电磁场与电磁波第七章习题及参考答案

电磁场与电磁波第七章习题及参考答案习题7-1 、 如果 z z H E , 已知 ,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中？ p? pH H E E ,与z z H E ,的关系。解： 设 z jk z e E E -=),(0? p p p n jk z e H H -=),(0? p p p 贝U E jk z E z p 产？ ； H jk zH z p p-=?在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程E j H pP 3 =? ; H j E pp 3怏=?得p?3 ?pE j H jk H z z =+?1p?3 ?pH j E jk E z z-=+?1?p a E j H H jk z z =?-? p 3 以 pH j EE jk z z -=?- z E j H H 3app p?=?-?1 z H j E E 3 gp p p?产？-?1由以上几式得)1(12?p 3 以 p ?+?-=z z zc H j E jk k E )(12P 3 Q p?+?-=z z z cH j E k j k E )(12P? P 3 ?-?=z zz c H jk E j k H )(12?p p CO ?+?-=z z z cH k j E j k H 式中 222z c k k k -=证明：7-2 证明( 7.2-6 ) 式为 (7.2-4) 式的解。由( 7.2-6 ) 式 zz e V e V z V 丫 -+=00)( 可得：2200)()()( Y YY Z V e V e V z V zz =+=-+因此 0222=-V dzV d Y 即（7.2-4）式7-2、 从图7.2-2 的等效电路，求（7.2- 5 ）和（7.2-6）式对应的传输线方程的时域形式。 解：图 7.2-2)()(1z I Z dz z dV -= (7.2-(1z V Y dzz dI -= (7.2-6 )串联支路上的电压为dV V dtdidzL dz iR V +=+11di i dtdudzC dz uG i +=+11 (2)dz dt di) )()1 ） 并联支路上的电流为1 ）和（ 2 ）式得L iR dV )(11+-=( 3) dz dtduC uG di )(11+-=(4)两边同除 dz 得 )(11dt di L iR dz dV +-=(5) )(11dt duC uG dz di +-=(6) (5)、(6)式就是(7.2- 5)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。7-3、由(7.2- 1 0 卜(7.2-3)、(7.2-4)和(7.2- 9 )式推导(7.2- 1 1 )和(7.2- 1 2)式。解： 将B j jy+=111L j R Z 3+=111C j G Y a+= 代入 11Y Z =Y并等式两边平方得)(211111121122G L R C j C L G R j +-=+-33 a B B a令等式两边实部和虚部分别相等，得1121122C L G R 3 0 a-=- )(21111G L R C += 3aB 解以上两方程，得 )()(21112112122121221C L G R C G L R 333 a-+=(7.2-1 1 ) )()(21112112122121221c L G R C G L R 333 +=(7.2- 1 2 )7-4 、证明( 7.2-13 ) 式为 (7.2-7) 式的解。解zz e V e V z V 丫 -+=00)()()(222z V dzz V d 产即0222=-V dzV d 丫7-5 、同轴线内导体外径为 mm d 04.3=, 外导体内径为mm 7,内外导体之间为2.2=r的非磁性介质，求特性阻抗。解:特性阻抗Q =74.332/04.32/7ln 2.21601n 60 b Z r r 以。7-6 、 型号为 SYV 5 2 2 的同轴电缆内导体外径为 mm 68.0,外导体内径为 mm 2.2,内外导体之间为99.1=r&的非磁性介质，求特性阻抗。解：特性阻抗Q =93.492/68.02 /2.2ln 99.11601n 60 b Z r r & 以7-7、特性阻抗为75 Q的传输线，终端负载为Q =50L Z求： （ 1 ）终端的反射系数； （ 2 ）传输线上的电压驻波比；（ 3 ）距终端入入入入2入8/3,4/,8/=1处的输入阻抗。解：（1）终端的反射系数 5150757550-=-=+-=H L Z Z Z Z ;（2）电压驻波比5.15/45/611=r -1+=P ;（3）距终端1输入阻抗1 jZ Z 1jZ Z Z所以，入 Q=5.112)4/(Ain ZZ L L in B tn tn += 其中入兀入u/2/2l l l =?= Q+=j Z in 84.2823.69)8/( Q-=j Z in 84.2823.69)8/3(Q=50)2/( Ain Z Q=50)( Ain Z7-8、特性阻抗为Q =300c Z的传输线，终端接负载Q +=300300j Z L ,波长为m 1=入。求终端反射系数、驻波比、 电压波节点及波腹点的位置。解：终端反射系数04.63447.0300600300j L c c L e j j Z Z Z Z =+=+-= r；驻波比62.211= r-I+= p ;m f v 1103/103/88=?=入电压波腹点位置m n nl 176.02/42min +=+=入兀a 入电压波节点的位置m n l l 426.02/4min mx +=+= 入7-9、特性阻抗为75 Q的传输线，终端负载为 L Z ,测得距终端负载 20cm 处是电压波节点， 30cm 处是相邻的电压波腹点，电压驻波比为 2，求终端负载。设入射电压波为 z j e VB-+=10 ，负载处 0=z ，写出总电压、电流波。解： 距终端负载 20cm 处是电压波节点， 30cm 处是相邻 的 电压波腹点 ， 相邻 的 电压波腹点和波 节点距离为 cm 102030=- ，那么终端就是电压波节点。cm 40104=?=入2= P3111=-=r p p ,由于终端就是电压波节点，因此 31-=rz z l zZ L=P , Q=150 pZ Z L7-11、特性阻抗为75 Q的传输线，终端负载为 L Z ,测得 距终端负载10cm 处是电压波腹点， 30cm 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2,求终端负载。解2= p31 11=+-=cm 20XX304=-= 入,cm 80=入电压波腹点到终端的距离m x l 为 24mx 入入 un 9 +=取 0=n ,贝U 2 801044mx兀兀入兀e=?=l 终端反射系数为 31312/j e j =r兀由zZ Z Z L L +-=r得Q ?+=-+= p 1+=75)5354(31131111j z jz z L 7-12 、特性阻抗为 z 的传输线，终端接一负载，设终端负载处电压和电流分别为 0V 和 0I证明传输线上任一位置的电压)(z V 和电流 )(z I 和 0V 和0I 的关系可写为?=?00)cos()sin()sin()cos()()(I V z z Z j z jZ z z I zVMM解 设一段长为 l 、 特性阻抗为 Z 的无损耗传输线， 左端接信号源，右端接负载 L Z ，如图所示。信号源产生沿z 方向传输的电压波和电流波为zj e V VB-+=0 zj e ZV I 伊+=0 (2)图 无损耗传输线入射电压电流波传输到负载后， 一部分被负载汲取， 一部分被反射。反射电压电流波可写为j e V V B-=0 ( 3 )zj e ZV I伊-=0 ( 4)传输线上的总电压电流波可写为z j zj e V eV z V B -+=00)( (5) zj z j e ZV e Z V z I B -+-=00)( (6)在终端 0=z ,-+=000V V V ( 7)ZV Z V I - +-=000(8)解得 )(21000ZI V V += + 9) 9)(21000ZI V V -=+ 10)将( 9)、 (10 )代入( 5)、 (6)式得 ?=?00)cos()sin()sin()cos()()(I V z z Z j z jZ z z Iz V B B B B7-13、用一段特性阻抗为 Q =50c Z , s m p /1050.18?= u ,终端短路的传输线，在MHz f 300= 的频率上形成( 1 ) pF C 31060.1-?= 的电容；(2) H L 以21065.2-?= 的电感。求短路传输线的长度。解：m f v 2/1/= 入，ll 兀斯=,l jZ l Z inBtn )(=(1)fCj l j l Z in 兀 0tn 50)(= ，可得：电容 m l 125.0=(2) fL j l j l Z in 兀像tn 50)(=,可得：电感 m l 0625.0=7-14 、如果以上电感、电容用开路传输线实现，传输线应多长？ 解：l jZctg l Z in伊=)(1) fCj l ctg j l Z in 兀 050)(=-= ，可得： 电容 m l 375.0=(2) fL j l ctg j l Z in 兀250)(=-=,可得： 电感 m l3125.0=7-15、奥仪器的信号输入端为同轴接口，输入阻抗为75 Q,如果要使特性阻抗为Q =50c ZQ=50c Z Z Q=75L Z l jZ Z l jZ Z Zl Z L L in B tn tn )(+= 当 m f v l 25.04/4/= 入时， L in Z Z l Z /)(2 =,可得 q =?=23.615075c L Z Z Z 为所求。7-16、奥天线的输入阻抗为 5.3775j -Q,天线作为负载与 特性阻抗为Q =75c Z的传输线相连。要使传输线上无反射，应 如何进行阻抗匹配变换？ 解：这里用两种解法。(1)采纳如图所示的方法，先用特性阻抗为Q=75c Z长为1l 的传输线，将负载的复阻抗转换为电阻 R，然后用长度为4/2人 =1特性 阻抗为Z的传输线，使其输入阻抗等于Q =75c Z ,即实现传输 线匹配。终端反射系数为 兀422.02425.075)5.3775(75)5.3775(j c L c L L e j j Z Z Z Z -=+-=+-= r传输线 11 输入端的反射系数为 )422.02(21112425.0)(兀 B +-= 1= n j 1 j L e e 1为使传输线11 输入端的输入阻抗为电阻，传输线11 输入端的反射系数应为实数，由上式得()当入1445.01=1 时，2425.0)(1-= D , 64.1= p 传输线 11 输入端的输入阻抗为Q =73.45/ pc Z R Q=57.58R Z Z c(b)当入3945.01=l时，2425.0)(1= E , 64.1= p 传输线1l输入端的输入阻抗为Q=123 pc Z R Q=96R Z Z c(2)先用特性阻抗为Q =75c Z长为1l的短路传输线并联 在负载两端，以抵消负载导纳的虚部，然后用长度为4/2六l特性阻抗为 Z 的传输线接在负载与传输线之间，使其输入阻抗等于Q=75c Z ,即实现传输线匹配。负载导纳为 7552 75545.377511?+?=-=+=j j jB G Z Y L L L L 为抵消负载导纳的虚部，短路传输线的 输入导纳应为 L c in jB l jZ Y -=）tn（11 B由此得 5.2）2tn（1=入Ttl计算得 入 189.01=1并联短路传输线后，负载阻抗变为 45751?=L L G R用长度为4/2人 =1特性阻抗为Z的传输线进行阻 抗变换 =85.83L c R Z Z7-17 、 推导矩形波导中 TE 波场重量 （7.4 16）式。 解： 0=z E ；z jk z z e y x H z y x H -=),(),(00),(),(22=+?z y x H k z y x H z c z t用分离变量法：令 )()(),(y Y x X y x H z = 代入第三式可得：0)()()()(2=+c k y Y y Y x X x X ；令2)()(x k x X x X -=，2)()(y k y Y y Y -= ；其中 222c y x k k k =+； 所以x k cx k c x X x x sin cos )(21+= y k c y k c y Y y y sin cos )(43+=z jk y y x x z z e y k c y k c x k c x k c z y x H -+=)sincos )(sin cos (),(4321由边界条件，0=x 边界， 0)(1),0(02=?-?=x z z z cx x H jk y E j k z y H 3 以x = 边界 , 0)(1),(2=?-?=z c x x H jk y E j k z y H 3 以0=y 边界 , 0)(1),0,(02=?-?-=y z z z cy y H jk x E j k z x H 3 以b y = 边界 , 0)(1),(2=?-?-=by z zz c y y H jk x E j k z b x H 3 以于是，可得 m k x tt=，bn k y 兀=,A2,1,0,=n m;最终得到 z jk z z e y bn x m H H -=)cos()cos(0 兀兀z jk cz x z e y b n x m m k H k jH -=)cos()sin()(20 兀兀 zjk jk cz y z e y b n x m b nk Hk jH -=)sin()cos()(20 兀兀 zjL jk c x z e y bn x m bn k H jE -=)sin()cos()(20兀兀兀3以z jk c y z e y bn x mm k H j E -=)cos()sin()(20兀兀兀3以7-18 、 电磁波在分别位于 x ,0= 处的无限大理想导体平板之z 方向传输。求TE 波的各电磁场重量以及各模式的截止波长、相速、波导 波长和波阻抗。解： 无限大理想导体平板之间波沿z 方向传输， 那么场与 y无关 对于 TE 波， 0=z E ， z H 可以表示为 zjk z z e x H z x H -=)(),(0( 1 )式中 )(0x H 满足方程0)()(02022=+x H k x H dxd c ( 2 ) 解方程得)sin()cos()(210x k c x k c x H c c += (3)z H 的通解为 zjk c c z z e x k c x k c z x H -+=)sin()cos(),(21 (4)上式代入(7.1- 1 0 b)式)(12x H j y E jk k E z z zc y ?+?-=3 以考虑到 0=z E ,得)cos()sin(1212x k c k x k c k j k E c c c c cy +-=3以下面由理想导电壁的边界条件0=t E ,确定上式中的几个常数。在2 个理想导电壁上，y E 是切向重量，因此有(1) 在0=x 的理想导电壁上，由 0),0(=z x E y ，得 02=c (2) 在x =的理想导电壁上， 由0),(=z x E y，得 兀 m k c = ，即m k c 兀=,A,3,2,1=m 由止匕，得z jk z z e xm H z x H -=)cos(),(0 兀(5)m k c 兀=（6）22c z k k k -=（7）将（5）式代入（7.1- 1 0 ）式，就得到波导中TE波的其他场 重量zjk y z em m H jE -二)sin(0 兀兀 3 以)(12x H jk k H z z c x ?-=z jk z z e7t 7tm k m H j -=)sin(0 mk c c 22=兀入222)(1cc z k k k k 入 -=-= 2)(1czxy TM Zk H E Z 入入3以2)(1c z2)(12czg k 入入入兀X=7-19 、 电磁波在分别位于 x ,0= 处的无限大理想导体平板之间的空气中沿z 方向传输。求TM 波的各电磁场重量以及1TM 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。解： 无限大理想导体平板之间波沿z 方向传输， 那么场与 y无关对于 TM 波， 0=z H ， z E 可以表示为 zjk z z e x E z x E -=)(),(0( 1 )式中 )(0x E 满足方程0)()(02022=+x E k x E dxd c ( 2 ) 解方程得)sin()cos()(210x k c x k c x E c c += (3)z E 的通解为 zjk c c z z ex k c x k c z x E -+=)sin()cos(),(21 (4)下面由理想导电壁的边界条件0=t E ，确定上式中的几个常数。在 2 个理想导电壁上，z E 是切向重量，因此有(2) 在0=x 的理想导电壁上，由 0),0(=z x E z ，得 01=c (2) 在x =的理想导电壁上， 由0),(=z x E z，得 兀 m k c = ， 即m k c 兀=,A,3,2,1=m由止匕，得z jk z z e xm E z x E -=)sin(),(0 兀(5)m k c 兀=( 6) 22c z k k k -=（7）将（5）式代入（7.1- 1 0 ）式，就得到波导中TM波的其他场重量zjk zz z c x z e m k m E j x E jk k E -=?-= )cos()(102兀兀zjk z cy z e m m E j x E j k H -=?-= )cos()(102兀兀 3 3 mk c c 22=兀入222)(-=1cc z k k k k 入 -=-= 2)(1c z y x TM Z k H E Z2)(1czp v k v 入入32)(12czg k 入入入兀X=1TM 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗c 2=入 2)2(1v v p 入2)2(1g入入卜二2)2(1Z k H E Z z y x TM 入 3 -=7-20 、 矩形波导尺寸为 mm mm 1.292.58?， 中间为空气，当 GHz f 5.4= 的电磁波在其中传输时，求有那些传导模式，并求这些模式的g入，p u , c入。如果波导中填满2.2=r ,1=r以的介质，又有哪些传导模式？解：mm m f v 7.660667.015/1/0= 入；mm TE c4.116210,= 入 mm TE c 2.5820,= 入 mm b TE c2.58201,= 入 mm b TE c 1.2902,= 入mm b TE TM c 05.5211222,1111 =+= 入mm TE c 8.383/230,= 入 mm b TE c 4.193/203,= 入 mm b TE TM c 15.4114222,2121 =+=入 mm b TE TM c 23.284122 2,1212=+= 入mm b TE TM c 02.2644222,2222=+= 入可见，仅可传10TE 模式。如果波导中填满2.2=r ,1=r以的介质，则mm f v f v r 3.33)/(/0= 入可传 10TE ， 20TE ， 01TE ， 11TE ， 11TM ,21TM， 21TE ,30TE 模式。7-21 、截面积为 24cm 的空气填充方波导，对于 GHz f 10= 的波，有那些传导模式？ 解 GHz f 10= ， m f c03.0=入 m cTE cTE 08.020XX0= 入入m cTM cTE 05657.0221111=入入m cTE cTE 04.00220= 入入m cTM cTM cTE cTE 0358.05212211221=入入入入cTM cTE 02828.0822222= 入入m cTE cTE 0267.0320330=入入10TE 、 01TE 、 11TE 、 11TM 、 21TE 、 12TE 、 21TM 、12TM7-22 、矩形波导尺寸为 cm cm 7.05.1? ，中间为空气，求单模传输的频率范围。 解：波长与尺寸的关系为 2z 段波阻抗211)2(1Z 入 -=0z 段波阻抗 222)2(15.1Z 入 -=反射系数 1221Z Z Z Z +-=r驻波比 22)2(1)2(11r入入&-=r-1+=；7-30 、 矩形波导尺寸为 mm mm 72.58?， 工作频率为 GHzf 4= ，空气的击穿场强为m V /1036? ，求该波导能传输的最大功率。解：mm f c 75/= 入Q =-=96.492)2(1/210Z TE入MW Z bE P P TE b b m 86.14/102=7-31 、铜制作的矩形波导尺寸为 mm mm 16.1086.22?中间为空气，工作频率为GHz f 9= ，求该波导每公里衰减值（以 dB 表示 ）。解：mm f c 33.33/= 入02475.01R s 0139.0)2(21()2(1(22=+-=入入以所以，-71000109.1898 ?=-z zea故每千米的功率衰减值为 60.366dB )101898.91 log(107=?-7-32 、一段尺寸为 mm mm 16.1086.22? 的空气填充矩形波导，长为 mm 45 ，两端用理想导电板短路形成谐振腔，求原来波导中主模传输的电磁波在谐振腔中的振荡频率。 解：原来波导中主模传输的频率范围为 713GHz222)/()/()/(2d l b n m c f mnl += GHz d c f36.7)/1()/1(222101=+=GHz dc f354.9)/2()/1(222102=+=GHz d c f 96.11)/3()/1(222103=+=7-33 、 矩形谐振腔尺寸为 cm cm cm 568? ， 中间为空气，试求发生谐振的 4 个最低模式及其谐振频率。 解： 222)/()/()/(2f mnl +=101TE ： GHz f 53.3= 011TE： GHz f 90.3= 110TE：GHz f 12.3=111TE ： GHz f 33.4=7-34 、用尺寸为 mm mm 16.1086.22? 的矩形波导制作一个谐振腔，使其谐振于101TE ，谐振频率为 GHz f 5.9= ，求谐振腔的长度。解： 9222105.9)/()/()/(2?=+=d l b n m cf mnl 可得 mm d 83.21=。7-35 、立方体谐振腔， 101TE 模的谐振频率为 GHz 9 。求谐振腔尺寸。 解：设立方体谐振腔尺寸为?，则101TE 模的谐振频率92101109)/1(22?=cf m 02357.06027-36 、内导体外径为 cm 6 ，外导体内径为 cm 20 ，中空的m 5.0两端短路，求谐振频率。 解： nMHz dcn f 3002=