【最新教材】人教A版高中数学必修5同步检测第二章2.2第2课时等差数列的性质

新教材适用高中必修数学第二章数列2.2等差数列等差数列第第 2 课时课时等差数列的性质等差数列的性质A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1设数列设数列an，bn都是等差数列都是等差数列，且且 a125，b175，a2b2100，那么由那么由 anbn所组成的数列的第所组成的数列的第 37 项值为项值为()A0B37C100D37解析：解析：设设 cnanbn，则则 c1a1b12575100，c2a2b2100，故故 dc2c10，故故 cn100(nN*)，从而从而 c37100.答案：答案：C2如果数列如果数列an是等差数列是等差数列，则下列式子一定成立的有则下列式子一定成立的有()Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5解析：解析：由等差数列的性质有由等差数列的性质有 a1a8a4a5.答案：答案：B3由公差由公差 d0 的等差数列的等差数列 a1，a2，an组成一个新的数组成一个新的数列列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是下列说法正确的是()A新数列不是等差数列新数列不是等差数列B新数列是公差为新数列是公差为 d 的等差数列的等差数列C新数列是公差为新数列是公差为 2d 的等差数列的等差数列D新数列是公差为新数列是公差为 3d 的等差数列的等差数列解析：解析：因为因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列所以数列 a1a3，a2a4，a3a5，是公差为是公差为 2d 的等差数列的等差数列答案：答案：C4在数列在数列an中中，a32，a71，如果数列如果数列1an1 是等差数列是等差数列，那么那么 a11等于等于()A.13B.12C.23D1解析：解析：依题意得依题意得1a311a11121a71，所以所以1a11121112123，所以所以 a1112.答案：答案：B5一个首项为一个首项为 23，公差为整数的等差数列公差为整数的等差数列，如果前六项均为正如果前六项均为正数数，第七项起为负数第七项起为负数，则它的公差是则它的公差是()A2B3C4D5解析：解析：设该数列的公差为设该数列的公差为 d，则由题设条件知：则由题设条件知：a6a15d0，a7a16d235，d236，即即235d236，又因为又因为 d 是整数是整数，所以所以 d4.答案：答案：C二、填空题二、填空题6在等差数列在等差数列an中中，a3，a10是方程是方程 x23x50 的根的根，则则 a5a8_解析：解析：由已知得由已知得 a3a103.又数列又数列an为等差数列为等差数列，所以所以 a5a8a3a103.答案：答案：37数列数列an满足递推关系满足递推关系 an3an13n1(nN*，n2)，a15，则使得数列则使得数列anm3n为等差数列的实数为等差数列的实数 m 的值为的值为_解析：解析：a15，a23532123，a332333195，依题意得依题意得5m3，23m32，95m33成等差数列成等差数列，所以所以 223m325m395m33，所以所以 m12.答案：答案：128已知数列已知数列an满足满足 a11，若点若点ann，an1n1 在直线在直线 xy10上上，则则 an_解析解析： 由题设可得由题设可得annan1n110， 即即an1n1ann1， 所以数列所以数列ann是以是以 1 为公差的等差数列为公差的等差数列，且首项为且首项为 1，故通项公式故通项公式annn，所以所以 ann2.答案：答案：n2三、解答题三、解答题9在等差数列在等差数列an中中，若若 a1a2a530，a6a7a1080，求求 a11a12a15.解：解：法一法一：因为：因为 11166，21277，5151010，所以所以 a1a112a6，a2a122a7，a5a152a10.所以所以(a1a2a5)(a11a12a15)2(a6a7a10)所以所以 a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.法二法二：因为数列：因为数列an是等差数列是等差数列，所以所以 a1a2a5，a6a7a10，a11a12a15也成等差数列也成等差数列，即即 30，80，a11a12a15成等差数列成等差数列所以所以 30(a11a12a15)280，所以所以 a11a12a15130.10已知无穷等差数列已知无穷等差数列an，首项首项 a13，公差公差 d5，依次取依次取出项的序号被出项的序号被 4 除余除余 3 的项组成数列的项组成数列bn(1)求求 b1和和 b2；(2)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(3)数列数列bn中的第中的第 110 项是数列项是数列an中的第几项？中的第几项？解：解：(1)由题意由题意，等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为 an3(n1)(5)85n，设数列设数列bn的第的第 n 项是数列项是数列an的第的第 m 项项，则需满足则需满足 m4n1，nN*，所以所以 b1a38537，b2a785727.(2)由由(1)知知 bn1bna4(n1)1a4n14d20，所以新数列所以新数列bn也为等差数列也为等差数列，且首项为且首项为 b17，公差为公差为 d20，所以所以 bnb1(n1)d7(n1)(20)1320n.(3)因为因为 m4n1，nN*，所以当所以当 n110 时时，m41101439，所以数列所以数列bn中的第中的第 110 项是数列项是数列an中的第中的第 439 项项B 级级能力提升能力提升1 若方程若方程(x22xm)(x22xn)0 的四个根组成一个首项为的四个根组成一个首项为14的等差数列的等差数列，则则|mn|()A1B.34C.12D.38解析：解析：设方程的四个根设方程的四个根 a1，a2，a3，a4依次成等差数列依次成等差数列，则则 a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为再设此等差数列的公差为 d，则则 2a13d2，因为因为 a114，所以所以 d12，所以所以 a2141234，a314154，a4143274，所以所以|mn|a1a4a2a3|14743454|12.答案：答案：C2若数列若数列an为等差数列为等差数列，apq，aqp(pq)，则则 apq_解析：解析：法一法一：因为：因为 apaq(pq)d，所以所以 qp(pq)d，即即 qp(pq)d，因为因为 pq，所以所以 d1.所以所以 apqap(pqp)dqq(1)0.法二法二：因为数列：因为数列an为等差数列为等差数列，所以点所以点(n，an)在一条直线上在一条直线上不妨设不妨设 pq，记点记点 A(p，q)，B(q，p)，则直线则直线 AB 的斜率的斜率kpqqp1，如图所示如图所示，由图知由图知 OCpq，即点即点 C 的坐标为的坐标为(pq，0)故故 apq0.答案：答案：03在数列在数列an中中，a11，3anan1anan10(n2，nN*)(1)求证：数列求证：数列1an是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式(1)证明证明：由由 3anan1anan10，得得1an1an13(n2)又因为又因为 a11，所以数列所以数列1an是以是以 1 为首项为首项，3 为公差的等差数列为公差的等差数列(2)解：解：由由(1)可得可得1an13(n1)3n2，所以所以 an13n2.又当又当 n1 时时，a11，符合上式符合上式，所以数列所以数列an的通项公式是的通项公式是 an13n2.