数形结合思想在小学数学教学中的应用

数形结合思想与小学生解题能力的研究内容提要：数形结合思想是一种重要的数学思想，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，因此从小学数学教学中就应有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养，以及通过数形结合思想提高小学生的解题能力。本文结合自己的经验以及其它数学家的研究，结合自己的理解阐述了数形结合思想与小学数学教学的结合使学生的解题能力增强的方法和意义。关键词： 小学数学教学 数形结合思想 解题能力正文：新课程标准中指出，高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。数学思想方法有很多，以下我想结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。数学是研究空间形式和数量关系的科学，数形结合思想是重要的数学思想之一，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，在代数与几何的结合上寻找解题思路。它包含两个方面：“以形助数”，即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系；“以数辅形”，即借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。正如我国著名的数学家华罗庚先生所说“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。一. 利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想在进行人教B版必修1第一章集合的教学时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩（Venn）图，即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，并让他们画出来。经过讨论，学生画出了四种不同的位置关系（如图）接下来我让他们观察这四种关系的异同点，并引导他们用集合语言加以描述，发现（1）没有公共的部分，即集合没有共同的元素；（2）有公共的部分，即集合有共同的元素，但有些元素不在另一集合中；（3）完全在的内部，（4）与重合，即集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们把集合叫做集合的子集（）。再深入分析，发现（3）中集合有的元素不属于集合，而（4）中集合的元素完全一样，因此再把子集分为两类：真子集即集合是集合B的子集，并且集合中至少有一个元素不属于集合；集合相等即集合的每一个元素都是集合的元素，反过来，集合的每一个元素也都是集合的元素。通过维恩（Venn）图的直观表示，学生很快理解了“子集”、“真子集”、“集合相等”这些抽象的概念，体会了数形结合的思想。在讲集合的运算这一节时，我先让学生试着从字面上理解“交”、“并”、“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”、“并”、“补”的意义，最后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”、“并”、“补”运算，再次渗透数形结合的思想。为了考察学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，在本章的最后我出了一道这样的练习题，“某班有50名学生，先有32人参加电脑绘画比赛，后有24人参加电脑排版比赛，如果有3名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比赛？”从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（Venn）图，以形助数，求出正确答案，对数形结合这一数学思想有个初步体会。二. 通过对函数解析式的代数分析，画函数的图象，研究函数的性质，初步形成数形结合的思想在进行人教B版必修1第二章函数的教学时，虽然学生在初中对函数已有了初步的认识，但对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难，因此在教学中我做了如下处理。在讲完函数的概念以后，我出了一道这样的练习题：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）让学生从形的角度进一步理解函数的概念；在研究一次函数和二次函数的性质与图象时，由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象，因此我先从学生已有知识出发，让学生列表、描点、连线，作出一次函数和二次函数的图象，引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。 三. 借助单位圆的直观性，利用与单位圆有关的三角函数线，运用数形结合思想解决有关问题在进行人教B版必修4第一章基本初等函数（）的教学时，因为在必修1中对数形结合思想已经进行了有效的渗透，因此想在这一章中试着慢慢放手，让学生自己运用数形结合思想解决有关问题。以下我以单位圆与三角函数线这一节为例，说说我是如何借助单位圆,利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结合思想的。在单位圆与三角函数线这一节之前学习了三角函数的定义，该定义从代数角度揭示了三角函数值是一个“比值”。我让学生从代数形式分析了三角函数在各象限的符号,还让学生求了一些轴线角如的三角函数值，并分析了正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，学生都能得出答案，但让学生记住这些结论时就感到困难了。因此在完成单位圆与三角函数线的教学后，我让学生从几何的角度重新分析了以上问题。因为三角函数线是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值，用方向表示三角函数值的正负号，所以三角函数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出,对于这些轴线角的三角函数值及正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，我自制了几何画板课件，让学生直接从形的角度得到了答案。不仅如此，在角的变化过程中，有些学生还发现正弦值从0开始慢慢增大直到1，然后慢慢减小，当角的终边落在轴的非正半轴时，正弦值为0，再继续逆时针旋转，正弦值还是慢慢减小直到，接下来慢慢增大，当角的终边落在轴的非负半轴时，正弦值为0；而余弦值从1开始慢慢减小，当角的终边落在轴的非负半轴时，余弦值为0，再继续逆时针旋转，余弦值还是慢慢减小直到，接下来慢慢增大，当角的终边落在轴的非正半轴时，余弦值为0，然后继续增大直到1。继续观察，还发现每当角旋转一周时，正弦线、余弦线都会重复出现，这就得到了角与的三角函数间的关系，即，也为以后理解三角函数的单调性、周期性等性质打下了基础。课后我留了两道选做题,一道是比较不是特殊角的三角函数值的大小,另一道是已知,求的值。从课后反馈来看，有一部分学生还是能通过三角函数线，利用数形结合的思想加以解决。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。参考文献：1、数学课程标准（实验）人民教育出版社2、沈文选：中学数学思想方法湖南师范大学出版社摘 要：本文从数形结合的内涵及地位，数形结合思想在新教材中的体现，以及在中 学教学中的应用及注意原则四个方面阐明了数形结合在中学教学中的的灵活应用。 关键词：数形结合 中学教学 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数与形是数学知识的两大体系，在数学教学中数形结合思想是应用十分广泛的一种数学思想。中学教学中注重数形结合思想的培养，是提高学生数学素养的一个重要途径。 1 数形结合的内涵及地位 数与形是显示世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；“形” 主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。数形结合是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。因此，数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。 数形结合作为一种思想方法，其内容包含三方面： （1）以形助数。即根据给出的“数”的结构特点构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。 (2) 以数助形。即用代数方法研究几何问题。 (3) 数形互助。即数形相互结合，使问题变得直观、简明。 纵观多年来的高考试题，能巧妙运用数形结合的思想方法是高考重点考察的思维能力之一（见下表） 19982004年高考试题中对数型结合的考查统计表 年1998199920002001200220032004题数15151412121114 苏教版高中数学新教材中几乎处处渗透着数形结合的思想。如：在三角函数及其性质的学习中，发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数等。另一方面，以数助形，如应用三角函数的周期性来简化函数图象的作用。再如：数形结合还是解析几何的一个核心思想。 综上所述，数形结合思想是数学教学中要求学生重点掌握的最基本的数学思想方法之一。 一、 数形结合思想在新教材中的若干体现（这里仅以必修课本作为参考） 在必修1中，集合一章充分利用Venn图和数轴等帮助学生形象地理解集合的含义与运算，体现了数形结合的思想。特别是在分析子集、真子集、补集之间的区别和联系时，可充分利用Venn图从“形”的角度帮助学生理解这些不同的概念，同时可借助Venn图和数轴来加深对交集和并集概念的理解和进行“交”与“并”的运算。至于函数这一章的教学主要是借助于函数图象对函数的性质进行研究，同时图象本身也可加深对函数概念的理解。 必修2中立体几何中各个立体图形的侧面积和体积的内在联系，体现了“数”与“形”的完美结合，例如教材P50通过分析正棱台、正棱锥、正棱柱的侧面展开图形的内在联系，让学生发现正棱台、正棱锥、正棱柱的侧面积之间的关系，体会“数”与“形”的完美结合。 S正棱柱侧=ch c=c S正棱台侧=1/2(c+c)hc=0 S正棱锥侧=1/2ch (h,h均为侧面上的高) 解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题。解析几何充分体现了数形结合的思想。对于本章的学习侧重于将“形”的问题转化为“数”的问题来研究。在教学过程中，教师要通过引导，使学生经历下列过程：首先建立坐标系，将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其相互关系；进而，将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结论的几何含义，最终解决几何问题。 几何问题 解析表示建立坐标系 代数问题 代数方法 几何问题 解析表示建立坐标系 代数问题 通过上述活动，让学生感受到解析法研究问题的一般程序，要求学生学会在平面指教坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究他们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系，体会数型结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。 “依性作图，以图识性”是数型结合思想的重要体现，必修4的三角函数则充分反映了这一点。教材先探讨了三角函数的最重要性质周期性，然后利用周期性画出了正弦、余弦和正切函数的图象，根据图象得出这些函数的一些基本性质。三角函数在本质上是对单位圆圆周上点运动的“动态描述”，它的种种性质和公式都是和单位圆的几何性质密切关联的，是研究三角函数的重要思想方法。在解决三角函数的有关问题中，应引导学生自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，以形助数，数形结合。 另外，向量作为数形结合的载体，教科书一直坚持从形和数两方面来建构和研究向量。具体地说，向量的几何表示、向量的三角形运算法则等等都是从几何的角度对向量的研究，而向量的坐标表示、坐标运算就是用代数的方法来研究向量。这种数形结合的方法一直贯穿于本章始终，而在有关数量积的教学中更得到集中的体现。 至于必修5在学习不等式时教参要求：学习时注重数形结合，学会通过函数图象理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义。 2 数形结合在数学教学中的一些灵活应用 新教材中数形结合的典范给我们新教师今后的教学工作提供了一种重要的方向。下面通过若干道例题来阐明数形结合在教学中的灵活应用。 2.1 以形助数 2.1.1 利用Venn图和数轴解决集合的有关问题 例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1）则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。 用n表示集合的表示个数，则有： n(A)+n(B)+n(C)-n( )-n( )-n( )+n( )=48 即： 28+25+15-8-6-7+n ( )=48 n( )=1. 即同时参加数理化小组的有1人。 评注：利用Venn图能直观地解答有关集合之间的关系问题，而若纯粹用文字描述，则问题的思路不如图形来得直观清晰。 联想：在集合的有关运算中可利用数轴帮助直观解答。 2.1.2 利用函数与图象的对应关系实现数形结合 例2对于任意 ，函数 表示 中的较大者，则 的最小值是_. 分析：首先理解题意，“函数 表示 中的较大者”，是指对 而言，函数 表示 中最大的一个；其次是找出函数 的表达式，此时可利用函数图象来确定，如图2，分别画出3个函数 ， ， ，图中粗线部分即为 的图象，由图可知 的最小值为B点（直线y1=-x+3与y2= 的交点）对应的y值，于是列方程组： y=-x+3 y= 解得y=2 ,所以 的最小值是2。 评注：借助函数的图象，不仅很好地理解了题意，而且轻而易举地得出了 的最小值，避免了繁杂的运算环节，出错的可能性大大降低。当然，此题也可用代数方法，过程如下： （1） （2） （3） 分别令（1）（2）（3）式=0，求各临界点为x1=0,x2=0.5,x3=1,x4=3,x5=5,当x 0时，（1）式 0，（2）式 0，从而有 ,于是 = ；同理可求出 各分段区间的解析式，然后将各分段区间上的最小值分别求出，再比较最后得出 的最小值。 显然这样的过程繁杂且在运算和比较的过程容易出错，方法没有第一种简洁容易。 引申：函数图象是实现代数与图形联系的一个通道，很多函数方程、不等式的问题应用数形结合，可对数学知识和问题加深认识，理解透彻，思路的获得也就容易了。 2.1.3 借助几何元素或几何条件实现数形结合 例3 若 = =1，且 = ，求 。 分析：由题设条件不难联想到本题所隐含的“形”（如图3）。 和 是以OZ1和OZ2为邻边的平行四边形的两条对角线长，由 = =1， = 知四边形为正方形，所以另一条对角线长 = 。 评注：巧妙地以形译数，无需计算就解决了问题。此题代数解法为： 设 = ， = ，则 由 = 得， ，从而 。所以 。两种方法各有其教学意义，但就灵活简洁性而言，前者较可取。 联想：对于某些复数问题我们也可由数构形类似解决。 2.1.4 借助数与式的结构实现数形结合 例4理解基本不等式的几何意义 分析：首先应明确基本不等式为： （a,b0）当且仅当a=b时等号成立，其次是将两正数的算术平均数，几何平均数这两个基本概念的几何表示予以指出，因为正数与数轴上的对应点到原点O的线段长对应，所以正数可表示线段长度，因而两个正数的算术平均数可用两条线段长度之和的一半表示，即图4中AE（E为AB中点）。同样两正数的几何平均数可由图中线段CD表示（由直角三角形的射影定理得），在 中由于CD是直角边，CE是斜边，因而CD CE，而CE= AB，当且仅当AD=DB时，CD=CE。这样分析下来，几何意义为：半径长不小于半弦长。 评注：以上剖析，学生对基本不等式这一概念的理解加深了，对其几何意义明确了，大有耳目一新之感。 联想：有很多数学表达式，如（1） （2） （3）Ax+By;(4)F(sin，cos)；（5） 可通过构造距离函数、斜率函数、单位圆函数、单位圆上的点及余弦定理进行转化，往往能收到事半功倍的效果。在教学中应注意这些数学表达式的几何意义的教学。下面给出一例看其应用。 例5 试证：对任何 a0,b0,c0都有 + 当且仅当 时等号成立。 分析：结论中每个根号下式子使人想起余弦定理，于是构造图形（如图5）其中AB=a,BC=c,BD=b, ,则有AD= ，CD= ，AC= 。因为AD+CD AC，所以 + 当且仅当A、D、C三点共线时等号成立。此时， 。所以 acSin = abSin + bcSin ,故ac=ab+bc,即 。 评注：由数思图，数中构图，往往能使问题变得明朗，本题若仅从代数方面入手则很难找到 解答问题的突破口。 2.2 以数助形 例6，如图6，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为10的正方形，PD 面ABCD，PD=10。 （1）求异面直线PB与DC所成的角.（2）求二面角A-PB-C的大小.（3）求点D到平面PAC的距离。 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，10，0），B（-10，10，0），C（-10，0，0），D（0，0，0），P（0，0，10） （1） =（10，-10，10）， =（10，0，0），cos= ,所求角为arccos . (2)取PA中点M（0，5，5），PC中点N（-5，0，5），连DM、DN。 即 为平面PAB的一个法向量。同理 是平面PCB的一个法向量。 与 所成角的补角就是二面角A-PB-C的平面角。cos= ,所求角为 。 （3）因为D-PAC为正三棱锥，所以设 的中心为G，则G的坐标为（ ， ， ）那么D到平面APC的距离就是 ， = ，故所求的距离为 。 评注：在解决传统的立体几何问题时，建立坐标系，用向量运算法处理往往具有优势，使问题简单化。传统的立体几何问题方法在这里就不详述。在运用向量运算法处理立体几何时，要充分掌握向量运算的各种几何意义，这样才能较好地解决立体几何中的实际问题。 联想；笛卡儿利用直角坐标系，用一个实数对（x,y）表示一个点，把代数与几何联系起来，这样就有可能用代数的方法解决几何问题，同样学习了解析几何我们也可以利用几何方法解决代数问题。 例7已知A（-2，3），B（3，2），C（0，-2），直线l过C点且与线段AB相交，求l的斜率的取值范围。 分析：由题意可设直线l的方程为：y+2=kx 即 kx-y-2=0 (由形到数) 因为直线l与AB相交，所以A、B两点位于直线l的异侧，或者A、B两点中有且仅有一点在直线l上，由数形结合得，（-2k-3-2）*(3k-2-2) 0 即（2k+5）*(3k-4) 0 解得k 或k 说明：此题是在教授完“不等式表示的平面区域”后让学生解决的，前提是学生仅了解直线方程的几种表示形式。也就是说，必修2没有学习的基础上解这道题的。 评注：本题两次使用以数助形，方法新颖，能够较好地启发学生的创新思维和抽象思维。而若仅是应用几何方法（画图观察确定斜率的变化范围，用两点坐标求出各点斜率），则不能体现“不等式表示的平面区域”的应用和启发创新思维。 联想：上述问题的解决充分体现了不等式的几何表示，实现了“形”与“数”之间的对应关系，从而把“形”的问题转化为“数”的推理进行解决。由于向量和复数本身具有明显的几何意义，因此在解决一些几何问题时，不妨借助向量和复数这两个载体，结合代数运算方法使问题简化。 例8一动点由坐标平面的原点出发，向右移动1个单位到A1（1，0），然后向上移动 个单位到A2（1， ），以后按左、下、右、上的方向，每次移动前一次移动长度的一半，求动点的极限位置与原点的距离。 解：(如图7)设动点的极限位置与原点的距离为d,先求动点极限位置的横坐标：x0= = ，同理可求极限位置的纵坐标为y0= = ，故得极限点为（ ），所以d= 评注：此题先借助图形直观概括出数列模型，接着通过分析把握数列的特征应用代数的推理解决形的问题。此题若是纯粹用几何来解则根本无法进行，以数助形的优势在这里体现无余。 2.3 数形互助 例9已知x,y满足 ，求y-3x的最大值与最小值 分析：对于二元函数f(x,y)=y-3x的限定条件 下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法求之。令y-3x=b，则y=3x+b (由数到形) 原问题转化为：在椭圆 上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小，由图8可知，当直线y=3x+b与椭圆 相切时，有最大截距和最小截距，即由 ，得169x2+96bx+16b2-400=0.由 （由形到数） 评注：首先根据坐标系内曲线与方程的对应关系实现以形助数，分析几何图形间内在关系，以数助形，数形结合。而本题若是单单从一个方面思考，则很难完整地解决。 联想：线性规划一章求最优解问题也是用上述的平行线平移方法求之，在教学中要注意这方面的区别与联系。 上述几例的数形结合还充分体现了一种转化的思想，即由“数”化“形”，由“形”构“数”的等价转化思想。 3数形结合在教学中的使用原则 正如华罗庚先生所说：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家往事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。” 正确使用数形结合要注意等价性、双向性和简单性。等价性是指代数性质与几何性质的转化应该是等价的，否则解题会出现漏洞；双向性是指既进行几何直观分析，又进行代数抽象的探索，二者相辅相成；简单性是指在代数解法与几何解法中应选择一种最佳、简单或更便于达到教学目的的方法，而不是流于形式。数形结合时要特别注意等价性。下面以例7为例，在教学过程中发现学生还有另一种解法，但解答过程充分暴露了该生思维过程的片面性。过程如下：由题设直线l的方程为：y=kx-2. 直线l与线段AB相交（如图9）根据此图可得：A点在直线l的上方，B点在直线l的下方， 有下列不等式组 ，解得x 评注：此种解法思路很常规，但一味依赖直观图形而忽略了图形的等价性，所以过程错误。 通过以上几方面的探讨，我们已经领略到数形结合在中学教学当中的巧妙应用。在平时的教学中应注意渗透数形结合思想，化繁为简，化难为易。利用直观图形，提高学生的学习兴趣，加深对数学概念的理解；以数助形，发展学生的抽象思维，启发创造性思维；数形互助，全面、协调地发展形象思维和抽象思维。