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第1讲选修44坐标系与参数方程极坐标与曲线的极坐标方程(5年5考)高考解读以极坐标系下两曲线的位置关系为载体，考查极坐标的表示、极径的几何意义，极坐标与直角坐标的互化等问题，考查学生的等价转化能力、逻辑推理及数学运算的素养.1(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.2(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P外的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.教师备选题1(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题2极坐标化直角坐标的常用技巧(1)通常要用去乘方程的两边，使之出现2，cos ，sin 的形式(2)含关于tan 的方程用公式tan .1(极坐标的表示)(2019兰州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：cos 3，曲线C2：4cos .(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，求动点P的极坐标方程解(1)联立因为0，2，所以所求交点的极坐标为.(2)设P(，)，Q(0，0)且04cos 0，0，由已知，得所以4cos ，点P的极坐标方程为10cos ，.2(极坐标同直角坐标的互化)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)由2，知24，所以x2y24，因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3(极坐标的应用)(2019郑州模拟)已知曲线C1：x2(y3)29，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(4,0)，求MPQ的面积解(1)曲线C1：x2(y3)29，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为6sin .设B(，)，则A，则6sin6cos .所以曲线C2的极坐标方程为6cos .(2)M到直线的距离为d4sin 2，射线与曲线C1的交点P，射线与曲线C2的交点Q，所以|PQ|33，故MPQ的面积S|PQ|d33.曲线的参数方程(5年4考)高考解读以直线、圆及圆锥曲线的参数方程为载体，考查参数方程同普通方程的互化，参数的几何意义，以及解析几何中的最值、范围、位置关系等问题，考查数学运算及等价转化的数学素养. (2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数，.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数，.教师备选题(2014全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.1直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.2求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键3不能忽视所给直线方程是不是直线的标准参数方程，非标准的直线参数方程中的t不具有几何意义1(参数的几何意义的应用)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2y24，直线l的参数方程为(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2.(1)写出曲线C2的参数方程； (2)设点P(2,3)，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值解(1)若将曲线C1上的点的纵坐标变为原来的倍，则曲线C2的直角坐标方程为x24，整理得1，曲线C2的参数方程为(为参数)(2)将直线l的参数方程化为标准形式为(t为参数)，将参数方程代入1，得1，整理得(t)218t360.|PA|PB|t1t2|，|PA|PB|t1t2.2(参数方程的应用)(2019贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求xy的取值范围解(1)由消去t得yx4，由2cos得cos sin ，由xcos ，ysin ，2x2y2得1，即C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线yx4的距离d51，所以直线l与曲线C相离(2)圆的参数方程为(为参数)，则xysin cos sin，又由R可得1sin1，则xy，所以xy的取值范围为，.极坐标方程与参数方程的综合应用(5年4考)高考解读主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标系方程之间的互化，考查利用三角函数求最值，考查利用极径的几何意义及参数的几何意义解决问题的能力. (2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.教师备选题1(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.1解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程、参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的1(极径的几何意义)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，A，B在曲线C上，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A，B两点的极坐标为A，B.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设曲线C的中心为M，求MAB的面积解(1)由消去，得(x3)2(y4)225，即x2y26x8y0，将xcos ，ysin ，代入得曲线C的极坐标方程为26cos 8sin 0，即6cos 8sin 0.(2)将A，B代入(1)所得的极坐标方程，得143，28，所以|AB|5.曲线C的中心M到弦AB的距离为d，所以SMAB5.2(最值问题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x22y22.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(1)写出曲线C1的参数方程，曲线C2的直角坐标方程；(2)设M是曲线C1上一点，N是曲线C2上一点，求|MN|的最小值解(1)由题意可得，曲线C1的参数方程为(是参数)由得sin cos 4，故曲线C2的直角坐标方程是xy40.(2)因为曲线C2是直线，所以|MN|的最小值即点M到直线C2距离的最小值设点M(cos ，sin )，则点M到直线C2的距离为d，当且仅当sin1，即2k(kZ)时等号成立故|MN|的最小值是.3(轨迹问题)(2019长沙模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos a(a0)，Q为l上一点，以OQ为边作等边三角形OPQ，且O，P，Q三点按逆时针方向排列(1)当点Q在l上运动时，求点P运动轨迹的直角坐标方程；(2)若曲线C：x2y2a2，经过伸缩变换得到曲线C，试判断点P的轨迹与曲线C是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由解(1)设点P的极坐标为(，)，则由题意可得点Q的极坐标为，再由点Q的直角坐标中的横坐标等于a，a0，可得cosa，即cos sin a，化为直角坐标方程为xya.故当点Q在l上运动时，点P的直角坐标方程为xy2a0.(2)曲线C：x2y2a2经过伸缩变换即得(y)2a2，即y2a2.联立，得消去x，得7y24ay0，解得y10，y2a，所以点P的轨迹与曲线C有交点，交点的直角坐标分别为，(2a,0)
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