数学理二轮教师用书：第2部分 专题1 第2讲　恒等变换与解三角形 Word版含解析

第2讲恒等变换与解三角形做小题激活思维1在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A.B.C.D1B根据，有，得sin B.故选B.2在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A. B.C. D.或C由a2b2bcc2，得b2c2a2bc，由余弦定理的推论得：cos A，A.3若sin()sin cos()cos ，且为第二象限角，则tan()A7 BC7DBsin()sin cos()cos cos()cos sin()sin cos()cos ，即cos .又为第二象限角，tan ，tan.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，C，ABC的面积为，则c()A13B3C DCABC的面积为，absin C3b，b1，由余弦定理得c.故选C.5已知tan ，则_.tan .6函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.扣要点查缺补漏1正弦定理2R(其中R为ABC外接圆的半径)，如T1.2余弦定理及其变形a2b2c22bccos A，cos A，如T2.3如图所示，在ABC中，AD平分角A，则.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan()，如T3.5面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A(abc)r(其中r为ABC内切圆的半径)，如T4.6二倍角公式及其变形(1)sin 22sin cos ；(2)(3)tan 2.如T5.7辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos ，如T6.三角恒等变换(5年3考)高考解读高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1一题多解(2016全国卷)若cos，则sin 2 ( )A.B.CDD法一：(公式法)cos，sin 2coscos2cos21，故选D.法二：(整体代入法)由cos(sin cos )，得sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，即sin 22sin cos .2(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().教师备选题1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.CD.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.2一题多解(2014全国卷)设，且tan ，则()A3B2C3D2B法一：由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：tan cottantan，k，kZ，22k，kZ.当k0时，满足2，故选B.三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一1(给值求值)若，都是锐角，且cos ，sin()，则cos ()A. B.C.或 D.或A因为，都是锐角，且cos ，所以，又sin()，所以，所以cos()，sin ，cos cos()cos()cos sin()sin ，故选A.2(给角求值)(2019安阳模拟)化简等于()A2BC1D1C1.3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，则2的值为_cos ，sin ，tan 7；cos ，sin ，tan ，tan 2，tan(2)1，2，2.利用正、余弦定理解三角形(5年11考)高考解读高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正(余)弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查.1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A.B.C. D.C根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长切入点：ABC面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.关键点：余弦定理公式的变形：a2(bc)22bc2bccos A.解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.教师备选题1一题多解(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.2(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.即BC5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,(1)分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质(三角形内角和，大边对大角等)求解三角形.(2)在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有b2c2和bc两项，二者的关系b2c2(bc)22bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中，D90，BAD120，AD1，AC2，AB3，则BC()A.B.C.D2C如图，在ACD中，D90，AD1，AC2，所以CAD60.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC7，所以BC.故选C.2(知识间的内在联系)已知ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4Sa2(bc)2，bc4，则S()A2B4C.D2A由4Sa2(bc)2可得4bcsin Aa2b2c22bc，2bcsin A2bc2bccos A，即sin Acos A1，所以sin，又0A，所以A，即A，A.SABCbcsin A42.故选A.3(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD_m.10设CDh，则AD，BDh.在ADB中，ADB1802040120，则由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度为10 m4(恒等变换与解三角形)(2019北京高考)在ABC中，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解(1)a3，bc2，cos B.由余弦定理，得b2a2c22accos B9(b2)223(b2)，b7，cb25.(2)在ABC中，cos B，sin B，由正弦定理：，sin C，bc，BC，C为锐角，cos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)高考解读与三角形有关的最值(范围)问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在. (2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由ABC为锐角三角形求得C的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.教师备选题1(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_(，)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CFB中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.2(2013全国卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由题意及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如yAsin(x)(或yAcos(x)的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a2b2，ab，ab的等式求最值1(角度的最值范围问题)(2019武汉模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是()A.B.C. D.Ca，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理，得cos B，又B(0，)，B，故选C.2(长度的最值范围问题)在ABC中，若C是钝角，且B，则的取值范围是_(2，)C为钝角，CA，0A.由正弦定理，得.0tan A，2，即2.3(综合应用)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，向量m(sin A，sin B)，n(sin C，sin A)，且mn.(1)若cos A，bc6，求ABC的面积；(2)求sin B的取值范围解因为mn，所以sin2Asin Bsin C，结合正弦定理可得a2bc.(1)因为cos A，所以，即，解得bc9.从而ABC的面积SABCbcsin A9，故ABC的面积为.(2)因为a2bc，所以cos A(当且仅当bc时，取等号)因为0A，所以角A的取值范围是.由正弦定理，知0sin Bsin A，所以sin B的取值范围是.