新高考数学二轮课时作业:层级二 专题三 第2讲 数列求和及综合应用 Word版含解析

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层级二 专题三 第2讲限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1(2020重庆七校联考)若数列an满足0,则称an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”,且b1b2b31,则b6b7b8()A4B16C32 D64解析:C由0可得an1an,故an是公比为的等比数列,故是公比为的等比数列,则bn是公比为2的等比数列,b6b7b8(b1b2b3)2532,故选C.3(2020广东省六校联考)已知数列an满足a12a23a3nan(2n1)3n.设bn,Sn为数列bn的前n项和,若Sn(为常数,nN*),则的最小值是()A. B.C. D.解析:Ca12a23a3nan(2n1)3n,当n2时,a12a23a3(n1)an1(2n3)3n1,得,nan4n3n1(n2),即an43n1(n2)当n1时,a134,所以anbn所以Sn,Sn,得,Sn,所以Sn,所以易知的最小值是,故选C.5(2019深圳二模)已知数列an满足2a122a22nann(nN*),数列的前n项和为Sn,则S1S2S3S10()A. B.C. D.解析:C2a122a22nann(nN*),2a122a22n1an1n1(n2),2nan1(n2),当n1时也满足,故an,故,Sn11,S1S2S3S10,选C.二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)7(2019昆明三模)已知数列an中,a1a21,an2则数列an的前20项和为_解析:由题意可知,数列a2n是首项为1,公比为2的等比数列,数列a2n1是首项为1,公差为2的等差数列,故数列an的前20项和为10121 123.答案:1 1238(2019山师附中质检)将数列an中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10记数阵中的第1列数a1,a2,a4,构成的数列为bn,Sn为数列bn的前n项和,若Sn2bn1,则a56_.解析:当n2时,Sn2bn1,Sn12bn11,bn2bn2bn1,bn2bn1(n2且nN*),b12b11,b11,数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,bn2n1.设a1,a2,a4,a7,a11,的下标1,2,4,7,11,构成数列cn,则c2c11,c3c22,c4c33,c5c44,cncn1n1,累加得,cnc11234(n1),cn1,由cn156,得n11,a56b112101 024.答案:1 024三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)9(2020郑州三测)已知数列an满足a11,2anan1an1an0,数列bn满足bn.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列bn的前n项和为Sn,问:是否存在n,使得Sn的值是?解析:(1)因为2anan1an1an0,所以an1,2,由等差数列的定义可得是首项为1,公差为d2的等差数列故12(n1)2n1,所以an.(2)由(1)得bn,所以Sn,两边同乘以得,Sn,两式相减得Sn2,即Sn2,所以Sn3.因为Sn1Sn0,所以数列Sn是关于项数n的递增数列,所以SnS1,因为,所以不存在n,使得Sn.(2)由(1)知cn(nN*),所以Sn(nN*)因为c10,c20,c30,c40;当n5时,cn,而0,即数列当n5时是递减的所以1,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nN*,恒有S4Sn,故k4.11(2019江苏卷)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”(1)已知等比数列an(nN*)满足:a2a4a5,a34a24a10,求证:数列an为“M数列”;(2)已知数列bn(nN*)满足:b11,其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式;设m为正整数,若存在“M数列”cn(nN*),对任意正整数k,当km时,都有ckbkck1成立,求m的最大值解:(1)设等比数列an的公比为q,所以a10,q0.由得解得因此数列an为“M数列”(2)因为,所以bn0.由b11,S1b1,得,则b22.由,得Sn,当n2时,由bnSnSn1,得bn,整理得bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此,数列bn的通项公式为bnn(nN*)由知,bkk,kN*.因为数列cn为“M数列”,设公比为q,所以c11,q0.因为ckbkck1,所以qk1kqk,其中k1,2,3,m.当k1时,有q1;当k2,3,m时,有ln q.设f(x)(x1),则f(x).令f(x)0,得xe.列表如下:x(1,e)e(e,)f(x)0f(x)极大值因为,所以f(k)maxf(3).取q,当k1,2,3,4,5时,ln q,即kqk,经检验知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6,分别取k3,6,得3q3,且q56,从而q15243,且q15216,所以q不存在因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.
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