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高考数学精品复习资料 2019.512.4离散型随机变量的分布列考情分析离散型随机变量的分布列是高考考查的重点，题型多为解答题，属中档题。常与排列组合、概率、均值、方差等知识综合。基础知识1、 离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。2、 离散型随机变量的分布列及其性质：Xp（1）定义：一般的，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值的概率为，则表称为离散型随机变量离散型随机变量X，简称X的分布列，有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列（2）分布列的性质：；x01pp1-p（3）常见离散型随机变量的分布列：两点分布：若随机变量X的分布列为,则称X服从两点分布，并称为成功概率超几何分布：一般的，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，且,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称随机变量X服从超几何分布X01mP注意事项1.统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码；第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值2. (1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.3.(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列题型一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E()6.3，则a值为()来源:数理化网4a9P0.50.1bA. 5B. 6C. 7D. 8答案：C解析：由概率分布列性质知0.50.1b1，b0.4.E()40.5a0.190.46.3，a7，故选C.【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 00012%6 000(元)，50 00050%25 000(元)由已知条件随机变量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000(25 000)4 760答案4 760题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列解：(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P.(或用间接法，即P11.)(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60).所以X的分布列为：X010205060P【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元令X表示此人选对A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望解(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(Xi)(i0,1,2,3,4)，则X01234P(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，E(Y)3 5002 8002 1002 280，所以此员工月工资的期望为2 280元题型三由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：第一班车：在800,820,840发车的概率分别为，；第二班车：在900,920,940发车的概率分别为，.两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客810到达车站乘车求：(1)该旅客乘第一班车的概率；(2)该旅客候车时间(单位：分钟)的分布列；(3)该旅客候车时间的数学期望解：(1)记第一班车在820和840发车的事件分别为A和B，则A、B互斥P(AB)P(A)P(B).(2)设该旅客候车时间为，则的所有可能取值为10,30,50,70,90，P(10)，P(30)，P(50)(1)，P(70)(1)，P(90)(1)，所以的分布列为1030507090P(3)由(2)知E()103050709030，即该旅客候车时间的数学期望是30.【变式3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区B肯定是受A感染的对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)解随机变量X的分布列是7X12来源:3PX的均值E(X)123.附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：来源:ABCD在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人重难点突破【例4】在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记|x2|yx|.(1)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量的分布列 解析 (1)x，y可能的取值为1,2,3，|x2|1，|yx|2，3，且当x1，y3或x3，y1时，3.因此，随机变量的最大值为3.有放回抽两张卡片的所有情况有339种，P(3).故随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为.(2)的所有取值为0,1,2,3.0时，只有x2，y2这一种情况，1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，2时，有x1，y2或x3，y2两种情况3时，有x1，y3或x3，y1两种情况P(0)，P(1)，P(2)，P(3).则随机变量的分布列为：0123P巩固提高1.世界杯组委会预测某支足球队在巴西世界杯中获得的名次可用随机变量表示，的概率分布规律为P(n)(n1,2,3,4)，其中a为常数，则a的值为()A. B. C. D. 答案：B解析：因为P(n)(n1,2,3,4)，所以1，所以a.2. 20xx年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A. Y的取值为0,1,2,3B. P(Y0)P(Y1)P(Y2)P(Y3)1C. 若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300YD. 若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y答案：D解析：由题意知A、B正确易知C正确对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为300(3Y)300Y900.3.从1,2,3,4,5中选3个数，用表示这3个数中最大的一个，则E()()A. 3B. 4.5C. 5D. 6答案：B解析：由题意知，只能取3,4,5.则P(3)，P(4)，P(5).故E()3454.5.4.一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x表示取出的红球个数，P(x1)的值为()A. B. C. D. 来源:答案：C解析：由题意知，取出3球必是一红二黑，故P(x1)，选C项 5.已知随机变量的分布列如图所示，若32，则E()()123PtA. B. C. D. 答案：B解析：由概率之和等于1，得t1，得t，E()123，E()3E()2.故选B.
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