pi的计算实验报告

实验报告班级：02姓名：张海洋学号：9圆周率（选做）要求：先查资料看看古人是怎样计算兀的，再对兀的各种计算方法进行研究和讨论（收敛速度等），弁给出不同算法算出.的小数点后第10000位的数字是什么，你觉得该数字应该是多少第一部分:圆周率简介圆周率是指平面上圆的周长与直径之比（ratioofthecircumferenceofacircletothediameter）。用符号冗（读音：pa）i表示。中国古代有圆率、圆率、周等名称。它是一个常数（约等于）。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。计算圆周率的方法“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”历史上最马拉松式的计算，其一是彳惠国的LudolphVanCeulein他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在彳惠国被称为Ludolph数；其二是英国的WilliamShanks,他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用LudolphVanCeulenB出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。在中国，公元263年前后，刘徽提出著名的“割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形，一直到正三。七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。在刘徽研究的基础上，祖冲之进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576边形，而得到一个结论：兀l.Oe-6h(b-a)/n.5=0；fori=l;ns=s-H(a+i*h-h/2;endt2=(tl+h*)/?；eu=abs(t2-t1);fprin+f(ofjr=9t.6nt12ner);n=2*n;tl=t2;endendt-3.lOCOOO,r=0.100000t=5.131170Jr=C(031176t=3.13S9S8,r=0.007912：i=3.140942,r=0.001955t=3.141430,匚0.COC409t=3.141552,r=0.00C122t=3.141B82,r=0.000031t=3.141590,r=C.000003t=3.141592,r=0.000002t=3.141592,r=0.0000004、泰勒级数法计算利用反正切函数的泰勒级数arctan x2k 1（1）k11h来计算(I)x=1 时1 -43 5n=4*171 k 12 k 1C3irnnandWindown=lQOO;5=0；fork=1：ne=s44(-1)*(k+1)/(2*k1)；endypa(Ej20)ans-J.1405926538397941350n=10ans=;n=20ans=n=50ans=;n=100ans=;n=200ans=;n=500ans=;n=1000ans=;n=2000ans=;x=1时得到的arctanl的展开式收敛太慢，逼近速度太慢，运算庞大，对速度造成了很大影响。5、泰勒级数法计算：利用反正切函数的泰勒级数352k1xxk1xarctanxx(1)采计舁352k11 1(II)进一步精细化arctan1arctan-arctan-2 3Gemm4ndwindoweymsn;f2=C-l)*(n-l)*(1/3)V(2tn-1);ans1-symsujii(f1;1,79),anssynsujnCf2,%I,79);ari=vpa(4*(51+52),20)ans-3 .H15926535897932385n=10ans=;n:=20ansn=二50ansn:=100ansn:=200ansn:=500ansn:=1000ansn=二2000ans当x=1时得到的arctanl的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，11应当使x的绝对值小于1,取好是远比1小。例如，因为arctanlarctan-arctan-,所以我们可以计算出arctan工,arctan1的值，从而得到arctan1的值。这样，就使得收敛23速度加快，逼近的速度大大增加.6、利用攵今给出一4arctan114*Grrr，.11.1、arctan,推出九=4(4arctanarctan)452395239CommandWindowIsyirisn；T1二(-1)Cn.l)*(l/5)(2*ir-l)/(2n-1);2二(-1)、Cn-D*(1/233)*(2*n-l)/C2*n-l)；ansl=s7nsujn(flfn,1,9);ans2=s!fflk5uni(f2,n,79);an=vpa(4*(4*ansl-ans2)j2Q)ans=3.141592663B8Q7932386n=10ans=;n=20ans=;n=50ans=;n=100ans=;n=200ans=;n=500ans=;n=1000ans=;n=2000ans=;对泰勒级数，随着1X1的减小，级数的收敛速度明显加快，这启示我们另外构造相关级数来逼近兀。7、蒙特卡罗法计算单位圆的1/4是一个扇形，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积S1。只要能够求出扇形的面积S在正方形的面积中所占的比例kS/S,就能立即得到S,从而得到的值。下面的问题归结为如何求k的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的个数m与所投店的总数n的比可以近似的作为k的近似值。ICommandWindowk=2000,mrD;forn=1ikifrandU)2+-rand(1)1m=m+1;erulendvpa(4*VlJ)ans=3.1080000000000000000000000000000n=100ans=;n=200ans=;n=500ans=n=1000ans=;n=2000ans=;n=5000ans=;n=10000ans=;n=20000ans=;这种数据模拟算法收敛的速度很慢，从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为,虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。除以上几种方法之，还有下列一些的求其他的方法:*利用高斯公式1”11=48arctan+32arctan20arctan* 、兀=2+1/3*(2+2/5*(2+3/7*(2+(2+k/(2k+1)*(2+).)当.(k=2799时可精确到800位)* 、6=1/2+1/2*1/(3*2八3)+(1*3)/(2*4)*(1/(5*2八5)+* 、a(裙i)+1=0(欧拉公式，也称世界上最杰出的公式)* 、1+(1/2)八2+(1/3)八2+(1/4)八2+.(1/rf)/6=兀* 、1+(1/2)八4+(1/3)八4+(1/4)八4+.(1/rf)440兀* 、1+(1/2)八6+(1/3)八6+(1/4)八6+.(1/rf)6/945兀* 、1+(1/2)八8+(1/3)八8+(1/4)八8+.(1/rf)8/S450兀* 、1+(1/2)八10+(1/3)八10+(1/4)八10+-.(1/0r110793555第四部分：求的小数点后第位数字的几种方法:1、反正切函3 X arctan x x 3数5X5的泰勒级(1)k12k 1X2k 1Mathematica 程序出：=n = In finity;上打得到一14推出：1 =4 *1)k(1)kk 02k 12k 1i=i ；回3.1415926535S93Z3S426433S32502S341971fi9339J7510552097444592307514052&6205962603402&343小数点后10000位数字为82、沃里斯(Wallis)方法c2244662133557c2k2k2k12k12k1Mathematica 程序r-rnS3ii丁.二 n s Infinity;5 = 2 P (2 t / C2上一1) t 2 1c / (2 J： + 1)；Ns, 10 0021二r :二 3,141552535595323246264335327950206419719399375L05E2C 974 344S923C73146622 620 2 93250 3 4 3Z5S42-G未令名1*35y?y5U545U7irawr2UgTTU53B7UlJT745tUUI7T742BZr二三二三：”;肥匕 4 斐=5 二 4三1 二二二 4 2 3Emm：9S922 59S9Eaai59205600101fi5525fi 37567小数点后10000位数字为83、基于arctanx的级数麦琴给出：414 arctan5.山 ，1推出兀=4( 4 arctan arctan5+1 .arctan;239 _1_ 239)MATLAB程序yyeynsii；f1=(-1)xtn-l)*(l/b)A(2*n-l)/(2*n-l);arx51=sjTnsm(fljns1irf),ms2=syikEun(f2,m1inf);ans=vpa(4*(4*anpl-ais2)；10002)STlE3.14159265355979323840264338327050285419?1693991592056。101比52563756芮&小数点后10000位数字为8求取的方法很多，过程类似，不再累述验证lr-49445铝配HLGM及萌20的9找之酊34醛53屯2；110679221405132E23(j647Q938460955C5:223172-qq耳4代4汽11i,idAn?*di仆。7什i口才白彳寸力与:白片工口书*?。；*日回於35鹫/颐970704号乳工口乳4。;二。1*41口口162=02109276457州1M57922955249犯7275后架比126躺3的黑3f?225c95965150560010ie552563757e6结论：兀的小数点后10000位数字为8第五部分：心得体会对于兀的值我们早已知晓，但是对于这个数值如何得到却不清楚。通过这次学习，我们知道原来计算兀的值有如此多的方法，并且知道了级数在一些计算中的作用。通过本次实验，我们知道了运用各种方法计算兀的近似值，知道了matlab和mathematica中关于级数的运算，学习是一个枯燥的过程，有些东西是必须懂的。也就是一些基础知识吧，包括基础的操作和相关的理论知识。因此，有一本教材看一次，必定会有所收获。看了，练习，思考。MATLAB是一个实用性很强，操作相对容易，比较完善的工具软件。使用起来比较方便，通过操作可以很快看到结果，能够清晰地感觉到成功与失败，编程问题最头疼的不是编程序，而是调程序，所以在你的程序编完之后，一定要进行验证其正确性，你要尽量多的设想你的问题的复杂性，当然，要一步一步复杂，这样才能保证你的程序的适用性很强。以后虽然没有数学应用软件设计的课程了，但是对于一个学习数学的学生来说，以后用到MATLAB和mathematica的地方还有很多，我不会因为不用学而不去学，希望能在数学建模之前，把两个软件运用灵便，为以后更强大的数学世界打下夯实的基础。