2 + 60d + 20 =0解方程的/ = -0.4344, d2 =-1.59,= -14.5取分离点为= -0.4344系统根轨迹如卜图:#胡右松fl动控制脈理习题斛存第四贯#胡右松fl动控制脈理习题斛存第四贯(1)(2)Root Locus4-14设系统开环传递函数如厂 试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。G(s) =G(s) =20(5+4)(5 + /?)30(5 + b)5(5+10)#胡右松fl动控制脈理习题斛存第四贯解：(1)系统的特征方程为：(5 + 4)(5 + /?) + 20 = 52 + 45 + 20 + /?(5 + 4) = 0 系统的等效单位反馈传递函数为：G“(s)= 恥+ 4) 十 + 4$+20系统有两个极点 p, = (-2, J4), p2 = (-2,-；4),有一个零点 z, = (-4, J0)系统根轨迹图如下Root Locus(2)系统的特征方程为:5(5 + 10) + 30(5 + b) = s2 + 405 + 30/7 = 0系统的等效单位反馈传递函数为：G(s) = = s2 + 40s52+ 405系统有两个极点卩= (0J0), p2 = (-40, JO),没有零点.系统根轨迹图如卜：#胡春松fl动控制脈理Al题解存第四底1510-15 L-40-35-30-25Root Locus-20-5Real Axis4-15设控制系统结构图如图429所示，试概略绘制其根轨迹图。/r(s+i)2(s+2)2R2 K*(s+1)2C(s)(8+2)2解：系统开坏传递两数为系统有两个极点.p、= p2 = (-2J0),有两个零点= 0 = (-1J0)系统根轨迹如卜图：23胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四帝oW565.2Root Locusd .5-1Real Axis-0.50.S.43.20 0 0 02 -O4 o.3 o.-24-16设单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) =Kl-s)$($+ 2)25胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四帝试绘制其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K*值。 解：系统开坏传递函数为G($) =-的系统有两个极点,p,=(0J0),p2 = (-2J0),有一个零点z, = (1JO)这是一个零度根轨迹。系统根轨迹如下图:#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四帝#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四帝#胡右松fl动控制脈理Al题解存第四喷即 d - 2d - 2 = 0 解方程的 d = -0.732 , d2 = 2.732取分离点为 dx = -0.732, d2 = 2.732系统的特征方程为：5(5+2)- /C*(5-l)= 52 + 25-/C*(5-l)=0将5 =-0.732代入特征方程中得到：K* = 0.5674将5= 2.732代入特征方程中得到：/ = 7.464以上两个值是产生旋实根的K值。令$=丿&代入特征方程中，得到：实部方程为：K-a)2 =0虚部方程为：2血-K血=0解上述方程得到：K* = 2, &)=42 所以产生虚根的K值为K* = 2 4-17设控制系统如图430所示，试概略绘出0vKvl, Kz1时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。廿収K=05,试求出K = 10时的闭环咨.极点，并佔算系统的动态解：(1)=0时系统的开环传递函数为G(5)=Ks(s+ 1)#胡右松fl动控制脈理Al题解存第四喷#胡右松fl动控制脈理Al题解存第四喷系统的根轨迹如卜图:#胡寿松自动控制脈理习题解答第四Gf1iriIlliIlliRoot Locus-0.9-0.8-07-0.6-0.6-0.403-0.2-0.10Real Axis8-6-4. OO.O2 0 2 o.O sfg2?&JmSE-4 oo. （2） 0Kt1时系统的开环传递怖数为G（s）H（s）= K（1+Kq） 此时 g（$）h（$）= K （$7） , zvi 设 K 2 则 z = 0.5 S（S+ 1）5（5 + 1）系统的根轨迹如卜图:27胡寿松门动控制脈理习题解答第卩uRoot Locus0.8u-0.60.8-1.5-0.SReal Axis0.6-0.4取Kt = 0.5 试求出K = 10时的闭坏零、极点，并估算系统的动态性能。系统的特征方程为：52 + 6s+I0= 0解方程的=-3+J, 52 =-3-;此时闭环系统没冇零点、有一对共辘极点分别为5. =-3+ s = 3- j系统呈现二阶系统特性：阳尼比为0.948,超调杲近似为1%。自然振荡角频率为36。4-19设控制系统开环传递函数为G($) =K(+l)s2(s+ 2)(5 + 4)试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况仃何不同？ 解:(1)负反馈情况 系统有四个极点.卩=P2= (0J0Xp3 = (-2J0),p4 = (-4JO),有一个零点石=(1J0)系统根轨迹如卜图所示：Root Locus系统的特征方程为：s4 + 6, + 8j2 + KG + 1) = 0令$=丿代入特征方程中，得到：实部方程为：ty4-8ty2 + /Cf =0虚部方程为：Kb-6e = 0斛上述方程得到：K-12, co-41所以当0 K 12是系统稳定。(2)正反馈情况系统是一个零度根轨迹。系统的特征方程为： + 6，+ 8$2 KG+1) = O系统有四个极点,p, = p2 = (O,JO),p3 = (-2 J0),几=(-4 J0)，有一个零点石=(1J0) 系统根轨迹如卜图所示：#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四喷4-20设控制系统如图431所示，JtPGc(5)为改善系统性能而加入的校正装置。iGc(s)可从Kq、Kf 利Kf 心+20)三种传递两数任选一种，你选哪一种？为什么？解：(1) Gc(s) = Kts时系统的开环传递函数为:(7(5)=10 10052 + 105+105 5+20#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四喷#胡春松fl动控制脈理Al题斛存第四喷即:G(5)=10005(5+10+ 10/C, )(5+20)此时系统特征方程为：53 + 3052 + 2005+1(X)0+ 105(5+20) = 0系统等效开环传递函数为：G (沪 WK曲+20)，+30，+200s+100Root Locus（2）恥）+，时系统的开环传递隨数为：心“+叫方即:G（5）=1000s(s + 10K$ + 10)(5 + 20)此时系统特征方程为：53 + 3052 + 2005+1（X）0+ 10Kf （s+ 20） = 0 系统等效开环传递函数为：G （沪叫心+20），+ 30$ +200$+10033胡右松fl动控制脈理Al题斛存第四点#胡右松fl动控制脈理Al题斛存第四点#胡右松fl动控制脈理Al题斛存第四点#胡右松fl动控制脈理Al题斛存第四点（3） Gr（5）= /Cz52 7（5+20）时系统的开环传递函数为:G（5）=10(5+20)100，+ 30$2 + 200s+10KF s+20G($) =10005(52 +10,5+305+200)此时系统特征方程为：53 + 3052 + 2005+1000+ WKts2 = 0 系统等效开环传递两数为：G1052 一 F +30，+200s+100#胡tf松自动控制is i理习题解答第四章35胡tf松自动控制is i理习题解答第四章Real Axis选第一种。#胡tf松自动控制is i理习题解答第四章(2)令$=丿血代入系统特征方程中53+ 15052 3 +50005+K* = 0 得到实部方程为：-150/ = 0虚部方程为：5000ft?-= 0解方程得：e=70.7 K* = 750000 所以( = 150(3)令s = -21代入系统特征方程中，+ 150 + 5000s + K* = 0得到K = 48112系统临界阻尼比相丿卫的开坏増益K = 9.62#