不等式与不等式组知识点

不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1. 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值， 都叫做这个不等式的解。3. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解 的集合，简称这个不等式的解集。4. 解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5. 用数轴表示不等式的解集。二、不等式的基本性质1. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2. 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3. 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。例：1. 已知不等式3x-a 0的正整数解恰是1, 2, 3,则a的取值范围是 x a 02. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。5 2x2x 403.不等式组 1的整数解为x 2024. 如果关于x的不等式（a-1） xa+5和2x4的解集相同，贝U a的值为。x 4 x15. 已知关于x的不等式组 32的解集为x 2，那么a的取值范围是 x a 06. 当x时，代数式2x 5的值不大于零7若x”“=”或“”号填空）8不等式7 2x 1,的正整数解是 9.不等式 x a 10的解集为xbc，则不等式组x b11. 若不等式组2x a 1的解集是一1 x 1,则(a 1)(b1)的值为x 2b 312. 有解集2 x 3,则a的取值范围是 x 3三、一兀一次不等式(重点)1. 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2 解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1例：一、判断题(每题1分，共6 分)1、ab，得 a + mb+ m()2、3由 a3,得 a 一2()3、x = 2是不等式x + 3 4的解()4、由一1 1，得一-a2 2()5、如果 a b, cv0，贝U ac bc()6、a如果av bv 0,则三v 1b()填空题(每题2分，共34 分)1、 若av b，用“”号或“v”号填空：a 5b 5;-a b ; 1 + 2a 1 + 2b; 6 a 6 b;2 22、x与3的和不小于一6,用不等式表示为 3、当x时，代数式2x 3的值是正数； 4、代数式1 + 2x的不大于8 -的值，那么x的正整数解是42X5、如果 x 7v 5,贝U x;如果一 一0,那么x;26、不等式ax b的解集是xv ，则a的取值范围是 ;a7、 一个长方形的长为 x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为8、点A( 5,y1)、B( 2 ,y2)都在直线y = 2x上，则y1与y2的关系是 9、 如果一次函数 y = (2 m) x + m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围四、一元一次不等式组（难点）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2 ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。例:、选择题1.F列不等式组中，是元一次不等式组的是2.3.4.x 2,A.x 3F列说法正确的是（xA.不等式组3,的解集是5集是不等式组2,2的解集是x=22J34 82x在平面直角坐标系中，点A. 3x20,0C.3x(x2 0,2)(x 3) 03x2 0,1x5x32,的解集是一33x 23,的解集是x33集是的最小整数解为P （2x 6, x 5）在第四象限，贝U x的取值范围是（B. 3x52 0,的解集是(3 0B . x3C. 5x3)C. 2x3D. 5x 3D .无解、填空题x 26若不等式组有解，则m的取值范围是 x m7. 已知三角形三边的长分别为2, 3和a,贝U a的取值范围是 &将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下 9个橘子；？如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有个儿童,分个橘子.9若不等式组X a 2,的解集是ix 0,x + 2 v 0.错解：由，得x 1,由，得XV 2，所以不等式组的解集为一 2vxv 1.错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再 利用数轴求出这些不等式解集的公共部分此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此 不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1vxv 2或2v x 1等，这些都是错误的.正解：由，得x 1.由，得xv 2，所以此不等式组无解.易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”例2解不等式组5x+ 12 6 3x,4+ x2(1 + x)33.错解：解不等式，得x3.解不等式，得4x 5.由于x -的范围较大，所以4不等式组的解集为x-3.错因剖析：本例错解中,由于对不等式组的解集理解得不深刻,在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时， 形成错误的认识.其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的 解集时，可归纳为以下四种基本类型（设av b）,x a,xv a,x a,xv a, x b,x b,xv b,xb.利用数可确定它们的解集分别为x b，xv a，a v xv b,空集.也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”正解：解不等式，得x 3 .解不等式，得 x 5.4所以不等式组的解集为 x 5.易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法.2-2(x+ 3) w 11,例3解不等式组3x+ 2(x+ 3)w 3.错解：由+，得2xw 14，即xw 7所以不等式组的解集为 xw 7.错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中.产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，(1)解二元一次方程组时， 两个方程不是单独存在的；(2)由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程 中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集.334正解：由不等式，得|x- 17，即x-即由不等式，得|xw- 3，即xw 6所以原不等式组的解集为一 Tw xw 7.易错点4:在去分母时，漏乘常数项.2x 3 v 1,例4解不等式组x 1+ 2 x.错解：由，得xv2在x 21 + 2 x的两边同乘2,得x 1 + 2 2x.于是有x1 13所以原不等式组的解集为 2 x 3.错因剖析：解一元一次不等式组， 需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分.对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错.本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项.此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“V”连接.x 一 1正解：由，得xv 2.在一2 + 2一x的两边冋乘2，得x 1 + 4一2x.于是有X1,所以原不等式组的解集为一1w xv 2.易错点5:忽视不等式两边同乘(或除以)的数的符号，导致不等式方向出错.1例5解关于x的不等式(-a) x 1 2a.错解：去分母，得(1 2a)x2(1 2a).将不等式两边同时除以(1 2a),得x2.错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘(或除以)的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘(或除以)的(1 2a),在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错.正解：将不等式变形，得(1 2a)x2(1 2a).1(1) 当 1 2a0 时，即 av 时，x2;(2) 当1 2a= 0时，即a =扌时，不等式无解；1(3) 当 1 2av 0 时，即 a时，xv 2.例6 如果关于x的不等式(2a b)x+ a 5b0的解集是xv号，则关于x的不等式ax b的解集是.错解：因为不等式(2a b) x+ a 5b 0的解集是 xv严，所以 型二a =孕，则有72a b 72a b = 7,5b a= 10,a = 5,3解得从而知axb的解集是x3.b = 3.5错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以3x 3.2a b = 7,a = 5,在解题时错误得出解得从而错误得到ax b的解集是5b a = 10,b = 3.正解：由不等式(2a b) x+ a 5b 0的解集是xv号,得5b 2a b v 0,a = 102a b = 7解得a v 0,b_3所 a = 5.3以ax b的解集是xv -.5易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况.a的取值范围是例7若关于x的不等式组5 2x 1，无解，则x a 2错解：由5 2x X得x3. x a 0,x a.错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小， 大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a = 3,有 xw 3 及x 3,而此时不等式组也是无解的.因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况5 2x一1,xw 3,正解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a 3.xa 0x axa o例8已知关于x的不等式组 _ -，的整数解共有 5个，则a的取值范围是 3_ 2x_ 1错解：由 _ -，解得 -，又因为原不等式组的整数解共有5个，所以awxv 2,3 _ 2x_ 1xv 2.这5个整数解为一3,_ 2,_ 1, 0, 1,从而有aw_ 3（或a=_ 3）.错因剖析： 本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解.上述解法错在忽视aw xv2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在3与4之间，其中包括3,但不应包括4，所以错解在确定 a的 取值范围时扩大了解的范围.x_ a- 0,x- a,正解： 由解得又因为原不等式组的整数解共有 5 个,所以 awxv3_ 2x_ 1xv 2.2. 又知这5个整数解为3,_ 2, 1, 0, 1.故a的取值范围是4v a w_ 3. 总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基 础知识，熟悉这 6 个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解 一元一次不等式（组）的错误深渊.中考考点解读:1.（2012山东滨州3分）不等式2x 1 xx 8 4x1的解集是【1。因是:解 2x 1x+1 得 xx 3 .故选Ao2，解x+8 4x 1得x 3。按同大取大,得不等式组的解集A. x 3B. x 2C. 2x3D.空集【答案】Ao【考点】解一兀一次不等式组。【分析】解一兀次不等式组，先求出不等式组中每一-个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）此,2.（2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是 80米/分钟.他家离学校的距离是 2900米.如果他骑车和步行的时间分别为x,y分钟，列出的方程是【A.250x1480y2900B.x y80x15250y 2900C.80x4250y2900D.x y250x1580y 2900【答案】Do【考点】由实际冋题抽象出兀,次方程组。【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为x,y分钟，由题意得:李明同学到学校共用时 15分钟,所以得方程：x+y=15 o李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，x分钟骑了 250 x米；步行的平均速度是80米/分钟，y分钟走了 80 y米。他家离学校的距离是 2900米，所以得方程:250x+80y=2900 。故选Doa+2b=43. (2012山东德州3分)已知，贝U a+b等于【3a+2b=88A. 3 B . - C . 2 D . 13【答案】Ao【考点】解二元一次方程组。【分析】两式相加即可得出 4a+4b=12，方程的两边都除以 4即可得出答案：a+b=3。故选A。2 14. ( 2012山东东营3分)方程k 1 x21 kx+=0有两个实数根，则 k的取值范围是4【 】.A. k 1B. kw 1 C .k1D. k0,不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(,向右画；V,w向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解 集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。在表示解集时“ W”要用实心圆点表示；要用空心圆点表示。因此， 在数轴上表示为：0故选A。10.(2012山东临沂3分)关于x、y的方程组3x ym的解是x 1 nt，则mn的x myny 1值是【】A.5B. 3C. 2D. 1【答案】Do【考点】二兀一次方程组的解和解二兀一次方程组，求代数式的值。【分析】3x y m冃 x 1万程组的解是，3 1mm2。x my ny 11 mnn3m n = 2 3 =1。故选 D。2 211. (2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(k 2) x + (2k + 1)x +仁0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是【】4口4口3口3口(A) k 且 kz2 (B)k 且 kz2 (C) k 且 k2 (D)k 且 k工23344【答案】Co【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。【分析】方程为一元二次方程，k 2z 0,即k z 2o2 2（ 2k + 1） 4 （k 2） 0，即（2k + 1 2k + 4） （2k + 1 + 2k 4） 0,3 5 （ 4k 3） 0, k。4 k的取值范围是k 3且k丰2。故选C。412. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬 老院慰问老人如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶, 那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【】（A） 29 人（B） 30 人（C） 31 人（D） 32 人【答案】B。【考点】一元一次不等式组的应用。【分析】设这个敬老院的老人有 x人，则有牛奶（4x + 28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：4x 28 5 x 1 3 ;由得，x w 4o其解集为:3v x w 4o不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（,向右画；V,w向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面集有几个就要几表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 个。在表示解集时“”，“w ”要用实心圆点表示；“”要用空心圆点表示。因此，3v x 514.（2012山东潍坊3分）不等式组 2X35的解等于【】.3x 24A.1x1 C .x2 D .x2【答案】Ao【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这 些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解2x + 35得，x 1;解3x 2V 4得，x V 2,二此不等式组的解集为：1xv 2。 故选Ao15. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数（如6, 7, 8, 13 , 14, 15 , 20, 21, 22）.若圈出的9个数中，最大数 与最小数的积为192,则这9个数的和为【】.12R* *345678910J!T1 jj立8k廿a廿三廿列121314-15f 161718匕_h廿六廿七廿儿甘九1 _ 3七冃舫二19202122232425囚七夕262728293031A. 32 B . 126 C . 135 D . 144【答案】Do【考点】 分类归纳（数字的变化类） ，一元二次方程的应用。【分析】 由日历表可知，圈出的 9 个数中，最大数与最小数的差总为16 ，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为 x，则最小数为x 16。 x （ x 16） =192，解得 x=24 或 x= 8 （负数舍去）。最大数为24,最小数为8。圈出的 9 个数为 8， 9， 10， 15， 16， 17， 22， 23， 24。和为 144。故选 D。